第二十九章直线与圆的位置关系（知识清单）（答案版）

第二十九章直线与圆的位置关系知识点一点与圆的位置关系设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：d<r点P在⊙O内；d=r点P在⊙O上；d>r点P在⊙O外．知识点二直线与圆的位置关系知识点三切线的性质与判定定理（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点．推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心．以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线知识点四切线长定理知识点五三角形的内切圆和内心（1）三角形的内切圆：与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．（2）三角形的内心：三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心．注意：内切圆及有关计算（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等．知识点六正多边形和圆一点和圆的位置关系易错点一：概念理解混淆，忽视前提条件易错点总结：1.认为“圆上的点”到圆心的距离都相等，但“圆内的点”到圆心的距离也可能等于半径。（错误！圆内的点距离一定小于半径）2.在判断点与圆的位置关系时，没有先明确哪个圆和哪个点，尤其是在复杂图形中。注意事项：1.牢记定义：严格依据d与r的数量关系进行判断，不要凭感觉或图形估算。2.明确对象：读题时圈出“点”和“圆”，确保判断的对象是正确的。易错点二：与其它知识点结合时，逻辑链条断裂易错点总结：1.在动点问题或函数图像问题中，无法建立点的坐标与距离的函数关系。2.在证明“几点共圆”时，不理解其本质是证明这几个点到某一定点的距离相等。注意事项：1.问题转化：将“位置关系”转化为d与r的不等式关系”。2.数形结合：画出草图，帮助理解动点的运动轨迹和满足条件的区域。(1)求A、B两点的坐标．(2)一个圆心在坐标原点、半径为1的圆，以0.4个单位每秒的速度向轴正方向运动，问什么时刻该圆与直线相切．(3)在题（2）中，若在圆开始运动的同时，一动点P从B点出发，沿方向以0.5个单位／秒的速度运动，问在整个运动的过程中，点P在动圆的圆面（圆上和圆的内部）上一共运动了多少时间？根据对称性，圆还可能在直线的右侧，与直线相切，综上，秒时或秒时该圆与直线相切；易错点三：忽视多解情况或图形位置的不确定性易错点总结：1.在解答关于位置关系的分类讨论题时，答案不完整。2.过于依赖单一位置的草图，忽略了图形可能存在多种情况。注意事项：1.临界点检查：在列出不等式后，务必单独考虑d=r的临界情况，检查该点是否符合题意（“圆上”通常不属于“圆内”或“圆外”）。2.全面思考：养成分类讨论的习惯，思考图形是否有其他可能的位置或形状。故答案为：圆上，圆外，圆内，相交．故答案为：相切，相离．二切线的性质和判定易错点一性质使用前提不清易错点总结：在未证明某直线是切线的情况下，直接使用“切线与半径垂直”的性质。注意事项：必须明确，只有已知（或已证）某线是切线，并且明确指出了切点，才能使用“切线与过切点的半径垂直”这一性质。例：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB延长线相交于点P．若∠COB＝2∠PCB，求证：PC是⊙O的切线．【详解】连接AC，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO．∴∠COB＝2∠ACO．又∵∠COB＝2∠PCB，∴∠ACO＝∠PCB．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACO+∠OCB＝90°．∴∠PCB+∠OCB＝90°，即OC⊥CP．∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线．易错点二判定方法选择错误易错点总结：已知公共点时，却用“作垂直，证半径”；或者未知公共点时，盲目地“连半径”。注意事项：1.题目条件中明确给出了直线和圆的公共点优先用“连半径，证垂直”。2.题目条件中没有明确公共点必须用“作垂直，证半径”。