江苏省镇江市扬中市外国语中学2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试题（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页江苏省镇江市扬中市外国语中学2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．将一元二次方程化为一般形式，正确的是（

）A． B．C． D．2．下列一元二次方程没有实数根的是(

)A． B． C． D．3．已知代数式，无论取任何值，它的值一定是（

）A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数4．已知等腰三角形的一边为5，另一边恰好是一元二次方程的一个解，则这个等腰三角形的周长是（

）A．9或17 B．12或16 C．12或16或17 D．9或12或16或175．已知m是关于x的一元二次方程的一个实数根，且满足，则a的值为（

）．A． B．1 C．或 D．或16．有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（

）A． B． C． D．7．如图，是的弦，，交于点是上一点，连接．若，则的度数为（

）A． B． C． D．8．四边形中，，，，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示，有下列结论：当时，；当时，的最大面积为；有两个不同的值满足的面积为．其中，正确结论的个数是（

）A． B． C． D．9．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表：x﹣1013y﹣1353则代数式﹣（4a+2b+c）的值为（）A． B． C．9 D．1510．如图，是直径，，，点是弦上的一个动点，那么的最小值为（

）A．1+ B．1+ C． D．二、填空题11．若，则．12．已知⊙O的半径为，，是的中点，则点与⊙O的位置关系是点在．（填圆内、圆外或圆上）13．如图，在中，是直径，是弦，连接，若，则度．14．一种药品原价每盒100元，经过两次降价后售价为每盒64元，两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，则可列方程为．15．一直角三角形的两直角边是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为．16．若实数m、n满足m+n＝2，则代数式2m2+mn+m﹣n的最小值是．三、解答题17．解方程(1)(2)(3)(4)18．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CE⊥AB于E，BD交CE于点F，CF＝BF，（1）求证：C是的中点；（2）若CD＝4，AC＝8，则⊙O的半径为．19．如图，在边长为1的正方形网格图中，建立平面直角坐标系，一圆弧经过点A，B，C，D，其中A，B，C为网格点．(1)请直接写出图中弧所在圆的圆心P的坐标_______；(2)求圆周角的度数．20．已知关于的一元二次方程．(1)证明：不论为何值时，方程总有实数根；(2)若方程两根为平行四边形一组邻边长，当该平行四边形是菱形时，求菱形的边长．21．如图，用长为25米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．(1)设花圃的一边长为米，请用含的代数式表示另一边的长为米；(2)若此时花圃的面积刚好为平方米，求此时花圃的长与宽；(3)建成花圃的面积能为平方米吗？请说明理由．22．某商场销售一批小家电，平均每天可售出台，每台盈利元．为了去库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，在一定范围内，小家电的单价每降元，商场平均每天可多售出台．(1)若将这批小家电的单价降低元，则每天的销售量是台（用含的代数式表示）；(2)如果商场通过销售这批小家电每天要盈利元，那么单价应降多少元？(3)若降价元时利润为，写出与的函数关系式，并求出的最大值．23．研究发现：当四边形的对角线互相垂直时，该四边形的面积等于对角线乘积的一半，如图1，已知四边形内接于，对角线，且．(1)求证：；(2)若的半径为，弧的度数为，求四边形的面积；(3)如图2，作于，请猜测与的数量关系，并证明你的结论．24．在矩形中，，，点P从点A出发，沿边向点B以每秒的速度移动，同时点Q从点D出发沿边向点A以每秒的速度移动，P、Q其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒．