辽宁省鞍山二中、衡业中学2025-2026学年上学期10月联考九年级数学试卷（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页辽宁省鞍山二中、衡业中学2025-2026学年上学期10月联考九年级数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知方程x22x30的两个实数根为，则代数式的值为（

）A．-5 B．5 C．-1 D．12．下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（

）A． B． C． D．3．若点，都在二次函数的图象上，则a与b的大小关系是（）A． B． C． D．无法确定4．已知点、点关于原点对称，则的值为（

）A．3 B． C． D．15．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（）A． B． C． D．6．如图，在，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点B之间的距离为（

）

A．4 B．2 C．3 D．7．已知是二次函数，且函数图象有最高点，则的值为（

）A． B． C． D．8．如图，D、E分别是的边上的点，，若，则的值为（）

A． B． C． D．9．二次函数的图象必经过点（

）A． B． C． D．10．如图，在矩形中，，，矩形绕点A逆时针旋转一定角度得到矩形．若点B的对应点落在边上，连接，则的面积为（）A． B． C． D．10二、填空题11．《九章算术》中“勾股”章有一题：已知矩形门的高比宽多尺，门的对角线长尺，那么门的高和宽各是多少？如果设门的宽为尺，根据题意，那么可列方程．12．在中，，于，，，则．13．若点，都在抛物线上，则线段的长为．14．已知：中，．点D在边上，过点D作垂直于于点E，．，点F在直线上，三角形中，，的面积等于．15．如图，在平面直角坐标系中有，两点，如果抛物线与线段没有公共点，则a的取值范围是．三、解答题16．（1）方程：（公式法）；（2）化简：．17．已知是二次函数，且当时，随的增大而增大．(1)则的值为______；对称轴为______；(2)已知，点在该二次函数图象上，则点在该图象上对称点的坐标为______；(3)请画出该函数图象，并根据图象写出当时，的范围为______．18．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在抛物线上，直角边在轴上．

(1)求抛物线的解析式；(2)将绕点顺时针旋转，得到，边与该抛物线交于点，求点的坐标．19．如图，等腰直角中，，点在上，将绕顶点沿顺时针方向旋转后得到．(1)求的度数；(2)若，，求的长．20．，AC与BD交于点E，且，，，．(1)求CD的长；(2)求BC的长．21．白露是秋季第三个节气，具有昼夜温差显著、气候转凉的特点，在这一天有收集清露、饮白露茶、吃龙眼等习俗．某水果店在白露节气来临之际，主推本地龙眼，已知该龙眼每千克成本为8元，原售价定为每千克20元时，每天可销售50千克．根据销售经验，每千克售价每降低1元，日销售量可增加10千克．(1)若将该龙眼每千克售价定为17元，每天可销售多少千克？(2)高温天气水果难以保鲜，水果店想在保证销售量尽可能大的前提下，通过调整售价使每天的利润达到660元，每千克龙眼售价应定为多少元？22．在中，，将线段绕点D顺时针旋转度后，直线交对角线于点G，交射线于点E，将线段绕点E顺时针旋转得线段．(1)当时，如图1，连接，猜想并证明线段和线段的数量关系？(2)当时，如图2，过点B作于点F，连接，线段，，之间存在数量关系，直接写出这一数量关系；(3)在（1）的条件下，若，自己画图并请求出与面积的比值．23．在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上．(1)如图1，已知菱形的顶点B，C，D在二次函数的图象上，且轴，求菱形的边长；(2)如图2，已知正方形的顶点B，D在二次函数的图象上，点B，D在y轴的右侧，且点B在点D的左侧，设点B，D的横坐标分别为m，n，探究是否为定值？(3)若图2中的正方形的顶点B、D在二次函数（为常数，且）的图象上，点B在点D的左侧，点A在y轴正半轴上，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《辽宁省鞍山二中、衡业中学2025-2026学年上学期10月联考九年级数学试卷》参考答案题号12345678910答案BCABCBDDDC1．B【分析】根据根与系数的关系即可求解.【详解】∵方程x22x30的两个实数根为，∴=2，=-3，∴=2+3=5.故选B.【点睛】此题主要考查一元二次方程，解题的关键是熟知根与系数的关系.2．C【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐项判断即可．【详解】A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意，故选：C．【点睛】本题考查轴对称图形、中心对称图形，理解轴对称图形和中心对称图形是解答的关键．3．A【分析】分别令，进行求解，再比较即可．【详解】解：∵根据题意得：当时，，当时，，∴．故选A．【点睛】本题主要考查了比较二次函数的函数值的大小，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．4．B【分析】由关于原点对称的两个点的坐标之间的关系直接得出、的值即可．【详解】解：点、点关于原点对称，，，．故选：B．【点睛】本题考查关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的两个点，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数．5．C【分析】设这种植物主支干长出x个，小分支数目为个，根据主干、支干和小分支的总数是43，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论【详解】设种植物主支干长出x个，小分支数目为个，依题意，得：，解得：（舍去），．故选C．【点睛】此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于列出方程6．B【分析】由旋转的性质，可证都是等边三角形，由勾股定理求出的长即可．【详解】解：如图，连接，