例：已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是和⊙O相切于点B的切线，⊙O的弦AD平行于OC．求证：DC是⊙O的切线.【详解】证明：连接OD,∵BC是和⊙O相切于点B的切线∴∠CBO=90°.∵AD平行于OC，∴∠COD=∠ODA，∠COB=∠A；∵∠ODA=∠A，∴∠COD=∠COB，OC=OC，OD=OB，∴△OCD≌△OCB，∴∠CDO=∠CBO=90°．∴DC是⊙O的切线．易错点三“连半径，证垂直”时，推理不严谨易错点总结：连接半径后，证明垂直的步骤不完整，逻辑跳跃。注意事项：证明垂直通常需要利用三角形全等、勾股定理逆定理、或者“直径所对的圆周角是直角”等性质。要写出完整的推理过程。例：如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E．（1）求证：AC∥DE；（2）连接CD，若OA=AE=a，写出求四边形ACDE面积的思路．【详解】（1）∵ED与⊙O相切于D，∴OD⊥DE，∵F为弦AC中点，∴OD⊥AC，∴AC∥DE．（2）作DM⊥OA于M，连接CD，CO，AD．三正多边形与圆易错点一计算失误——中心角、边数、半径关系的混淆易错点总结：正多边形的计算核心是围绕中心角展开的。中心角是将正多边形的中心与各个顶点连接后，形成的每个等腰三角形的顶角。注意事项：1.画图标量：遇到计算题，务必画出正多边形、它的外接圆，并连接中心与两个相邻顶点，构造出一个等腰三角形。这个三角形的顶角是中心角，底角是内角的一半，腰是半径，底边是边长。2.明确目标：你的所有计算几乎都是在这个等腰三角形中进行的。明确已知什么（是半径？边长？边心距？），求什么，然后再选择用三角函数还是勾股定理。(1)求圆内接正六边形面积．(2)圆内接正八边形的面积为_____．(3)运用“割圆术”，用圆内接正十二边形近似估计的面积，可得圆内接正十二边形面积是_____，可得的估计值为_____．易错点二：思维定式——“正多边形”与“等分圆周”的等价关系易错点总结：认为“将圆周四等分，依次连接各点，得到的是正方形”；但忽略了“依次连接”和“间隔注意事项：仔细审题，看清题目要求是“依次连接”还是“每隔m个点连接”。(3)已知是上的动点（点不与点A，重合）．（2）解：连接，∵与与相切，当的长度最短时，的长取得最小值，即长的最小值为．A．点在内 B．点在上C．点在外 D．点在上【答案】D【分析】本题考查的是点与圆的位置关系：当点到圆心距离小于半径时，点在圆内；当点到圆心距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心距离大于半径时，点在圆外．根据点到圆心的距离即可得出答案．【详解】解：∵的直径为10，∴的半径为5，∴点A在外，点B在内，点C在上．故选：DA．20 B．30C．40 D．随点位置而变化【答案】B∴AB=BC，∠B=∠BAF=120°，∴∠BAC=30°，∴∠FAC=90°，同理，∠DCA=∠FDC=∠DFA=90°，∴四边形ACDF是矩形，故选：B．【点睛】本题考查了正六边形的性质，解题关键是连接对角线，根据正六边形的面积公式求解．3．（2025·河北·模拟预测）如图，和直线，直线在同一平面内，是的直径，直线是的切线，直线经过点，下列条件不能判定直线与相切的是（

）C．与只有一个公共点 D．点到上某点的距离等于半径【答案】D【分析】本题考查了切线的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握切线的判定方法是解题的关键．根据切线的判定定理“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线”或“圆心到直线的距离等于半径”逐项进行判断即可．直线与相切故选项A、B可以判定，不符合题意；C、根据圆的切线的定义，可知与圆仅有一个公共点的直线是切线，选项C可以判定，不符合题意；D、根据与圆心的距离等于半径的直线为圆的切线，选项D不可判定，符合题意；故选：D．4．（2025·河北保定·一模）如图，已知及外一定点P，嘉嘉进行了如下操作后，得出了四个结论：①点A是的中点；②直线，都是的切线；③点P到点Q、点R的距离相等；对上述结论描述正确的是（