解答下列问题：(1)如图①，t为何值时，的面积等于；(2)如图②；若以点P为圆心，为半径作⊙P．在运动过程中，是否存在t值，使得⊙P经过点C？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；(3)如图③，若以Q为圆心，为半径作⊙Q，若点E是此时⊙Q上一动点，F是的中点，连接，则线段的最大值为．25．问题提出：(1)如图1，已知是边长为2的等边三角形，则的面积为___________．问题探究：(2)如图2，在中，已知，，求的最大面积．问题解决：(3)如图3，某校学生礼堂的平面示意图为矩形ABCD，其宽米，长米，为了能够监控到礼堂内部情况，现需要在礼堂最尾端墙面上安装一台摄像头M进行观测，并且要求能观测到礼堂前端墙面区域，同时为了观测效果达到最佳，还需要从点M出发的观测角．请你通过所学的知识进行分析，在墙面区域上是否存在点M满足要求？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《江苏省镇江市扬中市外国语中学2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试题》参考答案题号12345678910答案DDBCABBCBC1．D【分析】本题考查一元二次方程的一般形式（，且a、b、c均为常数），掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．去括号、移项，使等号右边为0，化为一元二次方程的一般形式，对比选项即可．【详解】解：去括号得：，移项得：，故选：D．2．D【分析】本题主要考查根的判别式，分别计算出每个方程中的判别式的值，从而得出答案．【详解】解：A．方程中，此方程有两个不相等的实数根；B．方程中，此方程有两个相等的实数根；C．方程中，此方程有两个不相等的实数根；D．方程中，此方程没有实数根；故选D．3．B【分析】本题考查了配方法的应用；直接利用完全平方公式分解因式进而利用偶次方的性质分析得出即可．【详解】∵，，∴，则故选：B．4．C【分析】本题考查等腰三角形的性质和解一元二次方程，解题的关键是分类讨论等腰三角形的腰长和底长，需要注意构成三角形的条件．先求出一元二次方程的根，再讨论5是等腰三角形的底还是腰，求出三角形周长．【详解】解：，，解得，若等腰三角形的底是5，当等腰三角形的腰是6，∵，∴能构成三角形，周长为；当等腰三角形的腰是2，∵，∴不能构成三角形；若等腰三角形的腰是5，当等腰三角形的底是2，∵，∴能构成三角形，周长为；当等腰三角形的底是6，∵，∴能构成三角形，周长为，∴这个等腰三角形的周长是12或16或17．故选：C．5．A【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，由题意可求得，，从而可得出方程，解方程即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】解：∵m是关于x的一元二次方程的一个实数根，∴，，∴，，∵，∴，整理可得：，解得：或，∵，∴，故选：A．6．B【分析】先列出x支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛场，再根据题意即可列出方程．【详解】解：由题意得：；故选B．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．7．B【分析】本题考查圆周角定理、垂径定理及圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟知圆周角定理及垂径定理是解题的关键．由得到，根据题意得到，继而得到，最后利用等边对等角即可解决问题．【详解】解：，，是的弦，，，，，，，，故选：B．8．C【分析】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，三角形面积的计算，熟练应用数形结合思想和二次函数的性质是解题的关键．当时，点在上，求出、，可判断；当时，点在上，利用三角形面积公式表示出的面积，利用二次函数的性质，可判断；分两种情况：当点在上时，当点在上时，结合的面积为，列出方程，可判断．【详解】解：根据题意得：点在上的运动时间为，点在上的运动时间为，点在上的运动时间为，当时，点在上，此时，，，，故正确；当时，点在上，此时，，，，，当时，随的增大而增大，当时，取得最大值，最大值为，即当时，的最大面积为，故错误；当点在上时，的面积为，，解得，（舍去），当时，的面积为；当点在上时，，，，即，此时，解得，当时，的面积为；有两个不同的值满足的面积为，故正确．综上，正确结论有，共个．故选：C．9．