山东省青岛市2025-2026学年上学期九年级期中模拟数学试题（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页山东省青岛市2025-2026学年上学期九年级期中模拟数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列方程是关于的一元二次方程的是（

）A． B．C． D．（为常数）2．如图，已知，，，则的长等于（

）A．4 B．5 C．6 D．73．在一个不透明的盒子中装有若干个白球和3个红球（除颜色外其余都相同），如果从袋子里摸出一个球记录下颜色后放回，经过多次重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在左右，则白球约为（

）个A．9 B．12 C．15 D．184．勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比珠玉，后者堪称黄金，生活中到处可见黄金分割的美．如图是一种贝壳的俯视图，点C为线段的黄金分割点（），已知，则长为（

）A． B． C． D．5．根据关于x的一元二次方程x2+px+q=0，可列表如下：则方程x2+px+q=0的正数解满足（）x00.511.11.21.3x2+px+q﹣15﹣8.75﹣2﹣0.590.842.29A．解的整数部分是0，十分位是5 B．解的整数部分是0，十分位是8C．解的整数部分是1，十分位是1 D．解的整数部分是1，十分位是26．若关于的一元二次方程有两个实数根，则可取最大整数为（

）A． B．0 C．1 D．27．如图，在矩形中，，，点在边上，点在边上，点G、H是对角线上的两点，若四边形是菱形，则线段的长是（

）A． B． C． D．108．如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点恰好落在对角线上的点处（不与、重合），折痕为，若，，则的长为（

）A． B． C．4.5 D．59．如图，在正方形中，边长为6，点，分别是，边上的点，且，平分，连接，分别交，于点，．点是的中点，连接．下列结论其中正确的有（

）个．①；②；③垂直平分；④；⑤的面积为．A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题10．已知正数满足，若，则．11．徐老师购买了1681张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签名卡，每位同学间也互赠了一张签名卡，签名卡恰好用完，则班级共有名学生．12．如图，菱形的对角线相交于点，，垂足为，连接．若，，则．13．如图在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建两条同样宽且互相垂直的平行四边形道路，道路与矩形边所夹的锐角，剩余部分种上草坪，使草坪面积为299米，求图中的值．请根据题意，列出关于的方程：．14．如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为米，车头可近似看成一个矩形，且满，盲区的长度是6米，车宽的长度为米．

15．如图，在矩形中，，，点为上一个动点，以为边向右构造菱形，且，连接，则线段长的最小值为．三、解答题16．请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．

已知：，求作：，使得在边上，且它到、两边的距离相等．17．解下列方程：(1)（配方法）；(2)．(3)定义运算：，解关于的方程．18．一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”、“好”、“数”、“学”四个字，卡片除文字外都相同、并将四张卡片充分搅匀．(1)从盒子中随机抽取1张卡片，恰好抽到写有“数”的卡片概率是____________；(2)一次从盒子中随机抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽取的卡片恰好1张写有“数”、1张写有“学”的概率．19．已知关于x的一元二次方程．(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)如果方程的两实根为，，且，求m的值．20．如图，在与中，，，，，，在同一直线上，连接，交于点，交于，交于，连接．(1)求证：；(2)直接写出的长为______．21．在综合实践课上，数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题，实践报告如下：活动课题设计围篱笆的方案活动工具直角三角板、量角器、皮尺、篱笆等活动过程【了解场地】如图，测出墙与墙的夹角是，墙最长6米，足够长；【设计图纸】用篱笆围成一个梯形的菜园，梯形满足，，且边上留一个1米宽的门；