∵将绕点C按逆时针方向旋转得到，∴，∵，∴是等边三角形，，∴，∴，∴是等边三角形，∴，在中，，∴，∴，故选：B．【点睛】本题考查了旋转的性质，含度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，找到旋转角是解题的关键．7．D【分析】本题考查二次函数的定义及图象的性质，根据二次函数的定义和开口方向的条件，即可确定k的值．【详解】解：∵是二次函数，且函数图象有最高点，∴二次函数图象开口向下，∴，且，解得：，且或，∴，则的值为．故选：D．8．D【分析】由已知条件易求得，由可证，，可得的值，再利用相似三角形的性质即可解决问题．【详解】解：∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，故选：D．【点睛】本题考查了等高的两个三角形的面积之间的关系和相似三角形的判定和性质，属于基本题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键．9．D【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的性质．根据二次函数的性质，逐一将点的坐标代入验证即可．【详解】解：A.当时，，该选项不符合题意；B.当时，，该选项不符合题意；C.当时，，该选项不符合题意；D.当时，，该选项符合题意；故选：D．10．C【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质．解题时，根据旋转的性质得到是解题的关键．依题意，过点作于点E，求出，可得结论．【详解】解：如图，过点作于点E，，，由旋转的性质可得，在中，由勾股定理可得，又，，，，，在中，由勾股定理，得，故选：.11．【分析】本题考查的知识点是勾股定理的实际应用、一元二次方程的应用，解题关键是熟练掌握勾股定理的应用．由题意根据勾股定理的实际应用列一元二次方程即可．【详解】解：依题得：门的宽为尺，高为尺，门为矩形，有，即．故答案为：．12．1【分析】证明△ABC∽△ACD，列出比例式，设AD为x，代入列出方程求解即可．【详解】解：∵，，∴,∵，∴△ABC∽△ACD，∴，设AD为x，∵AC＝2，BD＝3，∴，解得，，（舍去），故答案为：1．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是恰当的证明两个三角形相似，列出比例式，建立方程．13．4【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，求出，，即可得解，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解此题的关键．【详解】解：∵点，都在抛物线上，∴，，∴，，∴，故答案为：．14．5或15/15或5【分析】过点A作于点G，过点B作于H，先根据三角形外角的性质证明，得出，再利用证明，推导出，设，利用勾股定理可得x的长，最后由三角形的面积公式即可解答．【详解】解：如图，过点A作于点G，过点B作于H，则，，，，，，，，，，又，，，，∴，，，，，是等腰直角三角形，，设，则，在中，，，，，由勾股定理得：，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，综上，的面积等于5或15．故答案为：5或15．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，三角形的面积，二次根式等知识，解题的关键是添加辅助线构造．15．或【分析】分别将M，N坐标代入函数解析式，根据抛物线开口大小与a的关系求解．【详解】解：点M在抛物线上时，将代入得，时，抛物线开口变小，符合题意，点N在抛物线上时，将代入得，解得，时，抛物线开口变大，符合题意．结合，可知a的取值范围是或故答案为：或．