2023年线性代数主要知识点

《线性代数》的重要知识点

第一部分行列式

概念：

n阶行列式展开式小J特点：①共有n!项，正负各半;

②每项有n个元素相乘，且覆盖所有的行与列；

③每一项的符号为（一1）«行"（列）

1.元素日勺余子式以及代数余子式Ajj=（-1广）210

2.行列式H勺性质

1.计算措施：

2.对角线法则

3.行列式H勺按行（列）展开（另有异乘变零定理）

第二部分矩阵

1.矩阵口勺乘积

注意：①不满足互换率（一般状况下）

②不满足消去率（由AB=AC不能得出B=C）

③由AB=O不能得出A=0或B=0

④若AB=BA,则称A与B是可换矩阵

2.矩阵日勺转置

满足的法则：，

3.矩阵的多项式设，人为门阶方阵，则

夕（人）=40E+。］4+・一+。〃人"称为八时n次多项式。

对与对角矩阵有关的多项式有结论如下：

（1）假如，则

=Pa^EP'+…+Pa"N'PJP（pgP

（2）若，则

4.逆矩阵：阶矩阵A,,若，则A,B互为逆矩阵。

n阶矩阵A可逆<=>网40；

or（A）=〃（或表达为R（A）=〃）即A为满秩矩阵；

OA与E等价：

OA可以表到达若干个初等矩阵的乘积；

=AH勺列（行）向量组线性无关；

OA日勺所有的特性值均不等于零

求法：①伴随矩阵法：

②初等变换法：或，E是单位矩阵

性质：（1）矩阵可逆，UIJ的逆矩阵是唯一的

（2）设是阶矩阵，则有下列结论①若可逆，则也可逆，且

②若可逆，则也可逆，且

③若可逆，数，则可逆，且

④若为同阶矩阵且均可逆，则也可逆，且

5.方阵A口勺行列式：

满足下述运算规律（设为阶方阵，为数）

①,[=同②|明=©4|③耳=同忸|

6.伴随矩阵：行列式的各个元素H勺代数余子式所构成的如卜.的J矩阵

,称为矩阵的伴随矩阵（注意行与列时标识H勺不一样）

伴随矩阵具有性质:

常见口勺公式有：①②③④等

7.初等矩阵：由单位矩阵通过一次初等变换后所得H勺矩阵称为初等矩阵。

三种初等变换对应着三种初等矩阵，分别记为：

（1）E（i,j）（互换E的第C，列）

(2)E(i(Z))(EFI勺第二行乘以不为零的数2)

(3)E(ij(k))(把EK、"行日勺攵倍加到第、行上)

初等矩阵具有下述性质：初等矩阵的转置仍为初等矩阵；初等矩阵都是可逆矩阵，其逆矩阵

仍为初等矩阵且、、；

初等矩阵H勺行列式分别是-l.k.Io

①8.矩阵的初等变换：初等行变换：下面三种变换称为矩阵欧I初等行变换：

②对调两行；记为一5对换第i与/行

③.以教，。。乘某一行中内所有元素；记为小第i行乘女

把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去；记为第行倍加到第行上。

把定义中矩阵的行换成列，即得矩阵的初等列变换的定义.

