2023年线性代数题库2

行列式

一、选择题

0-11

1.3阶行列式10-1中第二行第一列元素，⑵的代数余子式4户（）（容易）

-110

A.2B.1

C.-1D.2

01-11

01-1

2.行列式中第二行第一列元素。21的代数余子式A2产＜）（中档）

1-101

-11-10

A.-2B.-1

C.1D.2

a12a\32ali2aI?2〃13

3.设行列式a2\a22a23=4,则行列式a2\a22a23=(）（容易）

a31。321333。313%23433

A.12B.24

C.36D.48

对《2《3一勺2%-3小

4.设行列三。22423=2,则~a2l2a22—3%3=(）（容易）

2%-3/

0H%2

A.-12B.-(

C.6D.12

卬42a\y3卬3%3心

5.=2,=（）（较难）

设行列三弋%a22a23则一%i63

ai\。32%3七1一〃31a22~a32*小

A.-6B.-3

C.3D.6

bc+aabc

6.设行列式Di=«]仄G+q。2=q瓦q则。尸（）（容易）

C+a

22a2b2c2

A.0B.D2

C.2DiD.3£>2

xyz2x2y

4

7.设行列式403=1,则行列式I0=（）（难）

3

I11II

9

A.-B.l

3

Q

C.2D.-

3

8.设A为三阶矩阵，且|A[=3,则卜3Al=（）（较难）

A.-9B.-1

C.lD.9

9.设A为3阶矩阵，|4|=1,则卜2AT|=（）（较难）

A.-8B.-2

C.2D.8

10.设A为3阶方阵，.且囿=4,则卜2A|=（）（中档）

A.-32B.-8

C.8D.32

125

11.已知行列式13-2=0,则数（）（中档）

25a

A.-3B.-2

C.2D.3

kx+z=0

12.若齐次线性方程组，2/+b，+z=（）有非零解，则上（）（较难）

kx-2y+z=0

A.-2B.-l

c.oD.2

%+々+七=4

13.已知非齐次线性方程组（内+如2+毛=3无解，则数〃=（）

2%+20r2=4

C.1

B.0D.1

2

二、填空题

111

14.246=（中档）

41636

Q

✓-876

1^

5.I23242

23233434

1^

22oO8

较

=难

22O1O

123

较

7U难

13|=

n12

10102103

中档

］一%-2

19.若，=0,则依__________________________（容易）

2k-\

20.已知行列式可+?"一!=4则6?=____（容易）

a2+b2a2-b2a2b2

21.四阶行列式中，项。3出2出304的符号是（中档）

22.四阶行列式中具有因子“13的1的项为（较难）

3040

23.行列式:；；中第4行各元素的代数余子式之和为

（难）

0—1

53-22

xa1237

ya89

24.设Ai2(i=l,2,3,4)是行列式22中元素42的代数余子式,

za3223

wa4296

贝ij7A12+9A22+3A32+6A42=

25.设3阶行列式小的第2列元素分别为1,・2,3,相应的代数余子式分别为-3,2,1,则

。3=___________（较难）

Ax+y+z=5

26.已知非齐次线性方程组《x+ky-z=3有无穷多个解，则k=__________

2x-y+z=7

三、计算题

020

1012

27.计算4阶行列式£>=（一般）

2101

0210

abC

28.计算3阶行列式D=a2b2C-（一般）

a•+1a3b+b3c+c3

1112

1121

29.计算4阶行列式口=（较难）

1211

2111

35-12

一153-3

30.计算4阶行列式（较难）

1201

20-：34

1234

2341

31.计算4阶行列式6（较难）

3412

4123

四、分析、证明题

32.（较难）设a、bc是互异的实数，证明。。c=。的充要条件是a+b+c=O

/f?

