河南省新未来2025-2026学年高三上学期9月联合测评数学试题（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页河南省新未来2025-2026学年高三上学期9月联合测评数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设命题，，则（

）A．， B．，C．， D．，2．样本数据40，70，110，130，160，200，200，290，320的极差和中位数分别为（

）A．280，160 B．280，130 C．250，160 D．250，1453．已知集合，则A的所有真子集的个数为（

）A．6 B．7 C．14 D．154．已知向量，的夹角为，，，则（

）A．1 B． C． D．5．已知直线与焦点在x轴上的双曲线C的其中一条渐近线垂直，则C的离心率为（

）A． B． C． D．6．已知函数满足对于任意的，都有，则的最小正周期的取值范围为（

）A． B． C． D．7．记首项为的等差数列的前项和为，若，则（

）A． B． C． D．8．近日，毛绒卡通玩偶拉布布（LABUBU）火爆全球.已知某款拉布布的头部形状可视为球形，某厂家利用3D打印技术制作该头部模型，一批发商向该厂家定制半径为r（单位：dm）的拉布布头部模型.已知每个这样的模型的打印成本为元，厂家可制作的模型的最大半径为，若批发商以3元/的价格收购，则该厂家售卖单个模型最多可以获利（

）A．元 B．元 C．元 D．元二、多选题9．已知函数的图象经过点，，则（

）A．B．C．曲线关于轴对称D．不等式的解集为10．已知，若，，则下列说法正确的是（

）A． B．C．当时， D．当时，11．设椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为2，短轴长为，A是椭圆E上且位于第一象限内的一点，过点A且与椭圆E相切的直线分别交y轴、x轴于B，C两点，设O为坐标原点，则（

）A．E的长轴长为4 B．设点，则的最小值为C．的面积不小于 D．三、填空题12．某实践团有个男生、个女生，从中任选人发起问卷调研，那么恰好有个女生被选中的方法有种.13．已知，其中a为实数，若，则a=.14．在中，，，则其内切圆半径r的最大值为；若平面内动点P满足，则当r取得最大值时，的取值范围为.四、解答题15．2025年7月22日是二十四节气中的第十二个节气——大暑.受今年气候等多因素的影响，全国各地高温天气持续不断.某校以“预防中暑，防止脱水”为主题举行活动.为了解男女同学对该活动的兴趣程度，对多位该校同学进行了调查，并将结果整理成如下列联表.性别兴趣程度合计感兴趣不感兴趣男生女生合计(1)当m足够大时，估计从该校任选一名对该活动不感兴趣的学生是男生的概率；(2)若根据小概率值的独立性检验，认为对该活动是否感兴趣与性别有关，求正整数m的最小值.附：，其中.0.10.050.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.82816．设函数(1)若，讨论在区间上的单调性；(2)若的极大值点与其一个零点重合，求a.17．在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为F，其图象上两点A，B满足，其中点A在第一象限，点B在第四象限，不与x轴垂直.且当时，点B的横坐标为6.(1)求抛物线E的标准方程；(2)记点，为上一点，求证：.18．如图，三棱柱中，是边长为2的等边三角形，M，N分别为棱，的中点，.

