2025年高考数学二轮复习【举一反三】专练(新高考专用)-专题4.2 平面向量的概念及线性运算(练习)(解析版)

专题4.2平面向量的概念及线性运算【新高考专用】题型一题型一平面向量的基本概念1．（23-24高二下·山东菏泽·阶段练习）下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度.其中是向量的有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解题思路】由向量的概念即既有大小又有方向的量即可求解.【解答过程】是向量的有②速度；③位移；④力；⑤加速度；是数量的有①质量；⑥路程；⑦密度.故选：C.2．（24-25高一·江苏·课后作业）下列结论正确的个数是（

）①温度含零上和零下，所以温度是向量；②向量的模是一个正实数；③若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；④若a>b，则A．0 B．1C．2 D．3【解题思路】①根据向量的概念可判断；②根据向量模的概念可判断；③根据零向量与任何向量共线可判断；④根据向量的性质可判断.【解答过程】①错，温度只有大小，没有方向，是数量不是向量；②错，0的模等于0；③正确，根据零向量与任何向量共线可以判断正确；④错，向量不能比较大小．故选：B．3．（23-24高一下·海南儋州·阶段练习）下列各量中，向量有：③⑤⑥．（填写序号）①浓度；②年龄；③风力；④面积；⑤位移；⑥加速度．【解题思路】根据向量的概念判断即可.【解答过程】向量是有大小有方向的量，故符合的有：风力，位移，加速度.故答案为：③⑤⑥.4．（2024高一·全国·专题练习）给出下列命题：①若a//b,②若单位向量的起点相同，则终点相同；③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；④向量AB与CD是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上．其中正确命题的序号是③．【解题思路】①考虑b=【解答过程】①错误．若b=②错误．起点相同的单位向量，终点未必相同；③正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的；④错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB与CD必须在同一直线上．故答案为：③.题型二题型二向量的几何表示与向量的模5．（23-24高一下·全国·课后作业）如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB=1，则AB+FE+A．1 B．2 C．3 D．2【解题思路】由正六边形性质可得FE=【解答过程】由题,可知FE=所以AB+故选:B.6．（23-24高一上·河北保定·期末）若平面向量a,b,c两两所成的角相等，且a|=2,|A．4 B．8 C．4或10 D．10或8【解题思路】讨论a，b，c共线时和不共线时，分别求出a+【解答过程】解：当a，b，c两两所成的角为0°时，a，b，c共线，a+当a，b，c不共线时，∵平面向量a，b，c两两所成的角相等，两两所成的角应为120°，如图所示：∴a+b=2，且∴a综上，a+b+c的值是故选：C．7．（23-24高一下·全国·课后作业）如图，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|AB+FE【解题思路】由向量的加法原则求解即可.【解答过程】因为AB+因为正六边形ABCDEF是由6个全等的等边三角形构成，所以AD=2所以|AB故答案为：2.8．（23-24高一下·全国·课后作业）在静水中船的速度为20m/min，水流的速度为10m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，则经过1【解题思路】根据实际航线是垂直于河岸，作出图形，求得实际速度后可得结论．【解答过程】如图，AB是水流方向，AC是垂直于河岸的方向，是船的实际航线，因此AD是船在静水中的航行方向，vAD=20m/min，vvAC=20×cos30∘故答案为：33题型三题型三向量加、减法的几何意义9．（2024·广东湛江·一模）在平行四边形ABCD中，E为边BC的中点，记AC=a，DB=b，则A．12a−C．a+12【解题思路】根据向量的线性运算法则，求得CB=12【解答过程】如图所示，可得CB=所以AE=故选：D．10．（24-25高三上·甘肃天水·阶段练习）已知△ABC，点D为边BC上一点，且满足BD=2DC，则向量AD=A．13AB+C．23AB+【解题思路】利用向量的加法和减法运算法则即可求解.【解答过程】AD=另解：AD=故选：B.11．（23-24高一下·海南·阶段练习）设O为四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，若AB=a，AD=b，OD=c【解题思路】在△OAD与△OAB中利用向量加法和减法法则即可作答.【解答过程】依题意，在△OAD中，OA=在△OAB中，OB=所以OB=故答案为：a−12．（2024高一·全国·课后作业）如图，D、E、F分别是△ABC边AB、BC、CA上的中点，则等式：①FD+DA−AF=0