x12+x

33..设/(%)=224试证明方程/'（幻=0有小于1的正根.（较难）

3x+24-x

X

X+2X2+33=4

34.问。为什么值时，线性方程组•2%+。七=2有惟一解？有无穷多解？（较难）

X

211+2X2+33=6

ZVj4-x2+x3=1,

35.设非齐次线性方程组<玉+A2+与=4,拟定当入取何值时，方程组有惟一解、无解、

2

X14-x24-Zv3=A,

有无穷多解？（较难）

矩阵

一、选择题

1.设二阶矩阵A=/b\则A"=（）（易）

2.设A与8均为可逆矩阵，则下列各式中不对的的是（）（易）

A.（A+8）7二A，+87B.（A+8）T=

C.=B-'A-lD.（43）丁二8/4丁

3.设A与B均为〃x〃矩阵，满足A8=O,则必有（）（中档）

A.A=O或B=0B.A+B=OC.|A|=0或网=0D.网+|目=0

4.设〃阶方阵A区C满足A3C=E,则必有（）（中档）

A.ACB=EB.CBA=EC.BAC=ED.BCA=E

5.设A为〃阶方阵，且满足A5=4C,则下列结论对的的是（）（中档）

A.A=OB.BwC,则A=OC.4/0,则B=CD.|川工0,则5=C

6.设A,B,。为同阶方阵，则（ABC）T=（）（易）

A.B.C^TATC.D.AT（5BT

7.设A,B,C为同阶可逆方阵，则（ABC）-'=（）（易）

A.A-'B'C1B.C'B'/l1

CCA।D.A'C'B1

8.设A是可逆矩阵，且A+A3=E,则A"=（）（易）

A.1+8B.E+BC.BD.（E+gT

9.设A是〃阶可逆矩阵，&是不为。的常数，=（）（易）

A.kA-]B.—A-1C.-M-1D.-A~l

knk

10.设4和8均为〃矩阵，则必有（）（中档）

（A）|A+B|=|A|+|M（B）AB=BA

（C）\AB\=\BA\（D）（A+B）T=A-'BT

二、填空题

’241、r-l3

11.设4=，B=，则3A—23=（易）

,035,J0V

12.设A=（-l,l,3）,3=（2-,-1）,贝iJA78=__________（易）

2

2x

13.设1B={1）则当满足_______时，AB=8A（较难）

（43」（2y）9

14.已知a=（1,2,3）,/=（6,$，设A=aTp淇中a7■是。的转置，则A"=—

'aa1、

15.设A=a\a,QU当。满足条件时，A可逆（易）

」00、

16.设3阶矩阵A=220,则4*4二（易）

、333）

17.已知"阶方阵A可逆，则卜］=,（A*）-1=（中档）

18.设A8均为〃阶矩阵,图=2,忸|=一3,则|24丈卜（难）

19.设矩阵A满足A?+A-4£=O,其中E为单位矩阵，则（A—E）1=（中档）

1-1

20.设矩阵A=,B=A2-3A+2EJiJB-'=（中档）

23

三、计算题

’111、」21、

21.设A=-111,B=13-1,求（A-8）（4+8）及A2—B2.（中档）

J-1bJ12，

、37、’-124、

22.设A=—223B=1-3-1,求2A—3B和A'B.（中档）

<6-41,、512）

」23、

23.设A=111

、31b

fi-ir

（1）求A"；（2）设4X=110求X.（中档）

、214,

'010、（\-n

24.若AX+B=X,其中4二-111B=20，求X（较难）

~X0-1,A-3,

25.设3阶方阵4的随着矩阵为A",且同=g,求|（3A）U-2A1.（中档）

26.已知.其中

」00>（\00、

B=020,P=2-10

、00-U121L

求4及万.（难）

四、证明题

27.已知〃阶方阵A满足矩阵方程4?一3A-2E=0.证明A可逆，并求出其逆矩阵4一.（中

档）

28.已知对于n阶方阵A，存在自然数般使得4人=0.试证明矩阵石-4可逆,并写出其逆矩

阵的表达式（E为〃阶单位阵）.（较难）

29.设A是〃阶矩阵，满足=£（E是"阶单位矩阵,不是A的转置矩阵）,|川<0，求

|A+/].（较难）

30.设n阶矩阵A和8满足条件A+8=A3.

