2026届湖北省武汉二中数学高二上期末质量跟踪监视试题含解析

2026届湖北省武汉二中数学高二上期末质量跟踪监视试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）A.2 B.6C.4 D.122．函数的图象大致为（）A. B.C. D.3．数列中，，，．当时，则n等于（）A.2016 B.2017C.2018 D.20194．已知点，若直线与线段没有公共点，则的取值范围是（）A. B.C. D.5．观察：则第行的值为（）A. B.C. D.6．中，，，分别为三个内角，，的对边，若，，，则（）A. B.C. D.7．在等比数列中，若，，则（）A. B.C. D.8．已知，则点到平面的距离为（）A. B.C. D.9．已知函数的部分图象与轴交于点，与轴的一个交点为，如图所示，则下列说法错误的是（）A. B.的最小正周期为6C.图象关于直线对称 D.在上单调递减10．已知点为直线上任意一点，为坐标原点．则以为直径的圆除过定点外还过定点（）A. B.C. D.11．若数列是等差数列，其前n项和为，若，且，则等于（）A. B.C. D.12．经过点且与直线垂直的直线方程为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知递增数列共有2021项，且各项均不为零，，如果从中任取两项，当时，仍是数列中的项，则的范围是________________，数列的所有项和________14．已知数列中，.若为等差数列，则______.15．美好人生路车站早上有6：40，6：50两班开往A校的公交车，若李华同学在早上6：35至6：50之间随机到达该车站，乘开往A校的公交车，公交车准时发车，则他等车时间不超过5分钟的概率为______16．若复数z=为纯虚数（），则|z|=_____.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某中医药研究所研制出一种新型抗过敏药物，服用后需要检验血液抗体是否为阳性，现有n（n∈N*）份血液样本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：①逐份检验，需要检验n次；②混合检验，将其中k（k∈N*，2≤k≤n）份血液样本分别取样混合在一起检验，若结果为阴性，则这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只需检验一次就够了，若检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪份为阳性，就需要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为k+1次.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阳性的概率为p（0＜p＜1）.（1）假设有5份血液样本，其中只有两份样本为阳性，若采取逐份检验的方式，求恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率.（2）现取其中的k（k∈N*，2≤k≤n）份血液样本，采用逐份检验的方式，样本需要检验的次数记为ξ1；采用混合检验的方式，样本需要检验的总次数记为ξ2.（i）若k＝4，且，试运用概率与统计的知识，求p的值；（ii）若，证明：.18．（12分）2022北京冬奥会即将开始，北京某大学鼓励学生积极参与志愿者的选拔．某学院有6名学生通过了志愿者选拔，其中4名男生，2名女生（1）若从中挑选2名志愿者，求入选者正好是一名男生和一名女生的概率；（2）若从6名志愿者中任选3人负责滑雪项目服务岗位，那么现将6人分为A、B两组进行滑雪项目相关知识及志愿者服务知识竞赛，共赛10局．A、B两组分数（单位：分）如下：A：125，141，140，137，122，114，119，139，121，142B：126，115，143，126，143，115，139，139，115，139从统计学角度看，应选择哪个组更合适？理由是什么？19．（12分）如图，PD垂直于梯形ABCD所在的平面，∠ADC＝∠BAD＝90°，F为PA中点，，．四边形PDCE为矩形，线段PC交DE于点N（1）求证：AC∥平面DEF；（2）求二面角A－BC－P的余弦值20．（12分）在四棱锥中，平面，，，，，分别是的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求直线与平面所成角的正弦值.21．（12分）设函数（1）若在处取得极值，求a的值；（2）若在上单调递减，求a的取值范围22．（10分）已知三角形的三个顶点是，，（1）求边上的中线所在直线的方程；（2）求边上的高所在直线的方程

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】根据题设条件求出椭圆的长半轴，再借助椭圆定义即可作答.【详解】由椭圆＋y2＝1知，该椭圆的长半轴，A是椭圆一个焦点，设另一焦点为，而点在BC边上，点B，C又在椭圆上，由椭圆定义得，所以的周长故选：C2、A【解析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；当时，，选项B错误.故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项3、B【解析】根据已知条件用逐差法求得的通项公式，再根据裂项求和法求得，代值计算即可.【详解】因为，，则,即，则，故，又，即，解得.故选：B.4、A【解析】分别求出，即可得到答案.【详解】直线经过定点.因为，所以,所以要使直线与线段没有公共点，只需：，即.所以的取值范围是.故选：A5、B【解析】根据数阵可知第行为，利用等差数列求和，即可得到答案；【详解】根据数阵可知第行为，，故选：B6、C【解析】利用正弦定理求解即可.