初中数学浙教版九年级上册33垂径定理举一反三（原卷版）

3.3垂径定理xixix

快速定位题型题型目录TOC\o"13"\h\z\u【题型1】利用垂径定理求值 3【题型2】利用垂径定理求平行弦问题 4【题型3】垂径定理的推论 6【题型4】垂径定理的实际应用 7xixix

夯实必备知识新知梳理【知识点1】垂径定理（1）垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论

推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．

推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．1.（2025•福州校级模拟）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB=4，CD=1，则EC的长为（）A．15B．13C．10D．42.（2024秋•嵊州市期末）如图，⊙O的半径为5，点C是弦AB上一点，若AB=8，设OC=x,则x的取值范围是（）A．3≤x≤5B．3＜x≤5C．4≤x≤5D．4＜x≤5【知识点2】垂径定理的应用垂径定理的应用很广泛，常见的有：（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．1.（2024秋•蓬江区期末）如图，筒车是我国古代发明的一种水力灌溉工具．圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦MN长为6m,半径为4m,则圆心O到弦MN所在直线的距离为（）A．4mB．5mC．5mD．7m2.（2024秋•老河口市校级期末）如图，在直径为82cm的圆柱形油槽内装有一些油以后，油面宽AB=80cm,则油的最大深度为（）A．32cmB．31cmC．9cmD．18cm【题型1】利用垂径定理求值【典型例题】如图，把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，若，则截面的半径等于（

）A.B.C.D.【举一反三1】要测一个残损圆形轮子的半径，小丽的方案如下：如图，在轮子圆弧上任取两点A，B，再作弦的垂直平分线交于点，交劣弧于点，测出和的长度，即可计算出轮子的半径．若测得，则轮子的半径为（

）A.B.C.D.【举一反三2】如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点B，点C，当，时，大圆与小圆的面积之差为

．

【举一反三3】如图，线段与圆O交于点A，过P点的直线与圆O交于B，C两点，，若，，，求线段的长度．【题型2】利用垂径定理求平行弦问题【典型例题】如图，，是的两条平行弦，且，，，之间的距离为5，则的直径是（

）A.B.C.8D.10【举一反三1】如图所示，矩形与相交于、、、，若，，，则的长为（）A.2B.4C.6D.8【举一反三2】在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（）cm.A.1B.3C.3或4D.1或7【举一反三3】如图，的半径为4，，是的弦，且，，，则和之间的距离为

．【举一反三4】如图，在中，是直径，弦．(1)在图1中，请仅用不带刻度的直尺画出劣弧的中点P；(保留作图痕迹，不写作法)(2)如图2，在（1）的条件下连接、，若交弦于点Q，的面积6，且，求的半径.【举一反三5】如图，的两条弦（不是直径），点为中点，连接，．

(1)求证：直线；(2)求证：．【题型3】垂径定理的推论【典型例题】下列命题正确的有（

）①平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦；②垂直于弦的直线平分弦；③平分弦的直线必平分弦所对的两条弧；④与直径不垂直的弦不能被该直径平分；⑤平分弦的直径必平分弦所对的两条弧．A.1个B.2个C.3个D.4个【举一反三1】如图，⊙O的直径CD过弦AB的中点E，且CE＝2，DE＝8，则AB的长为（）A.9B.8C.6D.4【举一反三2】如图，为直径，交弦于点E，若E点为中点，则说法错误的是（

）A.B.C.D.【举一反三3】如图，都是的半径，交于点D．若，则的长为

【举一反三4】如图，已知AB，CD是⊙O内非直径的两弦，求证：AB与CD不能互相平分．【题型4】垂径定理的实际应用【典型例题】如图，拱桥可以近似地看作直径为的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，那么这些钢索中最长的一根的长度为（）A.B.C.D.【举一反三1】一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，测量一次性纸杯杯口的直径．小明同学所在的学习小组设计了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你根据上述数据计算纸杯的直径是（

）A.B.C.D.【举一反三2】苏州古典园林以其古、秀、精、雅，多而享有“江南园林甲天下之美，如图是一苏州园林中的窗饰特写，四个水平放置正方形木框的边长都为20cm，顶点A，B，C是圆形窗上的点，则这个圆形窗的半径为

cm．【举一反三3】一面墙上有一个矩形门洞，其中宽为米，高为2米，现要将其改造成圆弧型门洞（如图），则改造后圆弧型门洞的最大高度是

．【举一反三4】如图，工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10cm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8cm，则这个小圆孔的宽口AB的长度为多少？【举一反三5】河南是全国重要的文物大省，地下文物全国第一，地上文物全国第二．“以铜为鉴，可以正衣冠”．铜镜，是我国古代人民勤劳和智慧的结晶．如图是一个铜镜的残片，文物修复专家准备用现代高科技手