四川省德阳市第二中学校2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题（含解析）

答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页四川省德阳市第二中学校2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列四个图形中，中心对称图形是（

）A．

B．

C．

D．

2．已知关于x的一元二次方程的一个根为2，则m的值为（

）A．4 B．2 C． D．3．由于国家出台对房屋的限购令，我市某地的房屋价格原价为8400元/米，通过连续两次降价后，售价变为6000元/米，下列方程中正确的是（

）A． B．C． D．4．如图，是由绕A点逆时针旋转得到的，若，则旋转角的度数为(

)A． B． C． D．5．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（

）A． B． C． D．6．在平面直角坐标系中，把点向右平移6个单位得到点，再将点绕原点旋转得到点，则点的坐标是（

）A． B．C．或 D．或7．若一个三角形两条边长为2和4，第三边长满足方程，则此三角形的周长为(

)A．8 B．11 C．8或10 D．8或118．对于二次函数,下列说法正确的是（）A．当x>0，y随x的增大而增大 B．当x=2时，y有最大值－3 C．图像的顶点坐标为（－2，－7） D．图像与x轴有两个交点9．已知m，n是关于x的一元二次方程的两实数根，则的最小值是（

）A．16 B．11 C．7 D．410．已知点A（3，y1），B（4，y2），C（﹣3，y3）均在抛物线y＝2x2﹣4x+m上，下列说法中正确的是（）A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y2＜y311．把抛物线向左平移4个单位，再向下平移2个单位，再绕原点旋转所得的抛物线的解析式是（

）A． B．C． D．12．如图，抛物线（a＞0）与y轴交于点B，直线y＝x经过抛物线顶点D，过点B作BA∥x轴，与抛物线交于点C，与直线y＝x交于点A，若点C恰为线段AB中点，则线段OA长度为（

）A． B．3 C． D．二、填空题13．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是．14．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为，将顺时针旋转得到，则直线的解析式为．15．如图，已知一次函数与二次函数的图象相交于点，则能使成立的x的取值范围是．16．如图，将绕点顺时针旋转得到．若点，，在同一条直线上，，则的度数是．17．如图，在等边中，，点是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，点是边的中点，连接、，则的最小值是．18．如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于，．给出下列4个结论：①；②；③；④若m为任意实数，则．正确的结论有（填序号）．三、解答题19．解方程(1)；(2)．20．已知关于x的方程：．(1)求证：无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根．(2)设，是方程的两个根，且，求m的值．21．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上．(1)画出将关于原点的中心对称图形；(2)将绕点E逆时针旋转得到，画出；(3)若由绕者某点旋转得到的，则这点的坐标为_________．22．如图，已知二次函数的图象经过点.

（1）求的值和图象的顶点坐标．

（2）点在该二次函数图象上.