（1）证明A-E为可逆矩阵；

'1-30、

（2）已知8=210，求矩阵A

<002,

向量组的线性相关性

一、选择题

1.设3阶方阵A=[%,%，%],其中4（1=123）为A的列向量，若

忸卜同+2%,%，%卜6,则网=（）（较易）

A.-12B.-6C.6D.12

2.设A=Z，%,%],其中%（i=123）是三维列向量，若网=1,则

14al,初一3%,03卜（）（中档）

A.-24B.-12C.12D.24

3.设向量组。尸（1,2）,a2二（0,2）,P=（4,2）,则（）（中档）

A.%，见，尸线性无关B.尸不能由外,出线性表达

C.夕可由生,。2线性表达，但表达法不惟一

D.4可由名,。2线性表达，且表达法惟一

4.设为〃维向量，下列结论对的的是（）（较难）

A.若=0,则a,%，L线性相关

B.若任意一组不全为零的数4,网，…，3,有+工“%产0,则

线性无关

C.若外,%,L,线性相关，则对任何一组不全为零的数4/2,…,（"有

k^+k2a2+L+kmatll=0

D.若。%+0%+L+0生〃=0,则%%,L,线性相关

5.下列命题中错误的是（）（较易）

A.只具有一个零向量的向量组线性相关

B.由3个2维向量组成的向量组线性相关

C.由一个非零向量组成的向量组线性相关

D.两个成比例的向量组成的向量组线性相关

6.设生,%，%，%是三维实向量，则（）（较易）

A.%,%，%，%一定线性无关B.%一定可由%,%，%线性表出

C.%,%，4，%一定线性相关D.一定线性无关

7.已知向量组四,%,内线性无关,%，%，%,夕线性相关，则（）（较易）

A.%必能由%,%,夕线性表出B.%必能由四，出夕线性表出

C.4必能由四，%，尸线性表出D.4必能由四,巴，%线性表出

8.设〃维列向量组％生10”（〃2<〃）线性无关，则〃维列向量组44，L4线

性无关的充足必要条件是（）（难）

A.向量组可由向量组?"2,L,凡线性表达

B.向量组*A，L,&可由向量组《,%人,区“线性表达

C.向量组小%L4与向量组织A，L等价

D.矩阵A=（%%，L0”）与矩阵B=（凡%L，色）等价

9.设向量组（I）可由向量组（H）4河,L线性表达，则（）（中

档）

A.若向量组（I）线性无关，则「Ws；

B.若向量组（I）线性相关，则，,s；

C.若向量组（II）线性无关，则

D.若向量组（II）线性相关，则-＞九

10.已知四，色是At=〃的两个不同的解，%，%是相应齐次方程组/民二。的

基础解系，卜,42是任意常数，则Ar=〃的通解是()(较难)

2

A.k}ax+k2(a(+a2)+——B.k}a}+k2-a2)+

c-3+似四-幻+乎D.A-

二、填空题

11.设a=(L1,-1),夕二(一2,1,0),z=(-l,-2,1),则3a—6+5y=.

(较易)

12.设向量a=(6,-2,0,4),p=(-3,1,5,7),向量丫满足2a+y=30,则

7=•

13.已知向量组4=（14-3）,4=（2,4,-6）线性相关，则数依_______.（较易）

14.已知向量组%=（1,2,3）,a广（3,-1,2）,%二（2,3,k）线性相关,

则数4.（中档）

15.已知向量组四;（1,2,3）,%=（3,-1,2）,%=（2,3,k）线性无关，

则数女.（中档）

16.设向审组%，%,出线性无关，则向量组电-q，〃R-%，%线性无关的

充足必要条件是常数/,〃?.满足条件。（难）

17.设线性无关的向量组6,%可由向量组4,凡,…,女线性表达，则广与

s的关系为.（中档）

18.已知向量组4二(1,2,-1),%=(2,0,，),%=(0,-4,5)的秩为2,则数

t=.（中档）

19.向量组%二(1,2,0),a2=(2,4,0),a、:(3,6,0),(4,9,0)

的秩为.（中档）

20.n阶矩阵A的各行元素之和为0,且R（A）=n-l,则方程组At=0的通解为

（较难）

三、解答题

的线性组合.（简朴）

（2）。为什么值时，夕能由%唯一的线性表达，并写出线性表达式.