②FD其中正确的题号是③④．【解题思路】根据向量的线性运算逐项分析判断.【解答过程】对于①：FD+对于②：FD+对于③：DE+对于④：AD+故答案为：③④.题型四题型四向量的线性运算13．（2024高一下·全国·专题练习）化简：3(a+bA．2b−a B．−a C．【解题思路】根据向量的线性运算法则计算即可得到答案.【解答过程】原式=3a故选：D．14．（23-24高一下·北京·阶段练习）在梯形ABCD中，AB//CD，AB=2CD，AC与BD相交于点O，则下列结论错误的是（）A．AC−AD=C．OA=23【解题思路】结合题意，应用向量加减、数乘的几何意义逐项判断即可得.【解答过程】对A：AC−对B：由AB//CD，故COOA=CD则OA+2对C：由OA=−2OC，故故C错误；对D：AB+故选：C.15．（23-24高一下·吉林白城·阶段练习）化简4a−3b−6【解题思路】根据向量的线性运算直接求解即可.【解答过程】4a故答案为:10a16．（2024高一·全国·课后作业）若向量a=3i−4j−16i+【解题思路】根据向量的加减与数乘，可得答案.【解答过程】13a+2b1==−16i故答案为：−16i题型五题型五根据向量线性运算求参数17．（24-25高三上·河南许昌·期中）已知E为△ABC所在平面内的点，且BA+12BC=2BE.若A．−3 B．3 C．13 D．【解题思路】根据平面向量的线性运算及平面向量基本定理将BC,CE用AB,【解答过程】

因为BE=则BA+所以2CE所以CE=所以m=14，故nm故选：A.18．（24-25高三上·浙江·期中）在△ABC中，D是BC上一点，满足BD=2DC，M是AD的中点，若BM=λBA+μA．54 B．78 C．56【解题思路】利用平面向量线性运算相关计算方式计算即可.【解答过程】由题可知，AM=12所以有BM=12BA+故选：C.19．（2024·贵州·模拟预测）在△ABC中，点D为边BC中点，若AD+BC=λAB+μAC【解题思路】利用平面向量的加减法法则运算即可.【解答过程】因为点D为边BC中点，所以AD+所以λ=−12，μ=3故答案为：−120．（2024·全国·模拟预测）在平行四边形ABCD中，点G在AC上，且满足AC=3AG，若DG=mAB【解题思路】利用向量线性运算求得DG=【解答过程】DG=AG−AD=所以m−n=1.故答案为：1.题型六题型六向量共线定理及其应用21．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知向量a,b不共线，AB=λa+b,AC=A．5 B．4 C．3 D．2【解题思路】根据向量共线定理和基本不等式即可求解.【解答过程】因为A,B,C三点共线，所以存在实数k，使AB=kAC，即又向量a,b不共线，所以由λ>0,μ>0，所以λ+4μ≥24λμ当且仅当λ=4μ时，取“=”号，故选：B.22．（2024·安徽马鞍山·三模）已知平面向量e1，e2不共线，a=(2k−1)e1+2e2，A．−12 B．0 C．1 【解题思路】依题意可得a=t【解答过程】因为a=(2k−1)e1+2e所以a=tb，即又e1，e所以2k−1=t2=−t，解得t=−2故选：A.23．（2024·辽宁·模拟预测）已知向量m,n不共线，a=λm+n,b【解题思路】借助平面向量共线定理与平面向量基本定理计算即可得.【解答过程】由a//b，m,n不共线，故存在实数即有λm+n解得λ=1故答案为：1324．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在△ABC中，BD=23BC，P是线段AD上的动点（与端点不重合），设CP=xCA+y【解题思路】由BD=23BC，得到CB=3CD，从而有【解答过程】解：因为在△ABC中，BD=所以CB=3又因为CP=xCA+y因为A,P,D三点共线，则x+3y=1，结合题意知x>0,y>0，所以x+yxy=x当且仅当xy=3y故答案为：4+23一、单选题1．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）给出下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨时间.其中不是向量的有（

）A．①⑥ B．⑦⑧⑨ C．①⑧⑨ D．①⑥⑦⑧⑨【解题思路】根据向量的定义可得正确的选项.【解答过程】速度、位移、力、加速度既有大小，又有方向，故它们为向量，余下皆不为向量，故选：D.2．（23-24高一下·河南许昌·期末）已知点O在△ABC所在平面内，满足OA=OB=OC，则点O是A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心【解题思路】根据点O到A,B,C的距离相等可得答案.【解答过程】因为OA=OB=OC，即点所以点O是△ABC的外心.故选：A.3．（2024·甘肃白银·一模）AB+BC+2A．AD B．AE C．AD+CD 【解题思路】由向量的线性运算求出即可；【解答过程】AB+故选：D.4．（2024高三·全国·专题练习）在△ABC中，AB=AC，D、E分别是AB、AC的中点，则（

