第12讲圆的方程（八大题型思维导图知识梳理课后提升练）（人教A版选择性）（原卷版）

第12讲圆的方程【人教A版】模块一模块一圆的方程1．圆的定义圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心，定长为半径).圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小.2．圆的标准方程(2)圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径.(3)圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母(待定)，因此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程.3．圆的一般方程(2)圆的一般方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程.下列情况比较适用圆的一般方程：①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数D，E，F；方程，求待定系数D，E，F.【题型1求圆的标准方程】【例1】（2425高二上·湖南永州·期末）圆C的圆心在y轴上，且过A(3,1)，B(−3,5)两点，则圆C的方程为（

）A．x2+(y−1)C．x2+(y+1)【变式1.1】（2425高二上·江西抚州·期末）圆心为4,0且过点0,−3的圆的标准方程为（

）A．x2+y−4C．x−42+y【变式1.2】（2425高二上·重庆渝中·期末）已知圆C经过O(0,0),A(2,0)两点，且圆心C在直线l:x−y=0上，则圆C的标准方程为（

）A．(x−1)2+(y+1)C．(x+1)2+(y+1)【变式1.3】（2425高二上·内蒙古包头·期末）过三点A1,2，B3,2，C1,−6A．x−22+y+2C．x−22+y+2【题型2求圆的一般方程】【例2】（2425高二上·重庆·阶段练习）已知A(−1,0)、B(3,6)，则以AB为直径的圆的一般方程为（

）A．x2+yC．x2+y【变式2.1】（2425高二上·河南洛阳·期中）已知O0,0，A4,3，B1,−3，则△OABA．x2+yC．x2+y【变式2.2】（2425高二·全国·课后作业）与圆x2+y2−2x+4y+3=0A．x2+yC．x2+y【变式2.3】（2425高二下·黑龙江鹤岗·开学考试）圆心在直线x−y−4=0上，且经过两圆x2+y2+6x−4=0A．x2+yC．x2+y【题型3由圆的方程确定圆心和半径】【例3】（2425高二上·福建泉州·期中）圆x2+y2A．−1,0和2 B．1,0和2 C．−1,0和2 D．1,0和2【变式3.1】（2425高二上·天津·阶段练习）圆x2+yA．1,−1；1 B．1,−1；3 C．−1,1；1 D．−1,1；3【变式3.2】（2425高二上·全国·假期作业）求下列各圆的圆心坐标和半径：(1)x2(2)x2【变式3.3】（2425高二上·全国·课后作业）判断下列方程是否表示圆，若是，写出圆心和半径．(1)3x(2)x2(3)x2(4)x2模块二模块二二元二次方程与圆的方程1．二元二次方程与圆的方程(1)二元二次方程与圆的方程的关系：(2)二元二次方程表示圆的条件：【题型4二元二次方程表示圆的条件】【例4】（2425高二上·贵州铜仁·期末）已知方程x2+y2−3A．−∞,−1∪1,+C．−∞,−3∪【变式4.1】（2425高一下·浙江宁波·期末）“关于x，y的方程：x2+yA．必要不充分 B．充要 C．充分不必要 D．既不充分也不必要【变式4.2】（2425高一下·重庆·期末）下列方程一定表示圆的是（

）．A．x2+yC．x2+y【变式4.3】（2425高二上·海南省直辖县级单位·阶段练习）若方程x2+y2−mx−2y+5=0A．(−∞,−4) C．(−4,4) D．(−【题型5圆过定点问题】【例5】（2425高二上·湖北荆州·期末）圆C:x²+y²+ax−2ay−5=0恒过的定点为（

）A．−2,1,(2,−1) B．C．−1,−2,(1,2) 【变式5.1】（2425高二上·浙江温州·期中）点Px,y是直线2x+y−5=0上任意一点，O是坐标原点，则以OP为直径的圆经过定点（