）A．只有①正确 B．只有②正确 C．①②③正确 D．①②③④都正确【答案】C【详解】由第一步作图痕迹可知直线是的垂直平分线，因此点A是的中点，故①正确；∵是的直径，∴直线，都是的切线，故②正确；故③正确；∵点A是的中点，故④错误．故选：C【点睛】本题主要考查了垂直平分线的尺规作图法、圆周角定理、切线的判定以及切线长定理．熟练掌握以上知识是解题的关键．5．（2425九年级上·河北承德·期末）老师在多媒体上展示了一道有关尺规作图的题目：已知及外一点，过点求作的切线．甲、乙的作法分别如下：下列说法正确的是（

）A．甲和乙的作法都正确 B．甲和乙的作法都错误C．甲的作法正确，乙的作法错误 D．乙的作法正确，甲的作法错误【答案】A【分析】本题考查了作图——复杂作图、线段垂直平分线的性质和切线的判定和性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．【详解】解：对于甲的作法：连接由作法得垂直平分，∴点为以为直径的圆与的交点，∴为的切线，所以甲的作法正确；对于乙的作法：∴为的切线，所以乙的作法正确；故选：A.点在以为直径的圆弧上，【答案】①②⑤【分析】①由圆周角定理可知，当在优弧的中点时，为最大值，即可得出结论，④连接，根据平行线的性质和切线的定义，得出DF与相切，即可得出结论，【详解】解：①当在优弧的中点时，为直径，值最大，最大值为，故①正确．点D为上一定点，故②正确．的长度不变，④连接，为的半径，为圆的切线，故④不正确．正确的有①②⑤．故答案为：①②⑤．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，圆周角定理的应用，切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，做出合适的辅助线，清晰的分类讨论是解本题的关键．8．（2025·河北石家庄·模拟预测）下面是“经过圆外一点作圆的切线”的尺规作图的过程．已知：如图1，P为圆外一点．求作：经过P点的切线．作法：如图2．（2）以为直径作圆，与交于C、D两点；（3）作直线、，则直线、就是所求作经过P点的切线．下列可作为以上作图依据的是．甲：直径所对的圆周角为直角；乙：经过半径外端且并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；丙：同弧所对圆周角相等．【答案】甲乙【分析】本题考查作图—复杂作图、圆周角定理、切线的判定与性质．连接，，根据直径所对的圆周角为直角以及切线的判定可知、是所求作经过点的切线，进而可得答案．【详解】解：如图2，连接，，可作为以上作图依据的是甲乙．故答案为：甲乙．9．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，已知四个正六边形摆放在图中，顶点A，B，C，D，E，F在圆上，其中上下两个大一点的正六边形边长均为a，左右两个正六边形边长均为b．【分析】本题考查正多边形和圆，解直角三角形，根据正六边形的性质和勾股定理，结合直径列方程求出线段长度关系结合三角函数求解即可得到答案；由图形可得，两个大六边形关于对称，∴是圆的直径，∵两个大六边形是全等的正六边形，∴也是直径，∵小六边形是正六边形，（1）连接，的长为；（2）a的取值范围是．【分析】本题考查了正多边形与圆，正方形的性质，解直角三角形，正确的找出正方形边长的最大值和最小值是解题的关键．故答案为：；正方形边长的值最小，是正方形的对角线，此时，取最大值，11．如图，已知．【答案】(1)见解析(2)【点睛】本题主要考查了圆和内接多边形，首先确定六边形的度数或边长关系，再结合圆的度数作图，利用内接六边形的小三角形为正三角形是解题的关键．(1)以点A为圆心、为半径作，求点B，C，D与的位置关系；(2)若以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，求的半径r的取值范围．【答案】(1)点B在内，点C在外，点D在上【分析】此题考查的知识点是点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，解题关键是要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系．（1）根据勾股定理求出的长，进而得出点B，C，D与的位置关系；（2）利用（1）中所求，即可得出半径r的取值范围．