矩阵的初等行变换和初等列变换统称矩阵初等变换

①矩阵的初等变换与初等矩阵的关系：设A是一种矩阵，则

②对A施行一次初等行变换，相称于在A的左边乘以对应的阶初等矩阵；

对A施行-一次初等列变换，相称于在A的右边乘以对应的阶初等矩阵

9.矩阵口勺等价：假如矩酋通过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A与矩阵B等价。

且若矩阵通过有限次初等行变换变成矩阵B,就称矩阵A与B行等价；

若仅通过初等列变换，就称A与B列等价。

设A8为根x〃矩阵

①与行等价阶可逆矩阵，使得

②与列等价阶可逆矩阵，使得

③等价阶可逆矩阵，阶可逆矩阵，使得

运用矩阵的初等变换解矩阵方程

,,可以：

,，可以：，从而解出X。

10.矩阵的秩：非零子式的最高阶数。记为

向量£能由向量组A线性表达O方程组七%+£%+…X”。,”=P有解

矩阵A=（）日勺秩等于矩阵B=（,）的秩

2.等价：设有两个向量组A：及B：,若B中的J每个向量都可以由向量组A线性表达，则

称向量组B能由向量组A线性表达。若向量组A与向量组B能互相线性表达，则称这两个向

量组等价。记为：（）且（）

重要结论：

（1）矩阵A与B若行等价，则A的行向量组与B的行向量组等价：

若矩阵A与B若列等价，则A的列向量组与B的列向量组等价

（2）向量组B:能由向量组A:线性表达存在矩阵K,使得B=AK方程AX=B有解

（3）向量组A:导向量组B:等价,其中,A,B是向量组构成H勺矩阵

（4）向量组氏能由向量组A:线性表达，则

R（bi也，…

3.线性有关与线性无关

对向量组A:,假如存在不全为零FI勺一组数，使得：

则称向量组A是线性有关的，否则称为线性无关，

也就是说当且仅当都是零时才能使（IH）式成立，则线性无关。

重要结论：

（1）向量组4”线性有关O齐次线性方程组有非零解=它所构成H勺矩阵A=

（%.a2，一，，《“）H勺秩不不小干机：

同样线性无关o仅有零解oR（4）=〃？

（2）n个n维向量，线性有关行列式，线性无关行列式

（3）m个n维向量，当维数时，向量组一定线性有关。尤其地，个维向量必线性有

关；

（4）若向星组A:线性有关向量组B:一定线性有关；反之，向星组B若线性无关

向量组A线性无关

或论述为：整体无关，则任意部分无关；只要有一部分有关，则整体有关；

（5）若向量组A:线性无关，而向量组B:,线性有关必能由向量组A线性表达,

且体现式唯一

（6）若维向量组线性无关，则在每一种向量上再添加个分量所得到的维向量组

也是线性无关的

（7）向量组A:线性有关其中至少有一种向量是其池个向量的线性组合；线性无关

每一种向量都不能由其他向量线性表达。

（8）假如向量组A：可由向量组B:线性表达，并且向量组A：线性有关；

（逆否命题：A:线性无关且可由向量组B线性表达）

4.最大（极大）线性无关组：设有向量组A,假如在A中能选出个向量，满足（1）向

量组：线性无关；

（2）向量组A中任意r+1个向量（假如A中有〃+1个向量的话）都是线性有关的

那么称名,。2,…，巴是向量组A的一种最大（极大）线性无关部分组

条件（2）也可以改为：向展组A中任意一种向量都可以由线性表达，

结论：

①一种向最组口勺极大无关组是它口勺线性无关部分组中个数最多的那一种

②一种向量组U勺极大无关组不是唯一口勺

③向量组小J任意一种极大无关组所含向量的个数是唯一确定的

④若向量组线性无关，其极大无关组就是其自身

⑤任历来展组和它的极大无关组等价

⑥向量组%,。2/一，巴中任意两个极大无关组等价

5.向量组的秩：向量组中极大无关组所含向量的个数称为向量组A的秩。

记为：（）

重要结论：（1）假如向量组与向量组等价，则它们的秩相等

（2）假如向量组可由向量组线性表达，且

,,则

（3）矩阵的秩等于它日勺列向量组的秩，也等于它的行向量组H勺秩

算封闭，那么就称V为向量空间。

（1）设是两个已知R勺维向量，则集合是一种向量空间。称为由向量所生成的向量

空间。

（2）向量空间的基一-设为向量空间，假如个向量，且满足①线性无关；②中

任何•种向量都可以由线性表达

则称向量组是向量空间的一种基，称为向量空间的维数，并称为维向量空间。

（3）在中取定一种基，再取一种新基，设（），

（）,则=称为从旧基到新基的过渡矩阵

7.向量欧J内积：

⑴设有维向量，：令，

称为向量与的I内枳.当与都是列向量时，..

（2）内积具有下列性质（其中为维向量，为实数）：

①&y］=bM；②［疝,丁］二5,）［；

..④当时，：当时，

⑤施瓦茨（Schwarz）不等式［x,y『＜［x,x］•［y,）］

（3）向量的长度：=,称为维向量的长度。（范数）.

（4）向量H勺正交---当时，称向量与正交.

（5）正交向量组一一两两正交的非零向量组称为正交向量组.

正交向量组的性质

若维向豉是一组两两正交的非零向量组，则线性无关.

（6）施密特（Schimidt）正交化过程：设是线性无关的:

取；，•••.

两两正交，且与等价

第四部分线性方程组

解的鉴定：

线性方程组其系数矩阵与增广矩阵分别记为：

,或（A,b）=

则方程组的矩阵表达形式为：

若记：，，，则方程组口勺向量形式为：

阳。1+x2a2+'''Xtan=b

鉴定定理：