第3章《三视图与表面展开图》（教师版）

2023-2024学年浙教版数学九年级下册易错题真题汇编（提高版）第3章《三视图与表面展开图》考试时间：120分钟试卷满分：100分难度系数：0.51一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2021•温州模拟）三根等高的木杆竖直立在平地上，其俯视图如图所示，在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子合理的是（）A． B． C． D．解：A．在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子的方向应该一致，故本选项错误；B．在某一时刻三根等高木杆在太阳光下的影子的长度应该相同，故本选项错误；C．在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子合理，故本选项正确；D．在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子的方向应该互相平行，故本选项错误．故选：C．2．（2分）（2022•义乌市模拟）用7个大小相同的小正方体组成如图所示的几何体，其主视图、俯视图、左视图的面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系为（）A．S1＝S2＞S3 B．S1＝S2＜S3 C．S1＞S2＞S3 D．S1＞S2＝S3解：设小正方体的棱长为1，主视图：底层是三个小正方形，上层的右边是两个小正方形，故主视图的面积为5；左视图：底层是三个小正方形，上层的中间是一个小正方形，故左视图的面积为4；俯视图：底层左边是一个小正方形，中层是三个小正方形，上层是一个小正方形，故俯视图的面积为5．所以S1＝S2＞S3，故选：A．3．（2分）（2021•兰溪市模拟）下列哪个图形不可能是立方体的表面展开图（）A． B． C． D．解：由四棱柱四个侧面和上下两个底面的特征可知，B、C、D选项可以拼成一个正方体，而A选项，有两个面重合，故不是正方体的展开图．故选：A．4．（2分）（2019•宁波模拟）下列图形不是一个几何体的表面展开图的是（）A． B． C． D．解：选项A是三棱锥的表面展开图，选项B是三棱柱的表面展开图，选项C不是一个几何体的表面展开图，选项D是四棱柱的表面展开图．故选：C．5．（2分）（2023•鹿城区校级三模）如图所示的几何体的主视图是（）A． B． C． D．解：由题意知，该几何体的主视图为，故选：A．6．（2分）（2023•松阳县二模）如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，若树高AB＝2m，树影AC＝3m，树与路灯的水平距离AP＝4.5m，则路灯的高度OP是（）​A．3 B．4 C．5 D．6解：∵AB∥OP，∴△ACB∽△PCO，∴＝，∴＝，∴OP＝5（m），故选：C．7．（2分）（2020•萧山区模拟）如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．长方体 B．三棱锥 C．三棱柱 D．正方体解：由几何体的正视图和左视图都是宽度相等的长方形，故该几何体是一个柱体，又∵俯视图是一个三角形，故该几何体是一个三棱柱．故选：C．8．（2分）（2022•温岭市校级自主招生）操作：小明准备制作棱长为1cm的正方体纸盒，现选用一些废弃的纸片进行如下设计：方案一：图形中的圆过点A、B、C；方案二：直角三角形的两直角边与展开图左下角的正方形边重合，斜边经过两个正方形的顶点纸片利用率＝100%以上方案一、二的利用率分别为a、b，则（）A．b＞a＞ B．b＜a＜ C．a＝b＝ D．a＞b＞解：方案一：圆的半径为：，a＝≈＝0.4，方案二：直角三角形的直角边的比为：1：2，∴直角三角形的直角边分别为：4cm，8cm，∴b＝＝0.375，∴a＞b，故选：D．9．（2分）（2022春•磐安县期中）一个物体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是全等的等边三角形，俯视图是圆，根据图中所示数据，可求这个物体的表面积为（）A．9π B．6π C．3π D．（3+）π解：由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为3的正三角形．∴正三角形的边长＝＝2，∴圆锥的底面圆半径是，母线长是2，∴底面周长为2π∴侧面积为×2π×2＝6π，∵底面积为πr2＝3π，∴这个物体的表面积是9π．故选：A．10．（2分）（2017•武汉模拟）如图是三个大小不等的正方体拼成的几何体，其中两个较小正方体的棱长之和等于大正方体的棱长．该几何体的主视图、俯视图和左视图的面积分别是S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系是（）A．