【详解】（1）解：如图所示，连接，∴点在内，∴点在上，∴点在外；（2）∵以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，(1)如图1，求证：是的切线；【答案】(1)见详解(2)【详解】（1）证明：连接，∵为直径，∴是的切线；【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，直角三角形的性质，三角形的外角性质，弧长公式等，正确添加辅助线是解决本题的关键．(1)求证：直线是的切线；【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接OD，由∠ODA＝∠OAD＝∠DAC证明ODAC，得∠ODF＝∠AED＝90°，即可证明直线DE是⊙O的切线；（2）由线段AB是⊙O的直径证明∠ADB＝90°，再根据等角的余角相等证明∠M＝∠ABM，则AB＝AM；（3）由∠AEF＝90°，∠F＝30°证明∠BAM＝60°，则△ABM是等边三角形，所以∠M＝60°，则∠EDM＝30°，所以BD＝MD＝2ME＝2，再证明∠BDF＝∠F，得BF＝BD＝2．【详解】（1）证明：连接OD，则OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，∵AD平分∠CAB，∴∠OAD＝∠DAC，∴∠ODA＝∠DAC，∴ODAC，∵DE⊥AC，∴∠ODF＝∠AED＝90°，∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD，∴直线DE是⊙O的切线．（2）证明：线段是的直径，∴∠ADM＝180°－∠ADB＝，∴∠M＋∠DAM＝，∠ABM＋∠DAB＝，∵∠DAM＝∠DAB，∴∠M＝∠ABM，∴AB＝AM．（3）解：∵∠AEF＝90°，∠F＝30°，∴∠BAM＝60°，∴△ABM是等边三角形，∴∠M＝60°，∵∠DEM＝90°，ME＝1，∴∠EDM＝30°，∴MD＝2ME＝2，∴BD＝MD＝2，∵∠BDF＝∠EDM＝30°，∴∠BDF＝∠F，∴BF＝BD＝2．【点睛】此题重点考查切线的判定、直径所对的圆周角是直角、等角的余角相等、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．15．（2024·广西桂林·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上的一点，CD⊥AD于点D，AD交⊙O于点F，连接AC，若AC平分∠DAB，过点F作FG⊥AB于点G交AC于点H．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)延长AB和DC交于点E，若AE＝4BE，求cos∠DAB的值；(3)在（2）的条件下，求的值．【答案】(1)见解析(2)(3)【分析】（1）如图1，连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠CAO＝∠ACO，由角平分线的定义得到∠DAC＝∠OAC，等量代换得到∠DAC＝∠ACO，根据平行线的判定定理得到AD∥OC，由平行线的性质即可得到结论；（2）设BE＝x，则AB＝3x，根据平行线的性质得∠COE＝∠DAB，由三角函数定义可得结论；（3）证明△AHF∽△ACE，列比例式可解答．【详解】（1）如图1，连接OC，∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠OAC，∴∠DAC＝∠ACO，∴AD∥OC，∵CD⊥AD，∴OC⊥CD，∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）∵AE＝4BE，OA＝OB，设BE＝x，则AB＝3x，∴OC＝OB＝1.5x，∵AD∥OC，∴∠COE＝∠DAB，（3）由（2）知：OE＝2.5x，OC＝1.5x，∵FG⊥AB，∴∠AGF＝90°，∴∠AFG+∠FAG＝90°，∵∠COE+∠E＝90°，∠COE＝∠DAB，∴∠E＝∠AFH，∵∠FAH＝∠CAE，∴△AHF∽△ACE，【点睛】此题考查了和圆有关的综合性题目，用到的知识点有：平行线的判定和性质，三角形相似的性质和判定，切线的判定，三角函数定义以及等腰三角形的判定与性质等知识．掌握切线的判定和相似三角形的性质和判定是解本题的关键．(2)分别取半圆弧上的点P、Q和直径上的点O、B，已知剪下的图形由这四个点顺次连接构