）A．AB与AC共线 B．DE与CB共线C．CD与AE相等 D．AD与BD相等【解题思路】利用共线向量、相等向量的概念逐项判断即可.【解答过程】由题意可知，AB与AC不共线，A错；因为D、E分别是AB、AC的中点，所以，DE//BC，故DE与因为CD与AE不平行，所以CD与AE不相等，C错；因为AD=故选：B.5．（2024·四川南充·一模）已知正方形ABCD的边长为1，则AB+BC−A．0 B．2 C．22 【解题思路】利用向量运算法则得到AB+【解答过程】AB+因为正方形ABCD的边长为1，所以AC=1+1故AB+故选：C.6．（2024·辽宁·模拟预测）在平行四边形ABCD中，AE=2EC,A．AF=13C．AF=56【解题思路】运用平行四边形法则和三角形法则，结合线性运算法则解题即可.【解答过程】如图，由题意AE=2EC,可知AE=所以AF=12故选：C．7．（2024·陕西安康·模拟预测）已知平面向量a与b不共线，向量m=xa+b,n=A．1 B．−13 C．1或−13 【解题思路】根据平面共线定理，由向量平行，求得x满足满足的方程，求解即可.【解答过程】由m//n，且m⃗可得x=λ1=λ3x−2，则整理得3x2−2x−1=0，解得x=1故选：C．8．（2024·全国·二模）点O,P是△ABC所在平面内两个不同的点，满足OP=OA+OB+OC，则直线A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心【解题思路】根据向量的运算，并结合数形结合分析，即可判断.【解答过程】设BC的中点为点D，所以OB+则OP−若A,P,O,D四点共线时，即点O,P都在中线AD上，所以OP经过三角形的重心，若A,P,O,D四点不共线时，AP//OD，且AP=2OD，连结AD,OP，交于点G，如图，AGGD=APOD=2，即点G综上可知，OP经过△ABC的重心.故选：A.二、多选题9．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，则以下说法正确的是（

）

A．与AB相等的向量只有1个（不含AB）B．与AB的模相等的向量有9个（不含AB）C．BD的模恰为DA的模的3倍D．CB与DA不相等【解题思路】根据相等向量以及模长定义，结合结合图形求解ABD，根据菱形的性质即可求解C.【解答过程】由于AB=DC，因此与AB相等的向量只有DC，而与AB的模相等的向量有DA，DC，AC，CB，AD，CD，CA，BC，而在Rt△AOD中，∵∠ADO=30°，∴DO=由于CB=DA，因此CB与故选：ABC.10．（2024·辽宁·二模）△ABC的重心为点G，点O，P是△ABC所在平面内两个不同的点，满足OP=OA+A．O,P,G三点共线 B．OPC．2OP=AP+BP+【解题思路】根据三角形重心的性质，向量共线的判定及向量的线性运算即可判断．【解答过程】OP=3OG因为点G为△ABC的重心，所以GA+GB+所以O,P,G三点共线，故A正确，B错误；AP=(AO因为OP=所以(AO+BO因为OP=3所以点P的位置随着点O位置的变化而变化，故点P不一定在△ABC的内部，故D错误；故选：AC．11．（2024·山西晋中·模拟预测）在△ABC中，D为边AC上一点且满足AD=12DC，若P为边BD上一点，且满足AP=λAB+μA．λμ的最小值为1 B．λμ的最大值为1C．1λ+13μ的最大值为12【解题思路】根据B,D,P三点公式求得λ+3μ=1，结合基本不等式判断即可.【解答过程】因为AD=12又AP=λ因为P、B、D三点共线，所以λ+3μ=1，又λ，μ为正实数，所以λμ=1当且仅当λ=3μ，即λ=12，1λ当且仅当3μλ=λ3μ，即故选：BD.三、填空题12．（2024·河南·二模）已知e1,e2不共线，向量a=3e1−2e2【解题思路】根据向量共线定理可知ke【解答过程】因为a//b，所以∃λ∈R，使得b因为e1,e2不共线，所以故答案为：−9.13．（2025高三·全国·专题练习）给出下列命题：①若向量a∥b，b∥②若平面上所有单位向量的起点移到同一个点，则其终点在同一个圆上；③在菱形ABCD中，一定有AB=其中是真命题的为②③.（填序号）【解题思路】根据平行向量的概念可判断①；根据单位向量的概念可判断②；根据相等向量的概念可判断③.【解答过程】若b=0，则向量a不一定与向量单位向量的长度为1，当所有单位向量的起点在同一点O时，终点都在以O为圆心，1为半径的圆上，故②正确；在菱形ABCD中，AB=DC，AB与DC方向相同，故故答案为：②③.14．（2024·山西太原·三模）赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以直角三角形的斜边为边得到的正方形).类比“赵爽弦图”，构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，且DF=AF，点P在AB上，BP=2AP，点Q在△DEF内(含边界)一点，若PQ=λPD+PA，则λ的最大值为【解题思路】先利用向量线性运算得到AQ=λPD，作出辅助线，得到DP//AH，且【解答过程】PQ=λ取DE的中点H，连接AH，因为BD=DE，故BD=2HD，又BP=2AP，所以BPAB=BDBH=所以λ的最大值为32，此时点Q与点H故答案为：32四、解答题15．（24-25高一下·全国·课前预习）如图，在矩形AFDC中，AC=2AF，B，E分别为边AC，DF的中点，在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的所有有向线段表示的向量中：

(1)分别找出与AF，AE相反的向量；(2)分别找出与AF，AE相等的向量.【解题思路】运用相等向量，相反向量概念可解.【解答过程】（1）方向相反，大小相等的向量互为相反向量.与AF相反的向量有FA，EB，DC；与AE相反的向量有EA，DB.（2）方向相同，大小相等的向量是相等向量.则BE，CD与AF方向相同，且长度相等，故与AF相等的向量为BE，CD.同理，与AE