2026届四川省仁寿第一中学校（北校区）高三模拟预测数学试题（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2026届四川省仁寿第一中学校（北校区）高三模拟预测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合，，则（

）.A． B． C． D．2．已知是定义在上的奇函数，当时，则（

）A． B．0 C．1 D．23．将4封不同的信投入3个不同的信箱，不同的投法种数为（

）A． B． C． D．4．在10个形状大小均相同的球中有5个红球和5个白球，不放回地依次摸出2个球，设事件表示“第1次摸到的是红球”，事件表示“第2次摸到的是红球”，则（

）A． B． C． D．5．在展开式中，含的项的系数是（

）A．220 B．-220 C．100 D．–1006．已知等比数列的前n项和为，若，，则的公比为（

）A．或 B．或C．-3或2 D．3或-27．习近平总书记多次强调生态文明建设关系人民福祉、关乎民族未来，是事关实现“两个一百年”奋斗目标；事关中华民族永续发展的大事.“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强.某化工厂产生的废气中污染物的含量为，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过，若要使该工厂的废气达标排放，那么该污染物排放前需要过滤的次数至少为（

）（参考数据：，）A． B． C． D．8．已知定义在R上的奇函数f(x)，其导函数为，当x>0时，f(x)+x>0，且，则不等式(x2﹣2x)f(x)<0的解集为（

