第一章第4讲基本不等式 2026年高考数学一轮总复习（人教A版）（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页第一章第4讲基本不等式2026年高考数学一轮总复习（人教A版）一、填空题1．基本不等式成立的条件：．等号成立的条件：当且仅当时等号成立．其中称为正数的算术平均数，称为正数的几何平均数．2．两个重要的不等式（1），当且仅当时取等号．（2），当且仅当时取等号．3．利用基本不等式求最值①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值；②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值．二、判断题4．不等式与成立的条件是相同的．()5．函数的最小值是2．()6．函数，的最小值是．()7．“且”是“”的充要条件．()三、单选题8．若函数在处取得最小值，则等于（

）A． B． C．3 D．49．设计用的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为，则车厢的最大容积是（

）A．（38－3m3 B．16m3 C．4m3 D．14m3四、多选题10．（多选）下列各式中最小值为2的是（

）A． B．C． D．五、单选题11．函数的最大值为（

）A． B． C． D．六、填空题12．已知，则的最大值为．13．当时，则函数的最大值为．14．函数的最小值为.七、单选题15．已知正数，满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．16．若正数x，y满足，则的最小值是（

）．A．3 B．6 C． D．17．已知函数，则此函数的最小值等于（

）A． B． C． D．18．已知非负实数满足，则的最小值（

）A．1 B．2 C．3 D．419．若，，且，则的最小值为（

）A．9 B．6 C．3 D．1220．设，且恒成立，则的最大值是（

）A．2 B．3 C．4 D．5八、填空题21．已知两个正实数x，y满足，若不等式恒成立，则实数m的取值范围是.九、单选题22．设，若恒成立，则k的最大值为（

）A．2 B．4 C．6 D．8十、解答题23．天气转冷，某暖手宝厂商为扩大销量，拟进行促销活动.根据前期调研，获得该产品的销售量万件与投入的促销费用万元满足关系式（为常数），而如果不搞促销活动，该产品的销售量为4万件.已知该产品每一万件需要投入成本18万元，厂家将每件产品的销售价格定为元，设该产品的利润为万元.（注：利润=销售收入-投入成本-促销费用）(1)求出的值，并将表示为的函数；(2)促销费用为多少万元时，该产品的利润最大？此时最大利润为多少？24．某居民小区欲在一块空地上建一面积为的矩形停车场，停车场的四周留有人行通道，设计要求停车场外侧南北的人行通道宽3m，东西的人行通道宽4m，如图所示（图中单位：m），问如何设计停车场的边长，才能使人行通道占地面积最小？最小面积是多少？答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案题号891011151617181920答案CBBCDBBDAAC题号22答案D1．【分析】略【详解】略2．【分析】略.【详解】略.3．【分析】略【详解】略4．错误【分析】根据基本不等式的取等条件直接计算.【详解】由已知的取等条件为；的取等条件为，且，，故答案为：错误.5．错误【分析】根据基本不等式的应用直接得出结果.【详解】当时，，当且仅当即时等号成立；当时，，当且仅当即时等号成立，综上，或.故答案为：错误6．错误【分析】根据基本不等式的取等条件及三角函数值域直接判断.【详解】设，当时，，又，当且仅当，即时等号成立，又，所以不成立，又在上单调递减，所以，即无最小值，故答案为：错误.7．错误【分析】根据基本不等式直接判断.【详解】当且时，，当且仅当时，不等式取等号，即“且”是“”的充分条件；当成立时，当且仅当时，取等号，此时且，或且，即“且”不是“”的必要条件；综上所述“且”是“”充分不必要条件，故答案为：错误.8．C【分析】由，利用基本不等式求解.【详解】解：因为函数，当且仅当，即时，等号成立，所以等于3，故选：C9．B【详解】设长方体车厢的长为xm，高为hm，则，即，∴，即，解得，∴．∴车厢的容积为．当且仅当且，即时等号成立．∴车厢容积的最大值为．选B．10．BC【分析】举反例判断A，利用基本不等式判断B，C，D即可.【详解】选项A中，令，而，则的最小值不可能为2，故A错误，选项B中，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，满足题意，故B正确，选项C中，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，满足题意，故C正确，选项D中，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，但此方程无实数解，不符合题意，故D错误.故选：BC11．D【分析】根据基本不等式可得最值.【详解】当时，，当且仅当，即时等号成立，当或时，恒成立，综上所述的最大值为，故选：D.12．【分析】利用基本不等式进行求解即可.【详解】因为，所以，于是有，当且仅当，即时等号成立．故答案为：13．/【分析】根据基本不等式可得最值.【详解】由，则，，则，当且仅当，即时等号成立，即最大值为，故答案为：.14．5【分析】将函数配凑整理为，利用基本不等式可求得结果.【详解】.，，（当且仅当，即时取等号），.故答案为：.15．B【分析】由利用基本不等式求其最小值.【详解】∵，∴，当且仅当即，时等号成立，故选：B.16．B【分析】依题意可得，即可得到，再利用基本不等式计算可得.【详解】解：因为正数满足，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立.故选：B17．D【分析】将函数配凑为，利用基本不等式可求得结果.【详解】，，（当且仅当，即时取等号），的最小值为.故选：D.18．A【分析】由得，故，展开之后利用基本不等式求解即可【详解】因为非负实数满足，所以，所以，所以．当且仅当，即时，取等号．综上，的最小值为1，故选：A．19．A【分析】根据基本不等式可得，解出，即可得出答案.【详解】因为，，所以有，当且仅当时，等号成立.又，所以有，整理可得，解得或（舍去）.所以，所以.所以当时，有最小值9.故选：A.20．C【分析】原不等式转化为，结合基本不等式计算即可求解.【详解】等价于，，当且仅当，即时，等号成立．故，则的最大值是4．故选：C21．【分析】由条件等式结合基本不等式求出即可；【详解】因为，当且仅当即时取等号，所以，所以，所以，故答案为：.22．D【分析】只需由基本不等式求出的最大值，即的最小值即可.【详解】由于，则得到（当且仅当，即时，取等号）；所以又由恒成立，故，则k的最大值为8.故选：D．23．(1)4；(2)7万元，125万元【分析】（1）根据时，，即可求得k的值；根据利润=销售收入-投入成本-促销费用即可求得表示为的函数关系式；（2）结合（1）的结果，化简变形，利用基本不等式，即可求得答案.【详解】（1）由题意知时，，故，则，故，即；（2），当且仅当，即时等号成立，故促销费用为7万元时，该产品的利润最大，此时最大利润为125万元.24．设计矩形停车场南北侧边长为30，则其东西侧边长为40，人行通道