①当时，求的值；②若到轴的距离小于2，请根据图象直接写出的取值范围.23．【猜测探究】在中，．点D是直线上的一个动点，线段绕点C逆时针旋转α，得到线段，连接，．（1）如图1，当，点D在边上运动时，线段，和之间的数量关系是______；（2）如图2，当，点D运动到的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；【拓展应用】（3）如图3，将绕点C逆时针旋转得到，交于点F，连接．若，，，求线段的长．24．为迎接“五一”小长假购物高潮，某品牌专卖店准备购进甲、乙两种衬衫，其中甲、乙两种衬衫的进价和售价如下表：衬衫价格甲乙进价（元件）售价（元件）260180若用3000元购进甲种衬衫的数量与用2700元购进乙种衬衫的数量相同．（1）求甲、乙两种衬衫每件的进价；（2）要使购进的甲、乙两种衬衫共300件的总利润不少于34000元，且不超过34700元，问该专卖店有几种进货方案；（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种衬衫进行优惠促销活动，决定对甲种衬衫每件优惠元出售，乙种衬衫售价不变，那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？25．如图1，直线l：与x、y轴分别相交于A、B两点，将绕点O逆时针旋转得到，过点A、B、D的抛物线W叫做直线l的关联抛物线，而直线l叫做抛物线W的关联直线．(1)已知直线：，求直线的关联抛物线的表达式；(2)如图2，若直线：，G为中点，H为中点，连接，M为中点，连接．若；①求直线的关联抛物线的表达式；②若点E在直线上运动，抛物线上是否存在一点F使得以A，B，E，F四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在请求出点F坐标；若不存在，请说明理由；《四川省德阳市第二中学校2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题》参考答案题号12345678910答案DBDACCBBAD题号1112答案AD1．D【分析】根据中心对称图形的概念结合各图形的特点求解．【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；B、不是中心对称图形，不符合题意；C、不是中心对称图形，不符合题意；D、是中心对称图形，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．2．B【分析】本题主要考查一元二次方程的解，将代入方程求出m值即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根为2，∴，解得．故选：B．3．D【分析】通过连续两次降价后，我省某地的房屋价格原价为8400元/米，售价变为6000元/米，可列方程．【详解】解：设连续两次降价，．故选：D．【点睛】本题考查增长率问题，知道经过两次变化，知道变化前和变化后的结果，从而可列方程．4．A【分析】此题主要考查了旋转的性质，解题的关键是正确找出旋转角．首先利用已知条件求出，然后利用旋转角的定义即可求解．【详解】解：，，，，，是由绕点旋转得到的，为旋转角，旋转角的度数为．故选：A．5．C【分析】首先联立两个函数求出交点坐标，然后由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致．【详解】解：由，解得或，∴一次函数与二次函数的交点为，，A、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项错误，不符合题意；B、由抛物线可知，，由直线可知，，由一次函数与二次函数可知，两图象交于点，则交点在y轴的右侧，故本选项错误，不符合题意；C、由抛物线可知，，由直线可知，，两图象的一个交点在x轴上，另一个交点在第四选项，故本选项正确，符合题意；D、由抛物线可知，，由直线可知，，a的取值矛盾，故本选项错误，不合题意；故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．6．C【分析】此题主要考查了坐标与图形——平移和旋转的变化．先根据把点向右平移6个单位得到点，可得点的坐标为，然后分两种情况，即可求解【详解】解：∵把点向右平移6个单位得到点，∴点的坐标为：，如图所示：将点绕原点逆时针旋转得到点，则其坐标为：，将点绕原点顺时针旋转得到点，则其坐标为：，故符合题意的点的坐标为：或．故选：C．7．B【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，构成三角形的条件，利用因式分解法求出x的值后，再根据三角形三边间的关系取舍，从而依据三角形周长公式计算可得．【详解】解：∵，∴，则或，解得或，当时，2，2，4不能构成三角形，舍去；当时，此三角形的周长为，故选：B．8．B【详解】二次函数,所以二次函数的开口向下，当x＜2，y随x的增大而增大，选项A错误，不符合题意；当x=2时，取得最大值，最大值为－3,选项B正确，符合题意；顶点坐标为（2，-3），选项C错误，不符合题意；顶点坐标为（2，-3），抛物线开口向下可得抛物线与x轴没有交点，选项D错误，不符合题意，故答案选B9．A【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、二次函数的最值问题，由题意可得，，，求出，再结合二次函数的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】解：∵已知m，n是关于x的一元二次方程的两实数根，∴，，，∴，∴，∵，∴当时，的值随着的增大而增大，∴当时，的值最小为，故选：A．10．D【分析】求得抛物线对称轴为直线x＝1，根据抛物线的性质，开口向上，抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，即可得到答案．【详解】解：∵抛物线y＝2x2﹣4x+m，∴抛物线的开口向上，对称轴是直线x＝﹣＝1，∴抛物线上的点离对称轴最远，对应的函数值就越大，∵点C（﹣3，y3）离对称轴最远，点A（3，y1）离对称轴最近，∴y1＜y2＜y3．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．解题时，需熟悉抛物线的有关性质：抛物线的开口向上，则抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大．11．A【分析】本题考查二次函数图象的平移和旋转．先通过平移变换得到新抛物线的解析式，再根据绕原点旋转的性质，确定旋转后的顶点坐标和开口方向，从而得出解析式．【详解】解：把抛物线向左平移4个单位，再向下平移2个单位，解析式为；∵绕原点旋转，顶点变为，开口方向由向上变为向下，∴旋转后的解析式为．故选：A．12．D【分析】先根据抛物线顶点为，直线y＝x经过抛物线顶点D，求出A、B、C三点的坐标，再根据点A在直线y＝x上建立关于a的方程，求出a值，最后求得OA长度．