2023-2024学年湖南省衡阳一中“船山杯”九年级（下）素养考核数学试卷（含答案）

2023-2024学年湖南省衡阳一中“船山杯”九年级（下）素养考核数学试卷一、填空题：本题共八小题，每小题5分，共40分。1．（5分）若定义新运算“⊙”：a⊙b＝ba，如2⊙3＝32＝9，则-1⊙(2⊙13)=2．（5分）如图，在圆上有7个点，A，B，C，D，E，F，G，连接每两个点的线段共可作出条．3．（5分）已知关于x的不等式组9-3x＞22x-a≥1，有99个整数解，则4．（5分）若△ABC的三边长分别为a，b，c，且a3﹣a2b+ab2﹣ac2+bc2﹣b3＝0，则△ABC的形状为．5．（5分）方程x2﹣y2＝21有组整数解．6．（5分）如图，在直角△ABC中，AD平分∠A，且BD：DC＝2，则∠A＝度．7．（5分）已知a+b+c＝0，a≥b≥c，a≠0，则b-3ca的最小值是8．（5分）如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE、折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上，若DE＝5，则GE的长为．二、解答题：本题共四小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步理.9．（15分）（1）若a=3-2，b=2-3，c=（2）求和：11+10．（15分）已知反比例函数有许多优美的性质．如图，过函数y=1x(x＞0)图象上的任意点P（1）证明：△APO的面积为定值；（2）过点A作OP的平行线交函数y=1x(x＞0)的图象于点B，过B11．（15分）二进制是一种数制，只使用0和1两个数字来表示数，二进制具有以下特点：1．基数为2：只有0和1两个数字．2．逢2进1：每一位只能用0或1表示，满2则向前进1．二进制在计算机科学中有着广泛应用．（1）二进制数转化为十进制数，如(10111)2=1×24+0×2（2）若将二进制数（1111+⋯1︸n个12．（15分）图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备厢，在打开后备厢的过程中，箱盖ADE可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖ADE落在AD′E′的位置（如图2所示）．已知AD＝90厘米，DE＝30厘米，EC＝40厘米．（1）求点D′到BC的距离；（2）求E、E′两点的距离．

2023-2024学年湖南省衡阳一中“船山杯”九年级（下）素养考核数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本题共八小题，每小题5分，共40分。1．（5分）若定义新运算“⊙”：a⊙b＝ba，如2⊙3＝32＝9，则-1⊙(2⊙13)=【分析】根据新定义先算括号内的，再算括号外的．【解答】解：∵a⊙b＝ba，∴2⊙13=（13）∴﹣1⊙（2⊙13）＝﹣1⊙19=（19）﹣故答案为：9．【点评】本题考查有理数混合运算，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，根据新定义列出算式．2．（5分）如图，在圆上有7个点，A，B，C，D，E，F，G，连接每两个点的线段共可作出21条．【分析】从A点出发，依次找到可连其余点的线段，把所有线段条数相加即可．【解答】解：从A出发可连6条，从B出发可连5条，（因为BA就是AB），从C出发可连4条…从F出发可连一条．共计1+2+3+4+5+6＝21（条）．故答案为：21．【点评】考查图形的规律性求法；按顺序找到所有的线段条数是解决本题的关键．3．（5分）已知关于x的不等式组9-3x＞22x-a≥1，有99个整数解，则【分析】首先解每个不等式，根据不等式组有99个整数解，确定整数解的值，进而求得a的范围，解之可得答案．【解答】解：解不等式9﹣3x＞2，得：x＜7解不等式2x﹣a≥1，得：x≥1+则不等式组的解集为1+a2≤∵不等式组有99个整数解，∴﹣97＜1+a解得：﹣195＜a≤﹣193，所以a的最大值为﹣193，故答案为：﹣193．【点评】此题考查的是一元一次不等式组的整数解，根据x的取值范围，得出x的整数解．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．4．（5分）若△ABC的三边长分别为a，b，c，且a3﹣a2b+ab2﹣ac2+bc2﹣b3＝0，则△ABC的形状为等腰三角形或等腰直角三角形或等腰直角三角形．【分析】首先将原式变形为a（a2+b2﹣c2）﹣b（a2+b2﹣c2）＝0，就有（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0，从而得出△ABC的形状．