专题11 整式运算中含参数及新定义型问题的六类综合题型（压轴题专项训练）数学人教版2024八年级上册（原卷版）

1/10专题11整式运算中含参数及新定义型问题的六类综合题型目录TOC\o"1-2"\h\u典例详解类型一、利用单项式乘法求字母或代数式的值类型二、利用单项式乘多项式求字母的值类型三、已知多项式乘积不含某项求字母的值类型四、完全平方式中的字母参数问题类型五、多项式乘多项式与图形面积中无关型问题类型六、整式的运算中的新定义型问题压轴专练类型一、利用单项式乘法求字母或代数式的值1.系数与指数对应求值：单项式相乘后，系数和同字母指数分别相等，如2xm*3x2=6x5，得m+2=5，求m=3。2.代入化简代数式：先算单项式乘积化简，再代入字母值。如3a*2b=6ab，代入a=1、b=2，得结果12。例1．已知单项式与的积为，则m，n的值为（

）A．， B．，C．， D．，【变式1-1】若，则的值为（）A． B． C． D．【变式1-2】设，则的值为（

）A．1 B． C．3 D．【变式1-3】已知与的积与是同类项．(1)求的值，(2)先化简，再求值：．类型二、利用单项式乘多项式求字母的值1.展开后系数对应：单项式乘多项式展开后，同类项系数对应相等。如2x(x+a)=2x²+6x，对比得2a=6，求a=3。2.整体代入求值：先展开化简，如a(2b+c)-2ab=ac，代入a=2、c=5，直接得2×5=10。例2．若，则（

）A．3 B．2 C．1 D．0【变式2-1】若，则a的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．8【变式2-2】已知，当x为任意数时该等式都成立，则的值为（

）A．17 B． C． D．-17【变式2-3】若对任意都成立，则．类型三、已知多项式乘积不含某项求字母的值1.

合并同类项后系数为0：多项式相乘展开后，合并同类项，令不含项的系数等于0。如(x+a)(x+2)=x²+(a+2)x+2a，不含一次项则a+2=0，得a=-2。2.

通过系数关系求解：分析乘积中某项系数构成，列方程求解。如(2x+m)(x-3)不含常数项，常数项-3m=0，得m=0。例3．若的展开式中不含x的二次项和一次项，求a，b的值．【变式3-1】已知关于的代数式中不含项与项．(1)求的值；(2)求代数式的值．【变式3-2】多项式，，A与B的乘积中不含项，且常数项是－6．(1)试确定m和n的值；(2)利用（1）的结果，求的值．【变式3-3】定义，如．已知(n为常数)，．(1)若，求x的值；(2)若A的代数式中不含x的一次项，且，求的值；(3)若A中的n满足，且，求的值．类型四、完全平方式中的字母参数问题1.缺项补全求参数：形如x²+ax+9为完全平方式，因9=3²，故ax=±2·x·3，得a=±6，利用中间项是两数积的2倍。2.配方确定参数范围：如x²+2x+m是完全平方式，配方为(x+1)²+(m-1)，需m-1=0，即m=1。例4．（24-25八年级上·吉林·期末）若式子是一个完全平方式，则k=．【变式4-1】（24-25八年级上·吉林松原·期末）若是一个完全平方式，则常数k的值为．【变式4-2】如果关于的多项式是完全平方式，那么的值为．【变式4-3】（24-25八年级上·重庆万州·期中）已知M是含字母x的单项式，要使多项式是某个多项式的平方，则M为．类型五、多项式乘多项式与图形面积中无关型问题1.面积表达式去无关项：图形面积用多项式乘积表示后，合并同类项，令含无关字母的项系数为0。如某面积式为x²+(a-2)y+3，与y无关则a-2=0，得a=2。2.乘积化简消参数：多项式相乘后，若结果与某字母无关，说明该字母系数为0。如(x+m)(x+2)=x²+(m+2)x+2m，与x无关则m+2=0，得m=-2。例5．如图，某城市广场是一个长方形，长为米，宽为米．为了丰富市民文化生活，政府计划在中间区域建一个长方形的音乐喷泉池（图中阴影部分），音乐喷泉池的四周为市民活动区域，宽度分别为米、米（如图所示）．(1)求音乐喷泉池的占地面积（用含，的式子表示）．(2)若，满足，求该广场音乐喷泉的面积．(3)在（2）的条件下，音乐喷泉池建成后，需给市民活动区域铺上地砖．若市民活动区域每平米铺设地砖的费用为元，求市民活动区域铺设地砖的费用【变式5-1】如图，一个小长方形的长为，宽为，将6个大小相同的小长方形放入大长方形内（无重叠）．(1)用含、的代数式表示大长方形的长______，宽______；（结果写成最简形式）(2)用含、的代数式表示大长方形中阴影部分的面积；（结果写成最简形式）(3)若，大长方形面积为，大长方形中阴影部分为，求的值．【变式5-2】两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．(1)用含a，b的代数式分别表示、；(2)若，，求的值；(3)当时，求出图3中阴影部分的面积．【变式5-3】有边长分别为a，b的两种正方形（如图1）卡片若干．(1)将两种正方形卡片各一张按如图2放置，用含a，b的代数式表示阴影部分（未重叠部分）的周长；(2)将一张边长为a的正方形卡片和两张边长为b的正方形卡片按如图3放置，用含a，b的代数式表示阴影部分（三张卡片都重叠部分）的周长；(3)将两种正方形卡片各一张按如图4放置在一个边长为c的大正方形内，左下角长方形的面积为S1，两张卡片重叠部分的面积为S2．若，请直接写出与的数量关系．类型六、整式的运算中的新定义型问题1.

