四川省大数据智学领航联盟2025-2026学年高三上学期入学摸底考试数学试卷（含解析）

答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页四川省大数据智学领航联盟2025-2026学年高三上学期入学摸底考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设命题：，，则：（

）A．， B．，C．， D．，2．设复数在复平面内对应的点位于第二象限，则复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知点关于原点的对称点在抛物线的准线上，且为上第一象限内一点，则（

）A．4 B．8 C．2 D．14．样本数据5.8，5.9，5.9，6.0，6.1，6.1，6.3，6.1的极差与第70百分位数之差为（

）A． B． C．5.6 D．5.85．已知集合，则的非空真子集个数为（

）A．6 B．7 C．14 D．156．在中，，，，则（

）A．11 B．7 C．16 D．7．已知函数在上单调递增，则的最大值为（

）A．0 B．3 C．6 D．88．如图，棱长为2的正方体中，，，均为顶点，为所在棱的中点，若平面，且，均在平面内，则平面截正方体所得图形的外接圆面积为（

）

A． B． C． D．二、多选题9．已知偶函数满足：当时，，则（

）A． B．当时，C． D．函数在区间上有零点10．为提高同学们的科学积极性，某高中组织进行了一系列的自然物理实验.在某个实验中，统计同学们得到的实验测量结果近似服从正态分布.已知，则（

）A． B．C． D．11．记双曲线：的左、右焦点分别为，.若，以为圆心、为半径的圆与的右支交于，两点，点为上一点，满足，则（

）A．的渐近线方程为 B．的面积为3C． D．三、填空题12．已知向量，，若在上的投影向量的模为3，则.13．已知函数，若，则.14．已知，，若，则的最小值为.四、解答题15．已知函数的图象关于点对称.(1)求；(2)探究在区间上有几条平行于轴且被曲线无限逼近的直线.16．2025年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某校以“铭记历史、缅怀先烈、珍视和平、开创未来”为主题举行纪念活动.为了解男、女同学对该活动的兴趣程度，对多位该校同学进行了调查，并将结果整理为如下列联表，其中为正整数.参加不参加合计男生女生合计(1)若根据小概率值的独立性检验，认为是否参加该活动与性别有关，求的最小值；(2)若，从参与调查且参加活动的同学中每次随机不放回地选1人，直到选中女生为止，求总选取次数的分布列和数学期望.附：，.0.10.050.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.82817．如图，在四棱锥中，与均为等边三角形，平面平面，点与点在平面的异侧，.(1)证明：平面；(2)若，，，四点共圆，求平面与平面夹角的余弦值.18．记为数列的前项和，为数列的前项和，已知.(1)证明：为等比数列；(2)求；(3)求.19．已知函数.(1)当时，求函数的图象在点处的切线方程；(2)若有唯一零点.（ⅰ）求实数的取值范围；（ⅱ）若为的极小值点，证明：.《四川省大数据智学领航联盟2025-2026学年高三上学期入学摸底考试数学试卷》参考答案题号12345678910答案ACBBCDCCACDAD题号11答案BC1．A【分析】由全称量词命题的否定为特称量词命题得到.【详解】因命题：，，所以：，.故选：A.2．C【分析】计算，即可根据复数的几何意义求解.【详解】不妨设，，，则，所以在复平面内对应的点位于第三象限.故选:C.3．B【分析】结合点与点的对称，求出曲线的方程，结合点在曲线上即可求n.【详解】因为点关于原点对称点的坐标为，准线方程为，所以，则，所以曲线的方程为；由已知在曲线上，且为第一象限内一点，则，则.故选：B.4．B【分析】根据给定条件，利用极差、第70百分位数的定义求解.【详解】依题意，样本数据从小到大排列为5.8，5.9，5.9，6.0，6.1，6.1，6.1，6.3，极差为，由，得样本数据的第70百分位数为6.1，所以所求差为.故选：B5．C【分析】先化简分式解一元二次不等式，再得出集合A，最后应用非空真子集个数公式计算求解.【详解】由可得，即，即1+x3−x≥0,3−x≠0,于是，共4个元素，故其非空真子集个数为个.故选：C.6．D【分析】由三角形内角和确定，再由，结合正弦定理即可求解.【详解】由，可得.显然，故，于是.在中由正弦定理可得，故.故选：D.7．C【分析】根据条件，利用分函数的单调性及导数与函数单调性间的关系，即可求解.【详解】因为函数在上单调递增，当时，，对称轴为，则，当时，，则，要使函数在区间上单调递增，则在区间上恒成立，得到.又因为，即，综上所述，，，所以则的最大值为6，故选：C.8．C【分析】根据线面平行的性质，平面和平面的交线与平行，所以在平面内过A点作出的平行线，且与直线相交，确定了唯一平面，进一步作出与正方体表面的交线，再求外接圆面积即可.【详解】如图，设，为所在棱的中点，又且，所以四边形为平行四边形，则有，则经过点，，三点的平面即为符合题意的平面，则平面截正方体所得图形为矩形，其中，，故，所以平面截正方体所得图形的外接圆面积为.故选：C.