【解答】解：∵a3﹣a2b+ab2﹣ac2﹣b3+bc2＝0，∴（a3+ab2﹣ac2）﹣（a2b+b3﹣bc2）＝0．∴a（a2+b2﹣c2）﹣b（a2+b2﹣c2）＝0．∴（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0．∴a﹣b＝0或a2+b2﹣c2＝0．即a＝b或a2+b2＝c2．∴△ABC为等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形．故答案为：等腰三角形或等腰直角三角形或等腰直角三角形．【点评】本题考查因式分解提公因式法在实际问题中的运用，等腰三角形的判定和直角三角形的判定．5．（5分）方程x2﹣y2＝21有8组整数解．【分析】首先利用平方差公式将方程转化为两个数的乘积形式，然后通过分解因数来求整数解即可．【解答】解：∵x2﹣y2＝21＝（x+y）（x﹣y）＝21，∵x，y为整数，∴x+y和x﹣y也是整数，∵21＝1×21或（﹣1）×（﹣21）或3×7或（﹣3）×（﹣7），∴（x+y），（x﹣y）可以取以下数对：（1，21），（21，1），（﹣1，﹣21），（﹣21，﹣1），（3，7），（7，3），（﹣3，﹣7），（﹣7，﹣3），当x+y=1当x+y=21当x+y=-1当x+y当x+y当x+y当x+y当x+y=-7综上所述，方程x2﹣y2＝21有8组整数解．故答案为：8．【点评】本题主要考查了非一次不定方程（组），利用因式分解解决求值是解答本题的关键．6．（5分）如图，在直角△ABC中，AD平分∠A，且BD：DC＝2，则∠A＝60度．【分析】先作辅助线，再根据角平分线的性质和已知即可求得．【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，则DE＝DC，∵BD：DC＝2，∴BD：DE＝2，∴∠B＝30°．∴∠A＝60°．故答案为：60°．【点评】本题主要考查平分线的性质，掌握直角三角形的性质是解题的关键．7．（5分）已知a+b+c＝0，a≥b≥c，a≠0，则b-3ca的最小值是【分析】根据a+b+c＝0，a≥b≥c，a≠0，可得b＝﹣a﹣c，a＞0，c＜0，分别由a≥﹣a﹣c，c≤﹣a﹣c，得2a≥﹣c，2c≤﹣a，即可求出4c【解答】解：∵a+b+c＝0，a≥b≥c，a≠0，∴b＝﹣a﹣c，a＞0，c＜0，∴b﹣3c＝﹣a﹣4c，∴b-3c∴a≥﹣a﹣c，c≤﹣a﹣c，∴2a≥﹣c，2c≤﹣a，∵a＞0，∴ca≥-2，∴﹣8≤4∴1≤﹣1-4c∴b-3c故答案为：1．【点评】本题考查了不等式的性质，关键是得a≥﹣a﹣c，c≤﹣a﹣c，通过变形求出ca8．（5分）如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE、折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上，若DE＝5，则GE的长为4913【分析】由折叠及轴对称的性质可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，先证△ABF≌△DAE，推出AF的长，再利用勾股定理求出BF的长，最后在Rt△ABF中利用面积法可求出AH的长，可进一步求出AG的长，GE的长．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝12，∠BAD＝∠D＝90°，由折叠及轴对称的性质可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，∴BF⊥AE，AH＝GH，∴∠BAH+∠ABH＝90°，又∵∠FAH+∠BAH＝90°，∴∠ABH＝∠FAH，∴△ABF≌△DAE（ASA），∴AF＝DE＝5，在Rt△ABF中，BF=ABS△ABF=12AB•AF=12∴12×5＝13AH，∴AH=60∴AG＝2AH=120∵AE＝BF＝13，∴GE＝AE﹣AG＝13-120故答案为：4913【点评】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，面积法求线段的长度等，解题关键是能够灵活运用正方形的性质和轴对称的性质．二、解答题：本题共四小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步理.9．（15分）（1）若a=3-2，b=2-3，c=（2）求和：11+【分析】（1）将a=3-2=13+（2）原式可化为﹣1+2【解答】解：（1）∵1＜2＜3∴3+2＜2又∵a=3-2=13+∴13即a＞b＞c；（2）原式＝﹣1+＝﹣1+＝﹣1+45＝44．