A．0,0和1,1 B．0,0和2,2 C．0,0和1,2 D．0,0和2,1【变式5.2】（2425高二上·江苏·阶段练习）已知圆C经过A0,1，B(1)当a=3，并且AB是圆C的直径，求此时圆C的标准方程；(2)如果AB是圆C的直径，证明：无论a取何正实数，圆C恒经过除A外的另一个定点，求出这个定点坐标.【变式5.3】（2425高二上·浙江绍兴·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，设△ABC顶点坐标分别为A(0,a)，B(−5a,0)，C(5a,0)，Q(0,b)，（其中a>0，b>0），圆(1)当a=9时，求圆M的方程；(2)当a变化时，圆M是否过某一定点？若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由；模块三模块三点与圆的位置关系1．点与圆的位置关系(1)如图所示，点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外.位置关系判断方法几何法代数法(标准方程)代数法(一般方程)点在圆上|MA|=r(x0a)2+(y0b)2=r2点在圆内|MA|<r(x0a)2+(y0b)2<r2点在圆外|MA|>r(x0a)2+(y0b)2>r2【题型6点与圆的位置关系】【例6】（2425高二上·福建泉州·阶段练习）点M(a,a+1)与圆C:(x−1)2+yA．M在C外 B．M在C上 C．M在C内 D．不确定，与a的取值有关【变式6.1】（2425高二上·安徽·期末）已知点(2,0)在圆x2+yA．(−∞,3) C．(−∞,−2)∪(2,3) 【变式6.2】（2425高二上·浙江·期中）已知圆C:x2+y2+2x+a=0，其中A．−1,0 B．0,−1 C．0,0 D．1,0【变式6.3】（2025·四川绵阳·模拟预测）“k>2或k<−3”是“定点A1,2在圆x2+A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件模块四模块四轨迹方程1．轨迹方程求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量x,y之间的方程.(1)当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义(如圆)时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法(或称相关点法).(2)求轨迹方程时，一要区分"轨迹"与"轨迹方程"；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等.2．求轨迹方程的步骤：(1)建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示轨迹(曲线)上任一点M的坐标；(2)列出关于x,y的方程；(3)把方程化为最简形式；(4)除去方程中的瑕点(即不符合题意的点)；(5)作答.【题型7轨迹问题——圆】【例7】（2425高二上·安徽六安·期末）已知定点B(2,0)，点A在圆x+12+y2=4上运动，则线段AB的中点A．x2+yC．x+12+y【变式7.1】（2425高二上·广东深圳·期末）已知等腰三角形ABC的一个顶点为A2,2，底边的一个端点为B0,0，则底边的另一个端点C的轨迹方程为（A．x−12+y−12=1（x≠0且x≠1） B．x−2C．x−12+y−12=1（x≠0且x≠4） D．x−2【变式7.2】（2425高二上·山西长治·阶段练习）已知圆G经过点A0,0，B1,1，且圆G恒被直线(1)求圆G的一般方程：(2)设D6,5，P是圆G上的动点，求线段DP的中点M【变式7.3】（2025高二·全国·专题练习）已知圆C的圆心在x轴上，并且过A(1,3)，B(3,3)两点．(1)求圆C的方程；(2)若P为圆C上任意一点，定点M(8,0)，点Q满足PM=3QM，求点模块五模块五与圆有关的对称问题1．与圆有关的对称问题(1)圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称.(2)圆关于点对称①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置.②若两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点.(3)圆关于直线对称①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置.②若两圆关于某直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线.【题型8与圆有关的对称问题】【例8】（2425高二上·江苏盐城·期中）圆C1:(x+1)2+(y−1)2=3，圆C2与圆A．(x−2)2+(y+2)C．(x+2)2+(y−2)【变式8.1】（2425高二下·云南昆明·阶段练习）已知圆M:x+12+y+12=1与圆N:x−4A．10x−4y−23=0 B．10x+4y−23=0C．2x−5y−7=0 D．2x+5y+7=0【变式8.2】（2425高二上·湖北十堰·期末）已知直线l:x+2y+3=0，圆C:x(1)求与l垂直的C的直径所在直线m的一般式方程；(2)若圆E与C关于直线l对称，求E的标准方程．【变式8.3】（2425高二上·湖南衡阳·期末）已知圆C经过A−1,2和B8,5两点，且与(1)求圆C的方程；(2)若圆C′与圆C关于直线l:2x+y=1对称，求圆C一、单选题1．（2425高二上·北京密云·期末）圆心为(2,2)且过原点的圆的方程是（

）A．x2+yC．(x−2)2+(y−2)2．（2425高二上·浙江杭州·期末）已知⊙C:x2+A．(−12,22C．(−12,22)，3．（2425高二上·宁夏吴忠·期中）若方程x2+y2−2ax+2ay+2A．−1,+∞ B．−∞,−1 C．−4．（2526高二上·全国·课后作业）圆x−42+y+32=25A．x+42+y+3C．x−42+y+35．（2425高二上·福建福州·期中）已知点A(−1,0)在圆x2+y2+2x+3y+m=0A．1,+∞ B．1,134 C．−∞,134 6．（2425高二上·江西·阶段练习）已知圆x2+y2+4x−2ay+3A．−1,32 B．−1,0 C．0,37．（2526高二上·重庆·开学考试）点P在圆x2+y2=36上运动，它与点Q(4,0)所连线段中点为MA．(x−2)2+y2C．x2+(y−2)8．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）平面几何中有一个著名的定理：△ABC的三条高线的垂足、三边中点及三个顶点与垂心连线段的中点共圆，该圆称为△ABC的九点圆或欧拉圆，若A−2,1、B4,1，△ABC的垂心为G3,3，则△ABCA．x−22+y+C．x−22+y−二、多选题9．（2425高二上·云南玉溪·期末）已知圆的一般方程为x2+yA．该圆圆心坐标为32,−1 C．该圆半径为5 D．该圆半径为510．（2526高二上·全国·课后作业）已知x2+yA．圆心坐标为−2,3B．当k=0时，半径r=C．圆心到直线x+y−1=0的距离为2D．当k=4时，圆面积为1611．（2526高二上·全国·单元测试）已知圆C:x2+y2−A．圆心C的坐标为(−2,−7)B．点Q在圆C外C．若点P(m,m+1)在圆C上，则直线PQ的斜率为1D．若M是圆C上任一点，则｜MQ｜的取值范围为[2三、填空题12．（2526高二上·四川内江·开学考试）已知圆C的一条直径的两个端点为4,4和−4,−2，则圆C的标准方程是.13．（2425高二上·广东·期中）已知m∈R，方程3m−1x2+m214．（2425高二上·甘肃·期末）若点P2,2是圆C:x2+y2−2y+3−m=0四、解答题15．（2025高二上·全国·专题练习）写出下列圆的标准方程：(1)圆心是(4,−1)，且过点(5,2)；(2)圆心是直线x+y−1=0与2x−y+3=0的交点，半径长为1416．（2425高二上·新疆巴音郭楞·期末）已知点A(1,−1)，B(−2,0)，C(2,4).(1)求直线BC的一般方程；(2)求△ABC外接圆的一般方程.17．（2025