B【分析】由当x=0和x=3时y值相等，可得出二次函数图象的对称轴为直线x=，进而可得出的值，由x=1时y=5，可得出当x=2时y=5，即4a+2b+c=5，再将=及4a+2b+c=5代入（4a+2b+c）中即可求出结论．【详解】解：∵当x＝0和x＝3时，y值相等，∴二次函数图象的对称轴为直线x＝，∴．∵当x＝1时，y＝5，∴当x＝2×﹣1＝2时，y＝5，∴4a+2b+c＝5．∴（4a+2b+c）＝×5＝．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，利用二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，找出和（4a+2b+c）的值是解题的关键．10．C【分析】作，过点作于点，过点作于点，连接，在中，，则，根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，最小值为，再利用已知条件求得值即可．【详解】解：作，过点作于点，过点作于点，连接．，，∴在中，，，根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，最小值为，∵，，，∴，∵，∴∴在中，，∴由勾股定理得：，的最小值为故选：C．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，平行线的性质，等腰三角形的性子，熟练掌握知识点，将转化为是解题的关键．11．【分析】利用平方根的定义解答．【详解】解：∵，∴，故答案为：．【点睛】此题考查平方根的定义：一个数的平方等于a，这个数叫a的平方根，熟记定义是解题的关键．12．圆内【分析】本题考查点与圆位置关系，解题的关键在于正确计算的长度．要判断点与⊙O的位置关系，需计算点到圆心的距离，并与圆的半径比较．点是的中点，已知为，因此可求出的长度，进而比较与半径的大小关系．【详解】解：，且是的中点，,⊙O的半径为，而，则，点到圆心的距离小于半径，说明点在圆内．故答案为：圆内．13．25【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，圆周角定理的应用，先求解，再利用圆周角定理可得答案．【详解】解：∵是的直径，∴．∴，∵，∴，故答案为：25．14．【分析】本题考查了一元二次方程实际应用题，设每次降价的百分率为x，根据原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程．【详解】解：设每次降价的百分率为x，根据题意得：，故答案为：．15．5【分析】本题主要考查了解一元二次方程，勾股定理，直角三角形外接圆圆心的位置问题，先解方程求出两直角边的长，进而利用勾股定理求出斜边长，再由直角三角形外接圆圆心是斜边的中点，直径即为斜边即可得到答案．【详解】解：解方程得或，∴该直角三角形的两直角边长分别为3，4，∴该直角三角形的斜边长为，∵直角三角形外接圆圆心是斜边的中点，直径即为斜边∴此直角三角形的外接圆的直径为，故答案为：．16．﹣6．【分析】设y=2m2+mn+m-n，由m+n=2得n=2-m，再由二次函数的性质即可解决问题．【详解】设y＝2m2+mn+m﹣n，∵m+n＝2，∴n＝2﹣m，∴y＝2m2+m（2﹣m）+m﹣（2﹣m）＝m2+4m﹣2＝（m+2）2﹣6，此为一个二次函数，开口向上，有最小值，当m＝﹣2时，y有最小值为﹣6，故答案为：﹣6．【点睛】本题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．17．(1)；(2)(3)(4)．【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．（1）利用直接开平方法解题即可；（2）利用公式法解题即可；（3）利用因式分解法解题即可；（4）利用因式分解法解题即可．【详解】（1）解：（2），，（3）或（4）或．18．（1）见解析；（2）2.【分析】（1）由AB是直径知∠CAB+∠CBE=90°，由CE⊥AB知∠ECB+∠CBE=90°，据此得∠CAB=∠ECB，由CF=BF知∠FCB=∠FBC，从而得∠CDB=∠FBC，即可得证；（2）利用（1）中所得结论得出BC=CD=4，再根据勾股定理可求得AB的长，即可得出答案．【详解】解：（1）∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠CBE＝90°，∵CE⊥AB，∴∠ECB+∠CBE＝90°，∴∠CAB＝∠ECB，∵∠CAB＝∠CDB，∴∠CDB＝∠ECB，又∵CF＝BF，∴∠FCB＝∠FBC，∴∠CDB＝∠FBC，∴圆弧CD＝圆弧BC，∴C是圆弧BD的中点；（2）由（1）知C是圆弧BD的中点，∴BC＝CD＝4，∵∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝4，∴⊙O的半径为2，故答案为（1）见解析；（2）2．