9．ACD【分析】利用偶函数的定义、性质判断ABC；利用零点存在性定理判断D.【详解】对于A，，A正确；对于B，当时，，则，B错误；对于C，当时，，当且仅当时取等号，则，当时，，因此，C正确；对于D，，，即，因此在区间上有零点，D正确.故选：ACD10．AD【分析】根据正态分布的性质，结合题给条件逐一判断选项求解.【详解】根据正态分布的对称性，若，则.由于，表明分布中心向右偏移，因此，故A正确；方差影响分布的宽度，但已知条件无法直接推导出方差的大小，当且时，满足，但，因此不一定大于4，故B错误；正态分布中，，由于，正态分布的均值大于0，故，故C错误；同理，，故D正确.故选：AD.11．BC【分析】根据条件，先求出的方程为，对A，直接求出渐近线方程，即可求解；对B，根据双曲线的定义，令，，结合条件可得，再求出的面积，即可求解；对C，联立圆与双曲线的方程，直接求出的坐标，再利用三角形的性质，即可求解；对D，根据条件，利用余弦定理，即可求解.【详解】由题知，解得，故的方程为，对于A，因为的方程为，其渐近线方程为，所以A错误，对于B，由双曲线定义可知，不妨令，，而，故，即，整理得到，所以的面积，故B正确，对于C，易知圆的方程为，联立，消得，解得（舍去）或，代入，可得，不妨令在第一象限，则，，显然.由B知与，不重合，而在中，，故C正确，对于D，因为，在中，由余弦定理可得，所以D错误，

故选：BC.12．3或【分析】利用投影向量的模公式直接求解.【详解】在上的投影向量的模为，解得或.故答案为：3或13．2【分析】由题可得，即，代入求解即可.【详解】，，所以，则.故答案为：2.14．9【分析】由条件整理得，根据基本不等式得，从而有，解一元二次不等式即可得出的最小值.【详解】因，，则，，两边同乘得，整理得，又，，从而，则，当且仅当且，即时等号成立，则有，即，即，又，解得，当且仅当时等号成立，所以的最小值为9.故答案为：9.15．(1)(2)4条【分析】（1）根据正切函数的对称性即可求解，进而可求解，（2）根据正切函数的渐近线，结合整体法即可求解.【详解】（1）由函数的图象关于点对称，可得，，解得，，又因为，所以，故.（2）平行于轴且被曲线无限逼近的直线的方程为，，解得，，由，，得，共4个取值，所以在区间上有4条平行于轴且被曲线无限逼近的直线.16．(1)10(2)分布列见解析，【分析】（1）根据小概率值的独立性检验得到即可得出答案；（2）确定X的可能的取值，求出每个值相应的概率，根据数学期望的计算公式，即可得答案.【详解】（1）零假设为：是否参加活动与性别无关．由题意可得若根据小概率值的独立性检验，认为是否参加该活动与性别有关，即不成立，则，解得.因为为正整数，所以的最小值为10.（2）当时，参与调查且参加活动的同学中共有男生3名，女生8名，故总选取次数的可能取值有1，2，3，4.，，，，故的分布列为1234所以.17．(1)证明见解析(2)【分析】（1）由面面垂直的性质定理证明即可；（2）记为的中点，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量计算二面角的大小即可.【详解】（1）证明：因为是等边三角形，所以，在平面中，由，可知是的中垂线，故，而平面平面，平面平面，平面，故平面.（2）记为的中点，由，，，四点共圆可知，而，故.不妨令，易知，，，故以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，故，，，.记平面的法向量为，，即，可取，记平面的法向量为，，即，可取.记平面与平面的夹角为，则.18．(1)详见解析；(2)；(3).【分析】（1）要证明数列是等比数列，可先根据与的关系，用表示出，再通过变形得到与的关系，根据等比数列的定义进行证明；（2）先根据（1）求出的通项公式，再结合求出的表达式，整理求值；（3）据的表达式，将拆为两部分，应用分组求和及裂项求和.【详解】（1）由可得，当，两式相减，可得，又则整理可得当时，当时，，，解得，所以，数列是以1为首项，为公比的等比数列；（2）由（1）可知，,则，因为，则=－+，化简整理，.（3）由（2）可知，，则设

则则－，整理可得：=，则；设则，则，整理可得：=，则；.19．(1)(2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析【分析】（1）求出，，利用导数的几何意义即可求得切线方程；（2）（ⅰ）根据题意对参数分类讨论，利用零点存在定理，即可求得参数的取值范围；（ⅱ）解法一：由（ⅰ）知若，极小值点，零点，符合题意，若，极小值点，零点满足，即，此时，令，，利用导数求最值即可证明；解法二：若，则，因为，所以，可得证.【详解】（1）当时，，则，又，，所以所求切线方程为，即.（2）（ⅰ）由题意得，若，则，故当时，，单调递减；当时，，单调递增.又，，当时，，，所以.由单调性和零点存在性定理可知，此时有两个零点，不符合题意；若，令，得或，①当，即时，有当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减；又，