【准备材料】现有篱笆的长度是．解决问题如何围篱笆才能使其所围梯形的面积为？请你帮助兴趣小组解决以上问题．22．如图，在中，点、分别为、上的点，，连接，点、分别为、的中点，连接．(1)求证：；(2)已知______（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论．条件①：；条件②：．（注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分）23．某车间生产两种笔：型：每支成本5元，定价为元；型：每支成本6元，定价为元．根据车间实际情况，两种笔每季度生产总量仅为100万支，为了将生产的笔全部售出，两种笔的定价会相互影响．根据调查：型笔的销量万支与定价元的关系如下：定价（元）…6789…销量（万支）…100908070…型笔的定价为7元时，销量为85万支，售价每提高1元，销量减少5万支．(1)求型笔的销量万支与售价元的关系式；(2)当型笔的定价为7元时，型笔的定价为______元；该厂家将生产的两种笔型出售后所获得的利润为______万元；(3)若型笔每支利润率不超过，求该厂家如何定价，将生产的所有笔都出售后所获得的利润是520万元？24．【图形感知】如图1，正方形纸片，，为线段上的一点，，是线段上任意一点，将四边形沿翻折得到，点、对应点分别为、，直线分别交、分别为点、点．（1）猜想并证明、的位置和数量关系；【探究发现】如图2，老师指导同学对图1所示的纸片进行进一步的折叠探究．（2）当点恰好落到上时，设交于，连接，①甲同学发现：可以求出的长；②乙同学发现：可以计算的度数；请你帮助一下甲乙两位同学，求解出的长为______，的度数为______．（3）老师进一步提问，连接，若改变点的位置，点在线段上运动过程中，是否存在最小值？甲乙两位同学陷入沉思…，请你想一想是否存在？若存在，直接写出最小值；若不存在，请说明理由．25．如图，在中，，，，将沿翻折得到，点为的中点．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接．设运动时间为．(1)当时，求的值；(2)设四边形的面积为，求与的函数关系式；(3)连接，当平分线段时，求的值；(4)在运动过程中，是否存在某一时刻，使点在的平分线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《山东省青岛市2025-2026学年上学期九年级期中模拟数学试题》参考答案题号123456789答案CABDCBCBC1．C【分析】本题考查一元二次方程的判断，根据只含有一个未知数，且含有未知数的项的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程，进行判断即可．【详解】解：A、它是分式方程，不符合题意；B、方程化简为：，为一元一次方程，不符合题意；C、它是一元二次方程，符合题意；D、当时，它不是一元二次方程，不符合题意；故选C．2．A【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理，得到，进而得到，即可得出结果．【详解】解：∵，∴，∴，∵，∴；故选A．3．B【分析】本题主要考查分式方程的应用及利用概率求数量，读懂题意列出方程是解题的关键．设盒子中白球有个，根据题意列出方程，解方程即可得出答案．【详解】解：设盒子中白球有个，根据题意有，，解得：，经检验，是原分式方程的解．故选：B．4．D【分析】本题主要考查了黄金分割，理解和熟练掌握黄金分割定理是解决本题的关键；根据题意，得到比例关系，将代入，即可解决本题．【详解】解：∵点C为线段的黄金分割点（），，∴，∴的长为．故选：D．5．C【分析】通过观察表格可得x2+px+q=0时，1.1＜x＜1.2，即可求解．【详解】解：由表格可知，当x=1.1时，x2+px+q＜0，当x=1.2时，x2+px+q＞0，∴x2+px+q=0时，1.1＜x＜1.2，∴解的整数部分是1，十分位是1，故选：C．