【详解】，，，由正弦定理可得，解得，故选：C.7、D【解析】由等比数列的性质得，化简，代入数值求解.【详解】因为数列是等比数列，所以，由题意，所以.故选：D8、A【解析】根据给定条件求出平面的法向量，再利用空间向量求出点到平面的距离.【详解】依题意，，设平面的法向量，则，令，得，则点到平面的距离为，所以点到平面的距离为.故选：A9、D【解析】根据函数的图象求出，再利用函数的性质结合周期公式逆推即可求解.【详解】因为函数的图象与轴交于点，所以，又，所以，A正确；因为的图象与轴的一个交点为，即，所以，又，解得，所以，所以，求得最小正周期为，B正确；，所以是的一条对称轴，C正确；令，解得，所以函数在，上单调递减，D错误故选：D.10、D【解析】设垂直于直线，可知圆恒过垂足；两条直线方程联立可求得点坐标.【详解】设垂直于直线，垂足为，则直线方程为：，由圆的性质可知：以为直径的圆恒过点，由得：，以为直径的圆恒过定点.故选：D.11、B【解析】由等差数列的通项公式和前项和公式求出的首项和公差，即可求出.【详解】设等差数列的公差为，则解得：，所以.故选：B.12、A【解析】根据点斜式求得正确答案.【详解】直线的斜率为，经过点且与直线垂直的直线方程为，即.故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①.②.1011【解析】根据题意得到，得到，，，，进而得到，从而即可求得的值.【详解】由题意，递增数列共有项，各项均不为零，且，所以，所以的范围是，因为时，仍是数列中的项，即，且上述的每一项均在数列中，所以，，，，即，所以，所以.故答案为：；.14、【解析】利用等差中项求解即可【详解】由为等差数列，则，解得故答案为：15、【解析】根据题意，李华等车不超过5分钟，则他必须在6:35-6:40或者6:45-6:50到达，进而根据几何概型求概率的方法求得答案.【详解】由题意，李华等车不超过5分钟，则他必须在6:35-6:40或者6:45-6:50到达，则所求概率.故答案为：.16、【解析】利用复数z=为纯虚数求出a，即可求出|z|.【详解】z=.由纯虚数的定义知，，解得.所以.故|z|=.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）（i）；（ii）证明见解析.【解析】（1）设恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来为事件A，由古典概型概率计算公式可得答案；（2）（i）由已知，可能取值分别为1，，求解概率然后求期望推出关于的关系式；（ii）由，计算出，再由，构造函数，利用导数判断函数的最值可得答案..【详解】（1）设恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来为事件A，所以前2次检验中有一阳性有一阴性样本第三次为阳性样本，或者前3次均为阴性样本，则.（2）（i），所以，可能取值分别为1，，，，因为得，因为，所以，.（ii）因为，由（i）知，所以，设，，所以在单调递增，所以由于，所以，即，得证.【（4）（5）选做】18、（1）（2）答案见详解【解析】(1)：把4名男生和2名女生编号后用列举法写出任选2名的所有基本事件，同时可得出，两人是一男一女的基本事件，计数后可计算概率；(2)：求出两组数据的均值和方差，比较可得【小问1详解】设4名男生分别用A，B，C，D表示：2名女生分别用1，2表示.基本事件为：，，，，，，，，，，，，共15种，所以所求概率为；【小问2详解】A组数据的平均数，B组数据的平均数，A组数据的方差，B组数据的方差，所以选择A队．理由：A、B两队平均数相同，且，A组成绩波动小19、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）记PC交DE于点N，然后证明FN∥AC，进而通过线面平行的判定定理证明问题；（2）建立空间直角坐标系，进而通过空间向量夹角公式求得答案.【小问1详解】因为四边形PDCE为矩形，线段PC交DE于点N，所以N为PC的中点连接FN，在△PAC中，F，N分别为PA，PC的中点，所以FN∥AC，因为平面DEF，平面DEF，所以AC∥平面DEF.【小问2详解】因为PD垂直于梯形ABCD所在的平面，∠ADC＝∠BAD＝90°，所以DA，DC，DP两两垂直，如图以D为原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系则，，，，所以，设平面PBC的法向量为，则，令x=1，则.因为PD垂直于梯形ABCD所在的平面，所以是平面ABC的一个法向量，所以.由图可知所求二面角为锐角，即所求二面角的余弦值为.20、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】(1)根据给定条件证得即可推理作答.(2)由已知条件，以点A作原点建立空间直角坐标系，借助空间位置关系的向量证明即可作答.(3)利用(2)中信息，借助空间向量求直线与平面所成角的正弦值.【小问1详解】在四棱锥中，因分别是的中点，则，因平面，平面，所以平面.【小问2详解】在四棱锥中，平面，，以点A为原点，射线AB，AD，AP分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，则，而且，则，，设平面的法向量，由，令，得，又，因此有，所以平面.【小问3详解】由(2)知，，令直线与平面所成角为，则有，所以直线与平面所成角的正弦值.21、（1）（2）【解析】(1)对求导,再根据题意有,据此列式求出;(2)由题可知对恒成立,即对恒成立,因此求出在区间上的最小值即可得出结论.【详解】(1),则,因为在处取得极值,所以,解得,经检验,当时,在处取得极值;(2)因为在上单调递减,所以