【点评】本题考查分母有理化，掌握分母有理化的方法是正确解答的关键．10．（15分）已知反比例函数有许多优美的性质．如图，过函数y=1x(x＞0)图象上的任意点P（1）证明：△APO的面积为定值；（2）过点A作OP的平行线交函数y=1x(x＞0)的图象于点B，过B【分析】（1）设OA＝a，PA＝b，则点P（a，b），S△AOP=12OA•PA=ab2，根据点P在反比例函数y=1x(x（2）设OA＝a，PA＝b，则点P（a，b），证明△ACB和△OAP相似得ACOA=BCPA，即ACa=BCb，设AC＝am，BC＝bm，则OC＝OA+AC＝a+am，由此得OAOC=aa+am=1m+1，点B（a+am，bm），进而得k＝ab＝（a+【解答】（1）证明：设OA＝a，PA＝b，∵PA⊥x轴，∴点P的坐标为（a，b），S△AOP=12OA•PA∵点P在反比例函数y=∴ab＝1，∴S△AOP=ab即△ABO的面积是12（2）解：设OA＝a，PA＝b，∵点P的坐标为（a，b），∵PA⊥x轴，BC⊥x轴，∴∠ACB＝∠OAP＝90°，∵OP∥AB，∴∠BAC＝∠POA，∴△ACB∽△OAP，∴ACOA∴ACa设AC＝am，BC＝bm，其中m＞0，∴OC＝OA+AC＝a+am，∴OAOC=aa+am=1m∴点P（a，b），点B（a+am，bm）都在函数y=∴k＝ab＝（a+am）（bm），整理得：m2+m﹣1＝0，解得：m=-1+52，当m=-1+5【点评】此题主要考查了反比例函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，理解反比例函数的图象和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，利用反比例函数图象上点的特征构造一元二次方程是解决问题的关键．11．（15分）二进制是一种数制，只使用0和1两个数字来表示数，二进制具有以下特点：1．基数为2：只有0和1两个数字．2．逢2进1：每一位只能用0或1表示，满2则向前进1．二进制在计算机科学中有着广泛应用．（1）二进制数转化为十进制数，如(10111)2=1×24+0×23（2）若将二进制数（1111+⋯1︸n个【分析】（1）根据定义即可得出答案；不断将十进制数除以2，记录余数，知道商为0，最后将余数倒序排列；（2）令S＝1×2n﹣1+1×2n﹣2+⋯+1×22+1×21+1×20①，则2S＝1×2n+1×2n﹣1+1×2n﹣2+⋯+1×22+1×21②，②﹣①即可得出答案．【解答】（1）解：（110）2＝1×22+1×21+0×20＝4+2+0＝6；30÷2＝15⋯0，15÷2＝7⋯1，7÷2＝3⋯1，3÷2＝1⋯1，1÷2＝0⋯1，则30＝1×24+1×23+1×22+1×21+0×20＝（11110）2．（2）（1111+⋯1︸n个）2＝2n原式＝1×2n﹣1+1×2n﹣2+⋯+1×22+1×21+1×20，令S＝1×2n﹣1+1×2n﹣2+⋯+1×22+1×21+1×20①，则2S＝1×2n+1×2n﹣1+1×2n﹣2+⋯+1×22+1×21②，②﹣①得，S＝1×2n﹣1×20＝2n﹣1．【点评】本题主要考查有理数的混合运算，理解题意是解题的关键．12．（15分）图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备厢，在打开后备厢的过程中，箱盖ADE可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖ADE落在AD′E′的位置（如图2所示）．已知AD＝90厘米，DE＝30厘米，EC＝40厘米．（1）求点D′到BC的距离；（2）求E、E′两点的距离．【分析】（1）过点D′作D′H⊥BC，垂足为点H，交AD于点F，利用旋转的性质可得出AD′＝AD＝90厘米，∠DAD′＝60°，利用矩形的性质可得出∠AFD′＝∠BHD′＝90°，在Rt△AD′F中，通过解直角三角形可求出D′F的长，结合FH＝DC＝DE+CE及D′H＝D′F+FH可求出点D′到BC的距离；（2）连接AE，AE′，EE′，利用旋转的性质可得出AE′＝AE，∠EAE′＝60°，进而可得出△AEE′是等边三角形，利用等边三角形的性质可得出EE′＝AE，在Rt△ADE中，利用勾股定理可求出AE的长度，结合EE′＝AE可得出E、E′两点的距离．【解答】解：（1）过点D′作D′H⊥BC，垂足为点H，交AD于点F，如图3所示．由题意，得：AD′＝AD＝90厘米，∠DAD′＝60°．∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AFD′＝∠BHD′＝90°．在Rt△AD′F中，D′F＝AD′•sin∠DAD′＝90×sin60°＝453厘米．又∵CE＝40厘米，DE＝30厘米，∴FH＝