【点睛】本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质以及勾股定理，也考查了直径所对的圆周角为90度．注意数形结合思想的应用．19．(1)(2)【分析】本题主要考查垂径定理、勾股定理及其逆定理：（1）根据网格特征和垂径定理可知的垂直平分线的交点即为圆心；（2）根据可得，连接，根据勾股定理逆定理可得是等腰直角三角形，即可求解．【详解】（1）解：的垂直平分线的交点即为圆心点P，所以圆心P的坐标为；故答案为：（2）解：弧弧，，连接，，，，，，，是等腰直角三角形，，．20．(1)见解析(2)【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，菱形的性质，掌握根的判别式符号与根的关系是解题的关键；（1）计算判别式得，即可证明方程有实数根；（2）由菱形的性质，邻边相等，从而方程有两个相等的实数根，求得m的值，代入原方程，求解方程即可得菱形的边长．【详解】（1）证明：，不论为何值时，方程总有实数根；（2）解：平行四边形是菱形，邻边相等，方程有两个相等的实数根，，，此时方程：，解得：，菱形边长为．21．(1)(2)宽为5米，长为米(3)不能，理由见解析【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、根的判别式以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．（1）由题意列出代数式即可．（2）根据花圃的面积刚好为平方米，结合题意可列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．（3）设花圃的一边长为米，则，根据花圃的面积为平方米，列出一元二次方程，然后由根的判别式，即可得出结论．【详解】（1）解：∵长方形花圃的宽长为米，∴另一边的长为米，故答案为：；（2）解：∵花圃的面积刚好为平方米，∴，化简得：，解得：，，∵墙的最大可用长度为米，当时，，不符合题意，舍去；当时，，符合题意；答：此时花圃的长与宽边分别为米和5米；（3）解：建成花圃的面积不可能为平方米，理由如下：设花圃的一边长为米，则，根据题意可得：，整理得：，∵，∴方程无解，∴建成花圃的面积不可能为平方米．22．(1)(2)单价应降元(3)，的最大值为元【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是明确题意，列出相应的代数式、一元二次方程、函数关系式，利用二次函数的性质解答．（1）根据销售量（降低的金额），即可得出结论；（2）根据总利润每台利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解方程即可得出结论；（3）根据总利润每台利润销售数量，即可列出函数解析式，再根据函数图象的性质求解即可．【详解】（1）解：根据题意得：台．故答案为：；（2）解：根据题意得：，整理得：，解得．答：单价应降元；（3）解：根据题意得：，，抛物线开口向下，当时，取最大值，最大值为元．23．(1)见解析(2)(3)，理由见解析【分析】（1）根据弦、弧、圆心角的关系证明；（2）根据的度数为，得到，利用垂径定理以及勾股定理，解直角三角形得出，根据题意计算即可；（3）连结，作于，如图3，根据垂径定理得到，再利用圆周角定理得到，再利用等角的余角相等得到，则可证明得到，证明结论．【详解】（1）证明：∵，∴，则，∴；（2）如图1，连接，作于H，解：∵的度数为，∴，∴，则，∴，则四边形的面积；（3），连结，作于，如图2，∵，∴，∵，而，∴，同理可得，∵，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质和矩形的性质、会利用三角形全等解决线段相等的问题是解题的关键．24．(1)或5(2)，理由见详解(3)【分析】本题主要考查了矩形的性质，解一元二次方程，相似三角形的判定与性质，直线与圆的位置关系，勾股定理以及三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．（1）直接利用三角形的面积公式构建方程即可解决问题；（2）连接，根据切线长定理可得，利用勾股定理构建方程即可解决问题；（3）先求出，连接，，取的中点，连接，，作于，则，，根据，可得，，，再求出，，根据即可解决问题．【详解】（1）解：在矩形中，，，由题意设运动时间为t秒，∴，，∵的面积等于，∴，整理得：，解得：，，