专题10 立体图形的表面展开图的四类综合题型（压轴题专项训练）数学人教版2024七年级上册（原卷版）

1/10专题10立体图形的表面展开图的四类综合题型目录TOC\o"1-2"\h\u典例详解类型一、补一个面使图形围成正方体类型二、含图案的正方体的展开图类型三、由展开图计算几何体的面积或体积类型四、长方体无盖展开图的有关问题压轴专练类型一、补一个面使图形围成正方体1.确定"邻居"：先在脑海里固定一个面作为底面。然后观察它周围的面，想象把它们向上翻折，看它们分别会成为"前、后、左、右"哪个面。2.找到"空位"：折叠后，剩下没有被覆盖的那个位置，就是需要补上的"盖子"。3.快速排除：记住一个快速排除法——正方体展开图里绝对不会出现"凹"字形或"田"字形。如果补上某个面后形成了这种结构，那它肯定是错的。例1．如图，在的正方形网格中，下列小正方形中能与阴影部分组成正方体展开图的是（

）A．① B．② C．③ D．④【变式1-1】图1和图2中所有的正方形都相同，将图1的正方形放在图2中①②③④⑤的某一位置，所组成的图形能围成正方体的位置有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式1-2】如图，有五个相同的小正方形，请你在图中添加一个小正方形，使添加后的图形能折叠成一个正方体，共有（

）种添法．

A．3 B．4 C．5 D．6【变式1-3】如图所示，纸板上有10个小正方形（其中5个有阴影，5个无阴影），从图中5个无阴影的小正方形中选出一个，与5个有阴影的小正方形一起折一个正方体的包装盒，不同的选法有（）A．4种 B．3种 C．2种 D．1种类型二、含图案的正方体的展开图1.找"邻居"：在展开图中，同一行或同一列且中间只隔一个面的两个面，在正方体中是相对的。相对的面在任何视图中都不会同时出现。这是最快的排除法。2.动手"折一折"：找一个确定的面作为"前面"，然后在脑海中把它周围的面折起来。想象一下，"上面"、"右面"等位置的图案应该是什么样的。这个方法虽然花点时间，但最稳妥。例2．小明用如图中的纸片折叠成了一个正方体的盒子，下列四个选项中正确的是（

）A．B．C．D．【变式2-1】下列选项中是如图所示的正方体的表面展开图的是（

）A．B．C．D．【变式2-2】如图，正方体的三个侧面分别画有不同图案，它的平面展开图可以是（

）A．B．C．D．【变式2-3】小欣同学用纸（如图）折成了个正方体的盒子，里面放了一瓶墨水，混放在下面的盒子里，只凭观察，选出墨水在哪个盒子中（

）A． B． C． D．类型三、由展开图计算几何体的面积或体积1.

还原几何体：根据展开图的形状，判断它能围成哪种立体图形。比如，由6个长方形组成的展开图对应长方体；由1个扇形和1个圆形组成的对应圆锥。2.

确定尺寸：在展开图上找到计算所需的关键尺寸。例如，计算圆柱时，长方形的一边是高，另一边是底面圆的周长；计算圆锥时，扇形的半径是圆锥的母线长，弧长是底面圆的周长。3.

套用公式：确定几何体和尺寸后，直接套用对应的表面积或体积公式进行计算。例3．如图所示是一个几何体的表面展开图．(1)该几何体的名称是______，其底面半径为______；(2)根据图中所给信息，求该几何体的表面积和体积（结果保留）．【变式3-1】如图所示为一个棱柱形状的食品包装盒的展开图．(1)这个食品包装盒的几何体名称是________；(2)根据图中所给数据，求这个食品包装盒的侧面积．【变式3-2】如图，是一个食品包装盒的表面展开图．(1)请写出这个包装盒的几何体的名称：；(2)根据图中给出的数据，计算这个几何体的侧面积．【变式3-3】如图是一个长方体包装盒的展开图，已知长方体包装盒的长是宽的2倍．(1)包装盒展开图的6个面上分别标有如图所示的序号，若将展开图重新还原成一个包装盒，则面①与面相对，面②与面相对；（填序号）(2)若该长方体包装盒的宽为，求这个长方体包装盒的体积．【变式3-4】小颖设计了一个无盖的长方体收纳盒，她用若干个长方形拼成了如图所示的展开图，并标上了字母，据你所学的知识，回答下列问题：(1)小颖将展开图折叠成无盖的长方体，若她想让折叠后的B在底面，则她应该剪去哪个面？(2)已知，所有棱长的和是，求这个长方体收纳盒的容积．类型四、长方体无盖展开图的有关问题1.确定底面：无盖长方体展开图有多种形式，但通常有一个"盖子"是缺失的。你需要先找到那个单独的、或位于中间的长方形作为底面。2.匹配长宽高：底面确定后，剩下的四个长方形就是侧面。其中，两个长方形的一边长度应等于底面的长，另外两个应等于底面的宽。剩下的那条边就是长方体的高。3.计算面积：表面积是底面面积加上四个侧面面积之和。如果题目给了总面积和其中两个边长，也可以用这个关系来反求第三个边长。例4．综合与实践某“综合与实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为24cm的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）请你动手操作验证并完成任务．（纸板厚度及接缝处忽略不计）动手操作一：根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子．方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为cm的小正方形，再沿虚线折合起来．问题解决：（1）若cm，则该长方体纸盒的底面边长为__________cm；该长方体纸盒的体积为__________cm3；动手操作二：根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒．方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为cm的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．拓展延伸：（2）若cm，该长方体纸盒的表面积为多少cm2？【变式】【问题情境】《制作无盖的长方体纸盒》是北师大版七上的课题学习，某综合实践小组在学习了这一课后，开展了“长方体纸盒的制作”实践活动．【问题解决】（1）如图所示图形中，是无盖正方体的表面展开图的是．（填序号）（2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1）为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．回答下列问题：①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面周长为多少cm?②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．则该长方体纸盒的体积为多少？【问题进阶】（3）若一个无盖长方体的长、宽、高分别为6、4、3，它缺一个长为6、宽为4的长方形底面，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，请直接写出长方体表面展开图的最大外围周长．一、单选题1．（25-26七年级上·安徽宿州·阶段练习）下列选项中，左边的平面图形能够折叠成右边封闭的立体图形的是（