【点睛】本题考查一元二次方程的解，通过观察所给的信息，确定一元二次方程解的范围是解题的关键．6．B【分析】本题主要考查了根的判别式、解一元一次不等式等知识，对于一元二次方程，则有方程有两个实数根，方程有两不等的实数根，方程有两相等的实数根，方程没有实数根．根据一元二次方程的定义和根的判别式即可得到k的取值范围，即可求出答案．【详解】解：，根据题意知且，解得且，故可取的最大整数是．故选：B．7．C【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，矩形的性质，菱形的性质，勾股定理的应用，如图，连接交于点O，连接，证明，，可得，可得，结合，进一步求解即可.【详解】解：如图，连接交于点O，连接，∵四边形是菱形，∴，，∴，∵四边形是矩形，∴，，∴，在与中，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，解得：；故选：C．8．B【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，作，先证明为等边三角形，进而得到为含30度角的直角三角形，设，得到，折叠得到，在中，利用勾股定理进行求解即可．【详解】解：∵在菱形中，，∴，∴为等边三角形，∴，，∵，∴，作于点，设，则，∵，∴，∴，，∴，∵折叠，∴，在中，由勾股定理，得：，解得；∴；故选B．9．C【分析】由正方形的性质可得，，，证明，得出，，证明，得出，求出，结合题意可得垂直平分，，即可判断③；证明为的中位线，即可判断①；证明，即可判断④；由三角形内角和定理并结合三角形外角的定义及性质即可判断②；作于，则为等腰直角三角形，求出，再由与中线有关的三角形的面积计算即可判断⑤；从而得出答案．【详解】解：∵四边形为正方形，∴，，，在和中，，∴，∴，，∵，∴，即，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，即，∵平分，∴垂直平分，，故③正确；∵点是的中点，∴为的中位线，∴，故①正确；∵，，∴，∴，∵，∴，故④正确；∵垂直平分，∴，∴，∵，，∴，∵，，∴，故②正确；如图，作于，，则为等腰直角三角形，∴，∴,∵，∴，∵点是的中点，∴，故⑤错误；综上所述，正确的有①②③④，共个，故选：C．【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．10．【分析】本题考查比例的性质，根据比例的性质进行求解即可，熟练掌握比例的性质是解题的关键．【详解】解：∵正数满足，∴，∵，∴；故答案为：．11．【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设班级有名学生，根据题意列出方程即可，根据题意得等量关系，建立方程是解题的关键．【详解】解：设班级有名学生，根据题意得：，解得：，（舍去），∴班级共有41名学生．故答案为：．12．【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理和直角三角形的性质，掌握菱形的性质是解决本题的关键．根据菱形的性质可得是直角三角形，是斜边的中线，再根据勾股定理算出的值，进而根据菱形的面积公式即可求解．【详解】解：∵四边形是菱形，∴其对角线互相垂直且平分，∴O是的中点．又∵，∴是直角三角形，是斜边的中线．∴，在菱形中，，且．∵对角线互相垂直（），∴是直角三角形．由勾股定理得：，∴．∵菱形的面积公式分为两种：对角线乘积的一半，即；底乘高，即．∴，故答案为：．13．【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据矩形面积草坪面积两条道路的面积两条道路重合部分的面积列出方程即可．【详解】解：如图：过点作，∵，∴，由题意，，米，∴米，米，∵矩形面积草坪面积两条道路的面积两条道路重合部分的面积，∴根据题意，可列方程为：．即，故答案为：．14．/【分析】过点作，垂足为，交于点，根据题意，设米，由得，，证明，得出，根据列出方程，解方程即可求解．【详解】解：如图，过点作，垂足为，交于点，