（较难）

23.拟定常数a,使向量组名=（11a^jya2=（1a11），可曰向

量组片=（11〃）,月=（-2a4），月=（-2〃线性表达，但是向量组

自,尸273不能由向量组％,。2，。3线性表达。（难）

24•设向量组%=(1,3,0,5)1a2=(l,2,1,4)\%=(1,1,2,3尸,%二(1,0,3,公「,

拟定A的值，使向量组%,%，%，%的秩为2,并求该向量组的一个极大线性无

关组.（简朴）

TTTT

25.设向量组4二（2,1,3,1）,a2=（l,2,0,1）,a3=（-l,1,-3,0）,cr4=（l,1,1,1）,

求向量组的秩及一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组表达向量组中的其

余向量.（中档）

-8X+10X+2X=0

26.求齐次线性方程组卜百+24々+53不，94=0的基础解系与通解.（中档）

3芭++6.—2X4-0

x+x=5

27.求非齐次方程组}上西2+/+七+28=1的通解及相应的齐次方程组的基础

5%+3X2+2X3+2X4=3

解系.（中档）

四、证明题

28.设%,%，出线性无关，证明/，6+2%，四+3%也线性无关.（简朴）

29.已知向量组a1,%'4线性无关，证明：向量组4+3%，2%+3%，2%+四线

性无关.（简朴）

30.设〃维向量组（I）：向量组（H）：自=因一%，隹=%一生，L，

aa

Pr-\~r-\-r>/=%+/，证明:R（I）=R（II）o（较难）

线性方程组

一、选择题

1.已知4是一个3X4矩阵，下列命题中对的的是（）（中档）

A.若矩阵/I中所有3阶子式都为0,则秩（力）=2

B.若月中存在2阶子式不为0,则秩（力）=2

C.若秩（力）=2,则/I中所有3阶子式都为0

D.若秩（力）=2,则月中所有2阶子式都不为0

2.设/为/X〃矩阵，*〃，则齐次线性方程组力产0只有零解的充足必要条件是A的秩

（）（中档）

A.小于mB.等于加C.小于D.等于〃

3.设力是n阶方阵，若对任意的n维向量X均满足力片0,则（）（中档）

A.A=QB.A=EC.秩（4二nD.0＜秩C4)〈n

4.设月为加Xn矩阵，且m<n,则齐次方程力是0必（）（较难）

A.无解B.只有唯一解C.有无穷解I）.不能拟定

%+2X2-=2-1

5.若方程组3X2-X3=2-2有无穷多解，贝:(）（较难）

—Xy=(A_3)(4—4)+(A—2)

AX2

A.1B.2C.3D.4

%+4+口=4

6.已知线性方程组《玉+»2十七=3无解，则数折（）（中档）

2xx+20r2=4

1、1

A.一一B.0C.一D.1

22

+X2+=2-1

2%一七=/-2

7.若方程组/有唯一解，则2=（）（较难）

/=4-3

(A—1)5=—(A—3)(Z—1)

A.1或2B.-1或3C.1或3D.-1或-3

2%一巧+W=。

8.设齐次线性方程组、X]-x2-x3=0有非零解,则4为（）（中档）

Zx,+x2+x3=0

A.-1B.0C.1D.2

9.设a是非齐次线性方程组Ax=b的解,夕是其导出组/广0的解，则以下结论对的的（）（较

易）

A.a+夕是力产0的解B.a+尸是月产b的解

C.夕-a是的解D.是力产0的解

10.设力是4X6矩阵，r3）=2,则齐次线性方程组4=0的基础解系中所含向量的个数是

（中档）

A.1B.2C.3D.4

11.下列矩阵不是初等矩阵的是（）（较易）

」00、0r100i00、

2

A.001B.0-1oC.00I).01-4

2

<010,0oJ(00(00

二、填空题

a1I

12.设线性方程组111有无穷多个解,贝ija=_.（较难）

13.设4为〃阶矩阵，8为〃阶非零矩阵，若8的每一个列向量都是齐次线性方程组力修0

的解，则|力|二.（中档）

.（较易）

14.设%,CC2是齐次线性方程组月产。的两个解，则力（3a,+7a2）=

15.设n阶矩阵A的各行元素之和均为0,且A的秩为nT,则齐次线性方程组Ax=0的通解

为.（难）

16.三元方程拓+必=1的通蟀是（中档）.

x+

}AX2+x3=0

17.设方程组/1%+/+工3=0有非零解，且数则4=（较难）

X1+工2+2工3