）A． B．C． D．2．（25-26七年级上·山东济南·阶段练习）下列展开图，能折叠成正方体的有（

）个．A．6 B．5 C．4 D．73．（25-26七年级上·甘肃酒泉·阶段练习）一个正方体的平面展开图如图所示，折叠后可折成的图形是（

）

A．

B．

C．

D．

4．（24-25七年级上·辽宁锦州·期末）在数学活动课上，老师要求用长为，宽为的长方形硬纸片制作一个无盖的长方体纸盒．小亮同学在长方形硬纸片上截去两角（图中阴影部分），使纸盒底面的四边形是长方形，且．那么他沿虚线所折成的无盖的长方体纸盒的体积是（

）A． B． C． D．5．（24-25七年级上·湖南常德·期末）某玩具厂在生产配件时，需要分别从棱长为的正方体木块中，挖去一个棱长为（）的小正方体木块，得到甲、乙、丙三种型号的玩具配件（如图所示），将甲、乙、丙这三种配件的表面积分别记为、、，则下列大小关系正确的是（

）A． B．C． D．二、填空题6．（25-26七年级上·陕西西安·开学考试）下图是多个几何体的平面展开图，从左到右，其对应的几何体名称是：7．（25-26七年级上·重庆·开学考试）用四个完全相同的小长方体拼成一个大长方体，其中每个小长方体的长，宽，高分别是6，4，2．那么这个大长方体的表面积最小为，此时的拼法有种．8．（2025七年级上·全国·专题练习）将图甲围成图乙的正方体，则在面中，图1中的标志所在的正方形是正方体中的面．（填序号）9．（2024七年级上·江苏·专题练习）小滨正对相同的长方体快递盒进行包装，如图1单个盒子的表面积为，如图2三个盒子叠一起的表面积为，则如图3四个盒子叠一起的表面积是．10．（24-25七年级上·福建厦门·期末）在课题学习中，老师要求用长为24厘米，宽为16厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒，三位同学分别以下列方式在长方形纸片上截去两角（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒．

甲：如图1，盒子底面的四边形是正方形，折成纸盒的容积为；乙：如图2，盒子底面的四边形是正方形，折成纸盒的容积为；丙：如图3，盒子底面的四边形是长方形，，折成纸盒的容积为；将这三位同学折成的无盖纸盒的容积、、按从大到小的顺序排列为．三、解答题11．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）如图所示是一个几何体的表面展开图．(1)该几何体的名称是______，其底面半径为______．(2)根据图中所给信息，求该几何体的侧面积和体积．（结果保留）12．（2024七年级上·全国·专题练习）如图①，正方形网格中是一个正方体的部分展开图．(1)请你在图②、图③中各画1个正方形，使这6个正方形能折叠成一个正方体；(2)若这个正方体相对面上的两个数相等，求x、y的值．13．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）将一个饮料包装盒剪开、铺平，纸样如图所示，设包装盒底面的长为(1)用表示包装盒的体积和表面积；(2)如果，分别求包装盒的体积和表面积．14．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）某种产品形状是长方体，长为，它的表面展开图如图所示．(1)求长方体的体积．(2)请为厂家设计一种包装纸箱，使每箱能装2件这种产品，要求设计时不计空隙且要使该纸箱所用材料尽可能少(纸箱表面积尽可能小)，并请求出你设计的纸箱的表面积．15．（2024·广东·模拟预测）综合实践【材料阅读】汕头澄海被誉为“中国玩具礼品之都”，每年各个玩具生产厂家需要大量各式各类的包装盒．澄海某中学七年级学生到纸盒包装工厂开展“制作正方体纸盒”的实践活动，他们利用长为a，宽为b的长方形纸板设计并制作出正方体纸盒(纸板厚度及接缝处忽略不计)，有以下两种设计方案：方案一：(设计无盖正方体纸盒)如图1，当时，在纸板四角剪去四个同样大小的小正方形纸板，再沿虚线折起来就可以做成一个棱长为m的无盖的正方体纸盒；方案二：(设计有盖正方体纸盒)如图2，当时，在纸板四角剪去两个同样大小的长方形纸板和两个同样大小的正方形纸板，剩余部分折起来恰好可以做成一个有盖的正方体纸盒，其棱长与方案一中的无盖正方体纸盒的棱长大小一样．【问题解决】（1）根据方案一的操作，当时，无盖的正方体纸盒的体积为；（2）根据方案二的操作，请你在图2中画出一种符合要求的设计图；【实际应用】（3）如图3，将一张长为，宽为的长方形纸板剪掉部分长方形或正方形后，剩余部分恰好可以分成六个同样大小的正方形，且折起来可以得到一个有盖的正方体纸盒，求该正方体纸盒表面积的最大值．16．（24-25七年级上·福建三明·期末）【情境】数学活动课上，王老师开展了“制作长方体纸盒”的实践活动，王老师给每个小组分别发了一张边长为的正方形纸