(1)已知，①求证：三棱柱是直三棱柱；②求二面角的正弦值.(2)若，，求异面直线与夹角的余弦值.19．（1）求函数的单调区间；（2）数列满足①记为数列的前n项和，求证：②记为数列的前n项和，求证：附：.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《河南省新未来2025-2026学年高三上学期9月联合测评数学试题》参考答案题号12345678910答案BADCACBDACABD题号11答案ACD1．B【分析】由存在量词命题的否定即可求解．【详解】∵存在量词命题的否定为全称量词命题，∴，.故选：B.2．A【分析】利用极差和中位数公式求解.【详解】样本数据40，70，110，130，160，200，200，290，320，最小数为40，最大数为320，则极差为；这组数据共有9个，因此第五个数据是中位数，即中位数为160.故选：A3．D【分析】根据题意求得，再根据真子集个数公式求解.【详解】∵，∴，解得，又，∴，共4个元素，∴其真子集有个.故选：D4．C【分析】根据的坐标求出模长，利用，的模长和夹角求出，求出后开方求出.【详解】∵，∴，，∴.故选：C.5．A【分析】由焦点在x轴上的双曲线C的渐近线方程为：，得，由进行求解．【详解】由两直线垂直可得双曲线C的一条渐近线的斜率，设焦点在x轴上的双曲线C的方程为，则它的渐近线方程为，结合题意得到，故C的离心率．故选：A6．C【分析】由题意可得相邻两个相等函数值的间隔至少为1，据此可求得最小正周期的范围.【详解】对于任意的，都有，这等价于相邻两个函数值相等的间隔至少为1，对于函数，相邻两个函数值相等的间隔即为周期，故最小正周期.故选：C.7．B【分析】根据等差数列的通项公式列方程，解方程可得数列的基本量，进而可得解.【详解】由已知数列为等差数列，设其公差为，则，解得，所以，，则，故选：B.8．D【分析】由题意可得利润，利用导数可求利润的最大值.【详解】由题意可得利润，所以，且.令，∴，当时，，单调递增；当时，，单调递减，∴利润在时取得最大值，此时，∴该厂家售卖单个模型最多可以获利元.故选：D.9．AC【分析】代入点坐标，解方程组可得函数解析式，再利用定义法可判断函数的奇偶性，再根据复合函数单调性的判断方式可判断函数单调性，进而可判断各选项.【详解】由题意可得，，解得，故选项A正确，选项B错误；由前面计算可知，其定义域为关于原点对称，且，为偶函数，即曲线关于轴对称，故选项C正确；由复合函数单调性可知在区间上单调递减，且为偶函数，故等价于，两边平方可得，解得，故选项D错误；故选：AC.10．ABD【分析】根据诱导公式及给定条件，可得或，，根据，可得，进而可得，分析可得A的正误；根据正弦函数的单调性，可判断B的正误；代入，根据两角和的余弦公式，计算可判断C的正误；根据二倍角公式，计算可判断D的正误，即可得答案.【详解】选项A：∵，∴，∴或，，即或，，∵，∴，∴，∴，，，∴，故选项A正确；选项B：∵，且在上单调递减，∴，又，∴，故选项B正确；选项C：由可知，，∴当时，，故选项C错误；选项D：由题意得，即，∴，由可知，，∴，故选项D正确.故选：ABD11．ACD【分析】根据给定条件，求出椭圆的方程，结合两点间距离公式求解判断AB；求出切线方程，结合三角形面积公式、三角恒等变换求解判断CD.【详解】对于A，半焦距，短半轴长，则长半轴长，椭圆E的长轴长为4，A正确；对于B，椭圆，设点，则，，当且仅当时取等号，B错误；对于C，设切线的方程为，由，得，则，即，，于是，即，切线方程为，由点在切线上，得，点，，又，因此，C正确；对于D，设的倾斜角为，的倾斜角为，的倾斜角为，由，，得，要证，只要证明即可，当时，，，，因此，又，则，即，由，得，于是，；当时，轴，点，直线方程为，，，，则，因此，D正确.故选：ACD12．【分析】根据组合数的定义及计算方式直接可得解.【详解】恰好有个女生被选中时，共有种方法，故答案为：.13．【分析】由复数的除法运算法则化简得，即可求解．【详解】易得，若，则，解得.故答案为：14．（或）【分析】解法一：记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，根据，可求得，记的中点为O，可得，且，可求结论.解法二：不妨记的内心为M.，内切圆半径，利用余弦定理可求得，当且仅当时取等号.，结合且可求结论.【详解】解法一：不妨记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，由余弦定理可得，即，故，又因为，可得，而，故，于是，故，故，当且仅当时，等号成立.故r的最大值为，此时，为等腰三角形.记的中点为O，因为，，可得，于是由等腰三角形性质可知，故且，当且仅当A，P，O三点共线时等号成立.故的取值范围是.解法二：不妨记的内心为M.∵，∴，又，，∴内切圆半径，又由余弦定理，得，∴，∴，∴，当且仅当时取等号.，根据条件，易证得，为等腰三角形，A，M，D三点共线.，由得，故且，当且仅当A，P，D三点共线时等号成立，故的取值范围是

故答案为：①（或）；②.15．(1)(2)10【分析】（1）根据频率估计概率，结合古典概型公式，即可得答案.（2）先求得，由题意可得，分析计算，即可得答案.【详解】（1）由调查数据可知当m足够大时，以频率估计概率可知，从该校任选一名对该活动不感兴趣的学生是男生的概率为.（2）由题意可得，若根据小概率值的独立性检验，认为对该活动是否感兴趣与性别有关，则，解得因为m为正整数，所以m的最小值为10.16．(1)在区间上单调递减，在区间上单调递增(2)【分析】（1）求导，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可（2）由及的零点为，a，3，进行分类讨论求解．【详解】（1）若，此时，得，令可得，由于，由得，，由得，，故在上单调递减，在上单调递增.（2）由题可得令，则的零点为，a，3，又的极大值点与其一个零点重合，注意到，无论将三个零点中的任意一个代入导函数，均会遗留包含另外两个零点的式子，故要使遗留的式子也为0，当且仅当a的值与其他两个零点中的任意一个相同时成立.∴若，，当时，，当时，故为函数的极大值点，符合题意，若时，，当时，，当时，，故为函数的极小值点，不满足题意，故.17．(1)(2)证明见解析【分析】（1）由抛物线的定义进行求解（2）不妨设直线，与抛物线方程联立，得到根与系数的关系，再由直线与直线的斜率乘积为-1进行证明．【详解】（1）不妨记，，由，可知，由抛物线的定义可得，解得，故抛物线E的标准方程为.（2）证明：由可知，即不妨设直线，联立，可得到，∴，，∴，代入可得∴，整理得，易知，代入可得，故∴的斜率，而的斜率，∴，∴18．(1)①证明见解析；②(2)【分析】（1）根据等边三角形性质及题干条件，结合线面垂直的判定定理、性质定理，可证，根据向量的线性运算法则及，可得，进而可证平面，即可得证；分析可得二面角的平面角为，分别求出MB、MN的长，计算即可得答案.（2）由（1）可知，根据线性运算法则及数量积公式，可得，进而可得，分别计算、，结合向量求夹角公式，计算即可得答案.【详解】（1）①证明：由是等边三角形可知，，，平面，平面，∴平面.又平面，∴.∵，且，∴，由，分别为，的方向向量可知，.∵，平面，平面，∴平面，故三棱柱是直三棱柱.②解：∵，，，平面，平面，平面平面，∴二面角的平面角为.∵，，∴，∴∴二面角的正弦值为（2）解：由（1）可知，∵，∴，又∵，∴，∴，解得，∴，∵，∴，∴记异面直线