【详解】抛物线顶点为，直线y＝x经过抛物线顶点D，，又点C恰为线段AB中点，；又点A在直线y＝x上，，解得：或（舍去）；，．故选D．【点睛】本题考查二次函数、正比例函数的性质，解决本题的关键是熟练应用各性质．13．且【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式△，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论．【详解】解：关于的一元二次方程有实数根，且△，解得：且，故答案为：且．【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△时，方程有实数根”是解题的关键．14．【分析】本题主要考查了图形和平面直角坐标系，图形旋转的性质，全等三角形的判定和性质，待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握以上性质．过点作轴，交轴于点，过点作轴，交轴于点，根据条件证明，求出，然后利用待定系数法求解即可．【详解】解：如图，过点作轴，交轴于点，过点作轴，交轴于点，∴，∵将顺时针旋转得到，点A坐标为，∴，，∴，又∵，∴，，∴，∵点在第一象限，∴，设直线的解析式为，把，代入得，解得，∴直线的解析式为．故答案为：．15．或【分析】此题主要考查了二次函数与不等式，正确利用函数图象得出正确信息是解题的关键．利用一次函数图象在二次函数图象下方时，，据此可得的取值范围．【详解】解：∵一次函数与二次函数的图象相交于点，∴一次函数图象在二次函数图象下方时，，即或，故答案为：或．16．【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质与判定．根据旋转的性质求出和度数，利用三角形外角的性质即可．【详解】解：将绕点顺时针旋转得到．，，，点，，在同一条直线上，．．故答案为：．17．【分析】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．根据等边三角形和旋转的性质，证，得到，即点在以点为顶点，且与夹角为的直线上运动，过点作于点，当点在点处时，取得最小值，即为的长，然后结合勾股定理求解即可．【详解】解：是等边三角形，，，由旋转的性质可知，，，，，，即点在以点为顶点，且与夹角为的直线上运动，如图，过点作于点，当点在点处时，取得最小值，即为的长，点是边的中点，，在中，，，，即的最小值是，故答案为：．18．①②③【分析】本题考查根据二次函数图象判断式子的符号，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．由图象可知，则可判断①符合题意；由当时，，即，可判断②符合题意；由抛物线的对称轴为直线，即，得到，进一步得到，可得，即可判断③符合题意；当时，函数有最大值，由，可得，则可判断④不符合题意．【详解】解：观察图象，可知，∵对称轴为直线，∴，∴，故①结论正确；∵抛物线与x轴交于，∴当时，，即，故②结论正确；∵，，∴，∴，∴，∵，∴，故③结论正确；当时，函数有最大值，若m为任意实数，则，∴，故④结论不正确，综上，正确的结论是①②③．故答案为：①②③．19．(1)(2)【分析】本题考查一元二次方程的解法：（1）利用求根公式即可求解；（2）利用平方差公式进行因式分解即可求解．【详解】（1）解：，求根公式为，代入得，因此，；（2）解：：对于，展开得，解得；对于，展开得，解得．∴．20．(1)见解析(2)m的值为3或【分析】本题考查根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．（1）表示出根的判别式，证明大于零即可；（2）利用根与系数的关系得，，再将变形为，进而可得关于m的方程，解方程即可．【详解】（1）证明：，因为，所以，所以无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）解：因为，是方程的两个根，所以，，又因为，即，所以，解得或，所以m的值为3或．21．(1)见解析(2)见解析(3)【分析】本题主要考查了作图-旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．（1）根据中心对称的性质即可画出；（2）根据旋转的性质即可画出；（3）根据旋转中心为两组对应点连线的垂直平分线的交点可得到答案．【详解】（1）解：如图，即为所求；（2）解：如图，即为所求；（3）解：如图，根据旋转的性质：旋转中心到两对应点的距离相等；旋转中心在线段的中垂线上，即为图中点P；由图象可知，该点的坐标为．故答案为：．22．（1）；（2）①11；②.【分析】（1）把点P（-2，3）代入y=x2+ax+3中，即可求出a；（2）①把m=2代入解析式即可求n的值；②由点Q到y轴的距离小于2，可得-2＜m＜2，在此范围内求n即可.【详解】（1）解：把代入，得，解得.∵，∴顶点坐标为.（2）①当m=2时，n=11，②点Q到y轴的距离小于2，∴|m|＜2，∴-2＜m＜2，∴2≤n＜11.【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征是解题的关键．23．（1），（2）不成立，见解析；（3）8【分析】本题考查旋转的性质、全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定，（1）由旋转的性质得，，，利用等量代换可得，证得，可得，即可得证；（2）由旋转的性质得，，，利用等量代换可得，证得，可得，即可证明；（3）在上取一点P，使，由旋转的性质得，，证得，可得，，从而可证是等边三角形，可得，即可求解．【详解】解：（1）由旋转的性质得，，，∵，，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，故答案为：；（2）不成立，理由如下：由旋转的性质得，，，∴，即，又∵，∴，∴，∵，∴；（3）在上取一点P，使，由题意得，，，∴，∴，，由题意得，，∴，∴是等边三角形，∴，∴，即线段的长为8．24．（1）甲种衬衫每件进价100元，乙种衬衫每件进价90元；（2）共有11种进货方案；（3）当时，应购进甲种衬衫110件，乙种衬衫190件；当时，所有方案获利都一样；当时，购进甲种衬衫100件，乙种衬衫200件．【分析】（1）依据用3000元购进甲种衬衫的数量与用2700元购进乙种衬衫的数量相同列方程解答；（2）根据题意列不等式组解答；（3）设总利润为，表示出w与x的函数解析式，再分三种情况：①当时，②当时，③当时，分别求出利润的最大值即可得到答案．【详解】解：（1）依题意得：，整理，得：，解得：，经检验，是原方程的根，答：甲种衬衫每件进价100元，乙种衬衫每件进价90元；（2）设购进甲种衬衫件，乙种衬衫件，根据题意得：，解得：，为整数，，答：共有11种进货方案；（3）设总利润为，则，①当时，，随的增大而增大，当时，最大，此时应购进甲种衬衫110件，乙