S1＞S2＞S3 B．S3＞S2＞S1 C．S2＞S3＞S1 D．S1＞S3＞S2解：主视图的面积是三个正方形的面积，左视图是两个正方形的面积，俯视图是一个正方形的面积，故S1＞S3＞S2，故选：D．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023•长兴县二模）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的侧面积是27πcm2．解：根据三视图可以判定该几何体为圆锥，底面圆的半径为3cm，母线长为9cm，∴圆锥的侧面积为2π×3×9÷2＝27π（cm2），故答案为：27π．12．（2分）（2023•江山市模拟）小聪用一张半径为10cm的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面周长为12πcm，那么这张扇形纸板的面积是60πcm2．解：由题意得：圆锥的底面周长＝12πcm．圆锥的底面周长即是扇形的弧长，则扇形面积＝lr＝×12π×10＝60π（cm2）．故答案为：60π．13．（2分）（2022•镇海区二模）一个圆锥高为4，母线长为5，则这个圆锥的侧面积为15π．解：这个圆锥的底面圆的半径＝＝3，所以这个圆锥的侧面积＝×2π×3×5＝15π．故答案为：15π．14．（2分）（2023•金华模拟）现有30%圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为40cm，小红同学为了在“六一”儿童节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10cm的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么剪去的扇形纸片的圆心角为18°．解：20π＝解得：n＝90°，∵扇形彩纸片是30%圆周，因而圆心角是108°∴剪去的扇形纸片的圆心角为108°﹣90°＝18°．剪去的扇形纸片的圆心角为18°．故答案为18°．15．（2分）（2023•金华模拟）已知一个圆锥形圣诞帽的母线为30cm，底面半径为10cm，则这个圣诞帽的侧面积为300πcm2．解：底面半径是10cm，则底面周长＝20π，∴需要彩纸的面积＝×20π×30＝300πcm2．故答案为：300π．16．（2分）（2023•余姚市校级模拟）已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，把它绕着其中一条直角边旋转一周，其余各边所成的面围成的几何体的表面积为24π或36π．解：由勾股定理得：斜边为＝5，分为两种情况：①当绕着长度为4的直角边旋转一周时，其余各边所成的面围成的几何体的表面积为π×32+×2π×3×5＝9π+15π＝24π，②当绕着长度为3的直角边旋转一周时，其余各边所成的面围成的几何体的表面积为π×42+×2π×4×5＝16π+20π＝36π，所以把它绕着其中一条直角边旋转一周，其余各边所成的面围成的几何体的表面积为24π或36π．故答案为：24π或36π．17．（2分）（2023•临海市一模）公元前6世纪，古希腊学者泰勒斯用图1的方法巧测金字塔的高度．如图2，小明仿照这个方法，测量圆锥形小山包的高度，已知圆锥底面周长为62.8m．先在小山包旁边立起一根木棒，当木棒影子长度等于木棒高度时，测得小山包影子AB长为23m（直线AB过底面圆心），则小山包的高为33m（π取3.14）．解：连接EF，过D作DC⊥AB于C，由题意可知，△ACD∽△EGF，∴，∵圆锥底面周长为62.8m．∴C＝2π⋅BC＝62.8m，解得BC＝10m，∵AB＝23m，∴DC＝AC＝AB+BC＝23+10＝33（m），∴小山包的高为33m．故答案为：33．18．（2分）（2019春•椒江区校级月考）如图，已知一块圆心角为270°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），圆锥底面圆的直径是60cm，则这块扇形铁皮的半径是40cm．解：∵圆锥的底面直径为60cm，∴圆锥的底面周长为60πcm，∴扇形的弧长为60πcm，设扇形的半径为r，则＝60π，解得：r＝40cm，故答案为40．19．（2分）（2022•鹿城区校级三模）如图1，一个可绕公共顶点A旋转的收纳柜放置在橱柜转角处，两层抽屉形状大小都相同．图2，图3为上层抽屉旋转过程中的俯视图，下层抽屉的长AD＝30cm，宽AB＝20cm，MA＝10cm，当上层抽屉旋转至边B′C′恰好经过点D时（如图2），AD′与边MN平行，此时点D′到BC的距离为40cm；当上层抽屉旋转至AD′碰到边MN时（如图3），此时点D′到BC的距离为cm．解：如图2中，过点D′作D′T⊥BM交BM的延长线于点T．