（人教A版）必修一高一数学上学期期末考点训练常考题型15 利用幂函数的图象和性质比较大小（原卷版）

常考题型15利用幂函数的图象和性质比较大小1.五个幂函数的性质y＝xy＝x2y＝x3y＝y＝x－1定义域RRR[0，＋∞){x|x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增在[0，＋∞)上增，在(－∞，0]上减增增在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上减2.一般幂函数的图象特征（1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．（2）当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增．特别地，当α>1时，幂函数的（3）当α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减．（4）幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称．（5）在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．一、利用幂函数的图象和性质比较大小1.单调性法同底不同指：利用指数函数单调性进行比较.同指不同底：利用幂函数单调性进行比较.2.介值法：既不同底又不同指：常常找到一个中间值，通过比较两个幂值与中间值的大小来判断两个幂值的大小.二、二次函数1.图象的识别识别二次函数的图象时，要注意四个方面：一是开口方向；二是对称轴；三是与坐标轴的交点；四是顶点坐标.2.单调性1.二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论.2.若已知在区间A上单调递减(单调递增)，则A⊆即区间A一定在二次函数图象对称轴的左侧（右侧）.3.区间最值问题二次函数(不妨设a>0)在区间[m，n]上的最大或最小值如下.(1)当∈[m，n]，即对称轴在所给区间内时，的最小值在顶点处取得，其最小值是=，若≤，则的最大值为；若，则的最大值为.(2)当∉[m，n]，即给定的区间在对称轴的一侧时，在[m，n]上是单调函数.若<m，则在[m，n]上是增函数，的最小值是，最大值是；若n<，则f(x)在[m，n]上是减函数，的最小值是，最大值是.(3)当不能确定对称轴是否属于区间[m，n]时，需分类讨论，以对称轴与区间的关系确定讨论的标准，然后转化为上述(1)(2)两种情形求最值.4.恒成立问题解题方法指导》1.恒成立的条件是2.恒成立的条件是3.≥恒成立≥，≤恒成立≤。探究一：幂函数的定义域与值域若,则不等式的解集是A． B． C． D．【变式练习】1．幂函数y=xα中α的取值集合C是{–1，0，，1，2，3}的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C为A．{–1，0，} B．{，1，2}C．{–1，，1，3} D．{，1，2，3}2．已知幂函数的图象过点，则函数的值域为A． B． C． D．探究二：幂函数的单调性与奇偶性“幂函数在上为增函数”是“函数为奇函数”的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要【变式练习】1．“”是“幂函数在上是减函数”的一个（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要2．下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为（

）A． B． C． D．探究三：二次函数的单调性及其应用如果函数对于任意实数t都有，那么（

）A．f(2)<f(1)<f(4) B．f(1)<f(2)<f(4)C．f(4)<f(2)<f(1) D．f(2)<f(4)<f(1)【变式练习】1．已知函数在区间上是增函数，则的取值范围是（

）A． B．C． D．2．若函数在上是减函数，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．一、单选题1．下列函数中，既是其定义域上的单调函数，又是奇函数的是（

）A． B． C． D．2．若函数的图象经过点，则（）A． B．3 C．9 D．83．下列命题正确的是（

）A．幂函数的图象都经过，两点 B．函数的图象经过第二象限C．如果两个幂函数的图象有三个公共点，那么这两个函数一定相同 D．如果幂函数为偶函数，则图象一定经过点4．已知幂函数的图象经过点，则（

）A． B． C． D．5．幂函数在区间上单调递增，则（

）A．27 B． C． D．6．不论取任何实数，抛物线的顶点都（

）A．在直线上 B．在直线上C．在轴上 D．在轴上7．已知图象开口向上的二次函数，对任意，都满足，若在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．8．已知函数的定义域为区间[m，n]，其中，若f（x）的值域为[-4，4]，则的取值范围是（

）A．[4，4] B．[2，8] C．[4，8] D．[4，8]二、多选题9．已知若互不相等的实数满足，且，则下列说法正确的是（

）A． B．的取值范围为C． D．10．已知幂函数（m，，m，n互质），下列关于的结论正确的是（

）A．m，n是奇数时，幂函数是奇函数B．m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数C．m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数D．时，幂函数在上是减函数E．m，n是奇数时，幂函数的定义域为11．若函数在定义域内的某区间M是增函数，且在M上是减函数，则称在M上是“弱增函数”，则下列说法正确的是（

）A．若，则不存在区间M使为“弱增函数”B．若，则存在区间M使为“弱增函数”C．若，则为R上的“弱增函数”D．若在区间上是“弱增函数”，则三、填空题12．已知函数．若的定义域为，值域为，则__________．13．若二次函数在时的最大值为3，那么m的值是________．14．已知函数f（x）的值域是[0，+∞），则实数m的取值范围是__．四、解答题15．已知幂函数为偶函数，(1)求函数的解析式；(2)