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．16．（1），；（2）【分析】本题主要考查了解一元二次方程-公式法及分式的乘除法，熟知公式法解一元二次方程的步骤及分式的运算法则是解题的关键．利用公式法对所给一元二次方程进行求解即可；根据分式的基本性质进行化简即可．【详解】，，则，所以；原式17．(1)，轴；(2)；(3)画图见解析，．【分析】（）根据二次函数的定义先求出，，然后由当时，随的增大而增大，则有，然后根据二次函数的性质即可求解；（）据二次函数的性质即可求解；（）根据列表，描点，连线的方法即可出图象，再由图象即可求出的取值范围；本题考查求二次函数的定义，二次函数的性质，画二次函数图象，根据二次函数与不等式的关系结合图象求解，解题的关键是掌握二次函数的性质．【详解】（1）解：∵是二次函数，∴，解得：，，∵当时，随的增大而增大，∴，∴，∴二次函数解析式为，∴对称轴为直线，即轴，故答案为：，轴；（2）解：∵点在该二次函数图象上，对称轴为直线，即轴，∴点在该图象上对称点的坐标为，故答案为：；（3）解：列表：如图，根据图象可知：当时，∴的取值范围，故答案为：．18．(1)(2)点坐标为【分析】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了求解二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征．（1）把代入可得答案；（2）由绕点顺时针旋转得到，可得，可得的纵坐标是，再进一步求解横坐标即可．【详解】（1）解：把代入得，解得，抛物线的解析式为，（2）解：的顶点的坐标为，轴，，，绕点顺时针旋转得到，，，点坐标为，轴，点的纵坐标为2，把代入得，解得（负值舍去），点坐标为．19．(1)(2)【分析】本题主要考查图形旋转的性质以及勾股定理，牢记图形旋转的性质以及勾股定理是解题的关键．（1）根据图形旋转的性质可直接求得答案．（2）根据图形旋转的性质，可证得为等腰直角三角形，根据勾股定理可求得的长度，进而可求得的长度．【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，∴根据图形旋转的性质可知．．（2）解：根据图形旋转的性质可知，，．∵，∴．又，∴为等腰直角三角形．∴．在中，．∴．20．(1)(2)【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定证明.根据相似三角形的判定得出，进而利用相似三角形的性质解答即可；根据相似三角形的判定得出，进而利用相似三角形的性质解答即可．【详解】（1）解：，；，，，；（2），，，，，，，，，，，21．(1)龙眼每千克售价定为17元，每天可销售80千克(2)为了销售量尽可能大，每千克龙眼售价应定为14元【分析】该题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意．（1）根据“原售价定为每千克20元时，每天可销售50千克，每千克售价每降低1元，日销售量可增加10千克”列式计算即可．（2）设每千克龙眼售价为x元，根据利润数量每千克的利润，列方程解答即可．【详解】（1）解：（千克）．答：若将该龙眼每千克售价定为17元，每天可销售80千克．（2）解：设每千克龙眼售价为x元，由题意得，解得，，要保证销售量尽可能大，每千克龙眼售价应定为14元．22．(1)，证明见解析(2)(3)与面积的比值为或，图见解析【分析】如图1，连接，先证得是等边三角形，再证明≌，得出，，再证得是等边三角形，即可得出结论；如图2，连接，证明≌，进而得出，利用三角函数可得，再运用勾股定理即可．分类讨论，当点E在线段上时，利用求解即可；当点E在射线上时，利用求解即可．【详解】（1）；证明：由题可知，，，平分，如图1，连接，四边形是平行四边形，，，，，即，，，由旋转知：，是等边三角形，，，，，，平分，，，，，≌，；（2），理由如下：如图2，