理解新运算规则：按定义转化为整式运算，如定义a*b=a²-b，则3*2=3²-2=7，用熟悉公式计算。2.

结合公式化简：新定义含多项式时，套用乘法公式，如a⊕b=(a+b)(a-b)，即平方差，直接用公式简化运算。例6．（24-25七年级下·安徽淮北·期末）定义：是以为系数的二次多项式，即，其中均为实数．例如：，．完成下面的探究：（1）当时，的值是；（2）若，则的值是．【变式6-1】（24-25七年级下·陕西西安·期中）新定义：为二阶行列式，它的运算规则是，例如：．(1)计算的值；(2)若，求的值．【变式6-2】（24-25七年级下·广东深圳·期中）定义：是多项式A化简后的项数，例如多项式，则．一个多项式A乘多项式B化简得到多项式C（即），如果，则称B是A的“好多项式”，如果，则称B是A的“极好多项式”．例如多项式，，则，则，，，所以B是A的“好多项式”，但B不是A的“极好多项式”．(1)若，均是关于x的多项式，则B是不是A的“好多项式”？是不是A的“极好多项式”？请判断并说明理由；(2)若，均是关于x的多项式，且B是A的“极好多项式”，则______；(3)若，均是关于x的多项式，且B是A的“极好多项式”，求m的值．【变式6-3】（24-25七年级下·广东佛山·期中）教科书第一章《整式的乘除》中，我们学习了整式的几种乘除运算，学会了研究运算的方法．现定义了一种新运算“”，对于任意有理数，，，规定．例如：．请解答下列问题：(1)填空：=；(2)若的代数式中不含的一次项时，求的值；(3)如图1，在六边形中，对角线和相交于点，当四边形和四边形都为正方形时，设正方形和正方形的边长分别为，，若，，求出阴影部分的面积．(4)如图2，小长方形长为，宽为，用张图中的小长方形按照图方式不重叠地放在大长方形内，其中，大长方形中未被覆盖的两个部分图中阴影部分，设左下角长方形的面积为，右上角长方形的面积为，当时，求的值．一、单选题1．如果与相乘的结果是，那么m和n的值分别是（

）A．3，5 B．2，1 C．3，4 D．4，52．若关于的多项式是完全平方式，则的值为（

）A． B． C．1或 D．或73．甲、乙、丙、丁四位同学在计算多项式“)”时，得到了各不相同的四个结果：甲，；乙，；丙，；丁，．已知四位同学中只有1人计算正确，且“”处的数字是正数．则计算结果正确的是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁4．现定义运算“”，对于任意有理数，都有．例如：，由此可知等于（）A． B． C． D．5．在长方形中，比长1个单位，将一张边长为a和两张边长为b的正方形纸片按图1，图2两种方式放置，长方形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影部分表示，若要知道图2中阴影部分的面积与图1中阴影部分的面积的差，则只要知道图中哪条线段的长（

）A． B． C．a D．b二、填空题6．，则．7．若关于的多项式的计算结果中不含有项，则．8．在多项式中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则这个单项式有个．9．对于实数，，定义新运算“”如下：．若，则的值为．10．我们定义：一个整式能表示成（、是整式）的形式，则称这个整式为“完全式”．例如：是整式），所以为“完全式”．若（、是整式，为常数）为“完全式”，则当时，的值为．三、解答题11．（1）试说明代数式的值与s，t的取值有无关系；（2）已知多项式与的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为，试求的值．12．如图1是一个长为m，宽为n的矩形（）．用7张图1中的小矩形纸片，按图2的方式无空隙不重叠地放在大矩形内，未被覆盖的部分用阴影表示．若大矩形的长是宽的．(1)求m与n的关系；(2)若图2中，大矩形的面积为18，求阴影部分的面积．13．对于任意有理数、、、，定义一种新运算：．(1)；(2)对于有理数、，若是一个完全平方式，则；(3)对于有理数、，若，．求的值．14．定义，如．已知（n为常数0），．(1)若，则x的值为；(2)若A的代数式中不含x的一次项，当，求的值；(3)若A中的n满足，且时，求的值．15．【阅读理解】在计算机上可以设置程序，将二次多项式处理成一次多项式，设置程序为：将二次多项式A的二次项系数乘以2作为一次多项式B的一次项系数，将二次多项式A的一次项系数作为一次多项式B的常数项．例如：，A经过程序设置得到．【知识应用】关于x的二次多项式A经过程序设置得到一次多项式B，已知，根据上方阅读材料，解决下列问题：(1)若，求m，n的值；(2)若的结果中不含一次项，求关于x的方程的解；(3)某同学在计算时，把看成了，得到的结果是，求出的正确值．16．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如，，因此这三个数都是“智慧数”．(1)根据“智慧数”的定义，请判断除外的所有奇数______“智慧数”；（填“是”或“不是”）(2)如图，拼叠的正方形边长是从开始的连续偶数，按此规律拼叠到正方形，其边长为（为正整数），请用含的代数式表示阴影部分的面积；（要求：需写出必要的化简过程）(3)若为正整数，则是“智慧数”．请判断该命题的真假，并说明理由．17．如图1，把边长为的正方形放在长方形中，其中正方形的两条边分别在，上，已知，．(1)请用含a、b的代数式表示阴影部分的面积：；(2)将另一长方形BEFG放入图1中得到图2，已知，；①请用含a、b的代数式表示长方形的面积：；请用含a、b的代数式表示长方形面积：；②若长方形的周长为6，求阴影部分的面积（用含的代数式表示）．18．