∵∠TAD＝∠D′AB′＝90°，∴∠TAD′＝∠DAB′，∵∠T＝∠B′＝90°，AD′＝AD，∴△TAD′≌△B′AD（AAS），∴AT＝AB′＝20（cm），∴TB＝AT+AB＝40（cm），∴点D′到直线BC的距离为40cm．在Rt△ADB′中，DB′＝＝＝10（cm），∴△ADB′的三边比＝20：10：30＝2：：3，如图3中，过点D′作D′R⊥BM交BM的延长线于点R．由题意可知，图3中的Rt△MD′R与图2中Rt△ADB′相似，∴可以假设MR＝2k，RD′＝√5k，MD′＝3k，在Rt△ARD′中，则有302＝（k）2+（2k+10）2，解得k＝或（舍去），∴MR＝2K＝，∴RB＝RM+AM+AB＝+10+20＝（cm）．故答案为：40，．20．（2分）（2020•金东区模拟）已知如图1，圆柱体铅笔插入卷笔刀充分卷削，得到底面直径BC为2的圆锥，∠BAC＝30°．底面边长为1的正六棱柱铅笔插入卷削，得到如图2所示铅笔和锯齿状木屑（木屑厚度忽略不计），木屑锯齿齿锋点G相邻凹陷最低点为H，则AG＝+，GH＝．解：如图1中，在Rt△AOG中，∵∠AOG＝90°，∠OAG＝15°，OG＝1，在AO上取一点J，使得AJ＝JG，连接JG．∵AJ＝JG，∴∠A＝∠JGA＝15°，∴∠OJG＝∠A+∠AGJ＝30°，∴JG＝AJ＝2OG＝2，OJ＝OG＝，∴AG＝＝＝+，如图2中，作HM⊥GK于M．在Rt△GKH中，∵∠GHK＝90°，HG＝HK，GK＝1，∴HG＝KH＝，补充说明：∠KHG＝90°．如图3中，∵△OGK是边长为1的等边三角形，ON⊥GK，∴MN＝ON﹣OM＝1﹣，如图4中，∵MH∥OA，∴＝，∴MH＝OA•＝（2+）•＝，在如图4中，则有MH＝GM＝MK，∴△GKH是等腰直角三角形，故答案为+，．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2019•吴兴区二模）如图，BM是⊙O的直径，四边形ABMN是矩形，D是⊙O上的点，DC⊥AN，与AN交于点C，已知AC＝15，⊙O的半径为30．（1）求的长．（2）连接OD，若将扇形BOD卷成一个圆锥，求这个圆锥底面半径的长．解：（1）连接OD，延长DC交BM于点E，∵BM是⊙O的直径，四边形ABMN是矩形，D是⊙O上一点，DC⊥AN，∴DE⊥BO，∵AC＝15cm，∴BE＝15cm，∴EO＝15cm，∵DO＝30cm，∴cos∠DOE＝＝，∴∠EOD＝60°，∴的长＝＝10π（cm）；（2）设圆锥底面半径为rcm，则2πr＝10π，解得，r＝5，即圆锥底面半径的长为5cm．22．（6分）（2020•温州模拟）如图是由5个棱长为1的正方体叠放而成的一个几何体，请画出这个几何体的三视图．（用铅笔描黑）解：如图所示：23．（8分）（2018•长兴县一模）如图，在四边形ABCD中，BC＝CD＝2，AB＝3，AB⊥BC，CD⊥BC．（1）求tan∠BAD；（2）把四边形ABCD绕直线CD旋转一周，求所得几何体的表面积．解：（1）过点D作DE⊥AB，tan∠BAD＝，（2）侧面积：4π×3＝12π，底面积＝4π，凹圆锥侧面积＝，所以表面积＝（16+2）π．24．（8分）（2023•婺城区一模）如图是用10个完全相同的小立方体搭成的几何体．（1）已知该几何体的主视图如图所示，请在空白的方格中画出它的左视图和俯视图．（2）若保持主视图和俯视图不变，最多还可以再搭3个小立方体．解：（1）如图所示：（2）保持主视图和俯视图不变，最多还可以再搭3块小正方体．故答案为：3．25．（8分）（2020•江北区模拟）将立方体纸盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，可以得到其表面展开图的平面图形．（1）以下两个方格图中的阴影部分能表示立方体表面展开图的是A（填A或B）．（2）在以下方格图中，画一个与（1）中呈现的阴影部分不相似（包括不全等）的立方体表面展开图．（用阴影表示）（3）如图中的实线是立方体纸盒的剪裁线，请将其表面展开图画在右图的方格图中．（用阴影表示）解：（1）两个方格图中的阴影部分能表示立方体表面展开图的是A，故答案为：A．（2）立方体表面展开图如图所示：（3）将其表面展开图画在方格图中如图所示：26．（8分）（2017•吴兴区校级二模）如图，身高1.6米的小明从距路灯的底部（点O）20米的点A沿AO方向行走14米到点C处，小明在A处，头顶B在路灯投影下形成的影子在M处．（1）已知灯杆垂直于路面，试标出路灯P的位置和小明在C处，头顶D在路灯投影下形成的影子N的位置．（2）若路灯（点P）距地面8米，小明从A到C时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？解：（1）如图（2）设在A处时影长AM为x米，在C处时影长CN为y米由，解得x＝5，由，解得y＝1.5，∴x﹣y＝5﹣1.5＝3.5∴变短了，变短了3.