则，设米，由得，，∵四边形是矩形，∴，∴，∴，即，∴，∵，∴，解得，，∴车宽的长度为米，故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．15．【分析】连接交于点，连接交于点，连接并延长交于，利用矩形的性质，解直角三角形推出为等边三角形，证明，得到为含30度角的直角三角形，进而得到，证明，得到，确定点的轨迹，再根据点到直线垂线段最短进行求解即可．【详解】解：当点在矩形内部时，如图，连接交于点，连接交于点，连接并延长交于，∵矩形，，，∴，，∴，∴，∴为等边三角形，，，∴，∵以为边向右构造菱形，且，∴，∴，，又∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，当点在矩形的外部时，如图，同理可得：，∵，即点在直线上运动，∴当时，最小，∵，∴；故答案为：．【点睛】本题考查矩形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，确定点的轨迹，是解题的关键．16．见解析【分析】过点作的角平分线，根据角平分线的性质可知，于交点为点，过点作直线的平行线，再上作，连接，即可得到．【详解】解：如图，即为所求作．

【点睛】本题考查了基本作图——角平分线、过直线外一点作平行线，作线段，以及平行四边形的判定和角平分线的性质定理，熟练掌握基本作图方法是解题关键．17．(1)，(2)，(3)，【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键．（1）利用配方法解一元二次方程即可；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可；（3）由题意可得，再利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】（1）解：∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，；（2）解：∵，∴，∴，∴，∴或，∴，；（3）解：∵，∴，∴，∴，∴或，∴，．18．(1)(2)【分析】本题考查利用概率公式计算概率，掌握树状图或列表法求概率是解题的关键．（1）直接利用概率公式即可解题；（2）运用树状图列出所有等可能的结果，找出符合条件的结果数量，利用公式解题即可．【详解】（1）解：盒子里装有四张卡片，从盒子中随机抽取1张卡片，恰好抽到“数”的概率是，故答案为：．（2）解：画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中抽取的卡片恰好1张为“数”，1张为“学”的结果有2种，∴抽取的卡片恰好1张为“数”、1张为“学”的概率为：．19．(1)见解析(2)或【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元一次方程根与系数的关系，掌握相关的知识是解题的关键．（1）证明即可；（2）根据根与系数的关系得到，，将变形为，代入相应的值，得到关于m的方程，求解即可．【详解】（1）解：∵，∴，∴方程有两个不相等的实数根．（2）解：∵方程的两实根为，，∴，，∵，∴，∴，解得或．20．(1)见解析(2)【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理、勾股定理、圆的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）由题意可得，，由勾股定理可得，，从而即可证明，由相似三角形的性质可得，再证明，即可得证；（2）由（1）可得，，，，，由勾股定理计算得出，由三角形内角和定理得出，结合对顶角相等得出，从而可得点、、、四点共圆，求出，即，再由三角形面积公式，计算即可得解．【详解】（1）证明：与中，，，，∴，，∴，，，，，，即，又，．（2）解：由（1）可得：，，，，，∴，，∴，∵，，，∴，∴，∵，∴，∴点、、、四点共圆，∴，∴，即，∵，∴，∴，故答案为：．21．为米，为米时，篱笆所围梯形的面积为【分析】本题考查了矩形的判定与性质，一元二次方程的应用，等腰三角形的性质，过点作于，则四边形为矩形，由矩形的性质可得，，设为米，由平行线的性质可得，从而得出，求出，，再由题意列出一元二次方程，解方程即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】解：过点作于，则，四边形为矩形，，，设为米，，，，，，，由题意可得，，，解得，（此时，不符题意），答：为6米，为10米时，篱笆所围梯形的面积为．22．(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定，矩形和菱形的判定，斜边上的中线，熟练掌握相关判定和性质，是解题的关键：（1）根据平行四边形的性质，得到，根据，推出，即可得证；（2）选择①，先证明四边形是平行四边形，三线合一得到，即可得出结论；选择②，先证明四边形是平行四边形，再推出，即可得出结论．【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，，，，，，即，．（2）若选①，四边形是矩形．证明：，，，又分别为的中点，，四边形是平行四边形，，，，，即，四边形是平行四边形，，是的中点，，平行四边形是矩形．若选②，四边形是菱形．证明：，，，又分别为的中点，，四边形是平行四边形，，，，，即，四边形是平行四边形，，是的中点，，平行四边形是菱形．23．(1)(2)22，340(3)厂家应将型笔每支定价8元，B型笔每支定价20元，可获利520万元【分析】此题考考查了函数的应用，一元二次方程的应用与解方程，利润及利润率的计算，解题的关键在于正确列出等量关系．（1）由表得出定价为6元时，销量为100万支，根据型笔的定价与销量的关系，列出对应的函数关系式；（2）根据型笔的定价求出型笔的销量，B型笔的销量，再根据B型笔的定价与销量的关系求出B型笔的定价，计算利润；（3）根据总利润得到关于、的方程，再根据总产量为100万支再次得到关于、的方程，解出即可．【详解】（1）解：由题意可知，型笔的定价为6元时，销量为100万支，型笔的定价每增加1元，销量降低10万支，，答：型笔的销量万支与售价元的关系式为．（2）解：型笔的定价为7元时，型笔的销量为90万支，此时B型笔销量为（万支），由于B型笔的定价为7元时，销量为85万支，售价每提高1元，销量减少5万支，（元），此时，每支A型笔的利润为（元），每支B型笔的利润为（元）则总利润为（万元），故答案为：，；（3）解：由题意知，，由于总产量为100万支，则，得，，解得，，由于型笔每支的利润率不超过，则，解得，（不符题意），（元），答：厂家应将型笔每支定价8元，B型笔每支定价20元，可获利520万元．24．（1）位置关系：，数量关系：，证明见解析；（2）；；（3）存在，【分析】（1）过作于，证明四边形是矩形得，根据折叠的性质得，证明，再根据全等三角形的性质即可得证；（2）过作于，过点作于，设，根据（1）结论及正方形的性质得，，由折叠的性质得，，在中，由，可得或（不符合题意，舍去），求可得的值，证明得，证明得，可得答案；（3）如图，连接，根据正方形的性质及勾股定理得，，由（1）知：，即，推出点在以为直径的上，连接，，，过作于，作于，继而得到，四边形是矩形，计算出，，∴，进一步推出，即，当点、、共线时，取“”，此时取得最小值．【详解】（1）解：位置关系：，数量关系：，证明：过作于，∴，∵四边形是正方形，∴，，∴，，∴四边形是矩形，∴，∵将四边形沿翻折得到，∴，∴，又∵，∴，在和中，，∴，；（2）解：过作于，过点作于，∴，∵四边形是正方形，，，∴，，∴，设，由（1）知：四边形是矩形，，∴，，，∴，，∵将四边形沿翻折得到，点恰好落到上，∴，，在中，，∴，解得：或（不符合题意，舍去），∴，∵，，∴，，∴，在和中，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，故答案为：；；（3