）A．(﹣∞，﹣1)∪(1，2) B．(﹣1，1)C．(﹣∞，﹣1)∪(1，+∞) D．(﹣1，0)∪(0，1)二、多选题9．在的展开式中，下列说法正确的有（

）A．所有项的二项式系数和为64B．所有项的系数和为0C．常数项为20D．二项式系数最大的项为第3项10．设等差数列前项和为，公差，若，则下列结论中正确的有（

）A． B．当时，取得最小值C． D．当时，的最小值为2911．已知函数关于点对称，对任意，都有成立，且当，时，都有，则下列结论正确的有（

）A．B．函数为偶函数C．函数在上有1011个零点D．函数在上为减函数三、填空题12．计算：13．在等差数列中，，若数列的前n项之和为，则．14．已知函数（e为自然对数的底数），若关于x的方程有且仅有四个不同的解，则实数k的取值范围是.四、解答题15．已知函数.(1)求函数的极值；(2)求函数在区间上的值域.16．某校为了加强本校中学生的身体素质，规定学校每学期都必须组织学生的跳高测试，要求跳过1.2米高才算合格，否则体育成绩不达标，某班有甲、乙两位同学独立参加跳高测试，他们两人在每次试跳中能合格的概率分别为和，每人有两次试跳机会，且每次试跳是否成功互不影响.(1)求甲能通过测试的概率；(2)记X表示甲和乙试跳的次数之和，求随机变量X的分布列及数学期望．17．已知数列的前n项和为，且．(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前n项和．18．某县为了解乡村经济发展情况，对全县乡村经济发展情况进行调研，现对2012年以来的乡村经济收入（单位：亿元）进行了统计分析，制成如图所示的散点图，其中年份代码的值1—10分别对应2012年至2021年．(1)若用模型①，②拟合与的关系，其相关系数分别为，，试判断哪个模型的拟合效果更好？(2)根据（1）中拟合效果更好的模型，求关于的回归方程（系数精确到0.01），并估计该县2025年的乡村经济收入（精确到0.01）．参考数据：，，，，72.652.25126.254.52235.4849.16参考公式：对于一组数据，，…，，回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．19．已知函数，．(1)若曲线在处的切线斜率为1，求的值；(2)讨论的零点个数；(3)若时，不等式恒成立，求的最小值．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《2026届四川省仁寿第一中学校（北校区）高三模拟预测数学试题》参考答案题号12345678910答案BACADACAABABC题号11答案ABC1．B【分析】解不等式，从而得到集合，再根据交集的定义即可求解.【详解】因为，，所以.故选：B.2．A【分析】计算出，根据函数奇偶性求出.【详解】因为是定义在上的奇函数，当时，.所以.故选：A.3．C【分析】直接利用分步原理的应用求出结果．【详解】解：根据分步原理的应用，所以：第一封信的投法有3种，第二封信的投法有3种，第三封信的投法有3种，第四封信的投法有3种，故一共有种投法．故选：C．4．A【分析】首先设第一次摸出红球为事件，第二次摸出红球为事件，分别求出，，利用条件概率公式求出答案．【详解】设第一次摸出红球为事件，第二次摸出红球为事件，则“第一次摸到红球”的概率为：“在第一次摸出红球，第二次也摸到红球”的概率是由条件概率公式有故选：A【点睛】本题考查了概率的计算方法，主要是考查了条件概率，弄清楚事件之间的联系，正确运用公式，是解决本题的关键．属于中档题．5．D【分析】利用多项式乘法法则将，1分别与展开式的，项相乘即可计算作答.【详解】展开式的通项为，于是得，，则展开式中含的项是，所以含的项的系数是.故选：D6．A【解析】将已知条件转化为的形式，由此求得的值.【详解】依题意，两式相除得，即，即，解得或.故选：A【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算，属于基础题.7．C【分析】根据已知关系可构造不等式，利用指数与对数互化可得，结合换底公式和对数运算法则可求得的最小值.【详解】设排放前需要过滤次，则，，，又，，即排放前需要过滤的次数至少为次.故选：C.8．A【分析】构造函数，则g(x)为定义在R上的偶函数，求导，利用已知不等式可得g(x)在(0，+∞)上单调递增，利用奇偶性和单调性可求出结果.【详解】因为(x2﹣2x)f(x)=x(x﹣2)f(x)，所以记g(x)=xf(x)，因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以g(x)为定义在R上的偶函数，又g′(x)=f(x)+xf′(x)，因为当x>0时，f(x)+xf′(x)>0，所以当x>0时，g′(x)>0，即g(x)在(0，+∞)上单调递增，又f（1）=0，所以g（1）=0，不等式(x2﹣2x)f(x)<0等价于(x﹣2)g(x)<，所以或，所以或，所以或，所以或.故选：A.【点睛】关键点点睛：构造函数，利用的奇偶性和单调性求解是解题关键.9．AB【解析】由二项式系数为可判断A；令可判断B；由二项式定理以及二项式系数的性质可判断CD.【详解】解：A.所有项的二项式系数和为，故A正确，B.令得所有项的系数和为，故B正确，C.常数项为，故C错误，D.展开式有7项，二项式系数最大为第4项，故D错误.故选：AB.10．ABC【分析】根据等差数列的前n项和公式，结合该数列的单调性逐一判断即可.【详解】解：根据题意，由.故A正确；因为，故当时，，，当时，，当或时，取得最小值，故B正确；由于，故C正确；因为，，所以由，可得：，因此n的最小值为，故D错误.故选：ABC11．ABC【分析】根据题意可判断关于对称且关于对称，可知在单调递增，可得出函数是周期为4的函数，即可依次判断每个选项正误.【详解】函数关于点对称，关于对称，，，关于对称，当，时，都有，在单调递增，综上，可画草图，可知，是以4为周期的函数，则，，故A正确；可看作向左平移5个单位得到，平移后关于轴对称，是偶函数，故B正确；在的零点个数有个，故C正确；在的图象和在的图象一致，应为增函数，故D错误.故选：ABC.【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性、周期性的综合运用，属于中档题.12．1【分析】根据指数的运算以及对数的运算性质即可求出．【详解】原式＝．故答案为：1．13．100【分析】根据给定条件，利用等差数列性质计算首项、公差，再借助并项求和法求解作答.【详解】设等差数列公差为，由得：，则，，当n为偶数时，，所以.故答案为：10014．【分析】设，由题可得当时，有两个零点，进而可得有两个正数解，利用数形结合即可求得的取值范围.【详解】令，可得，所以函数为偶函数，由题意可知当时，有两个零点，当时，，，即当时，，由，可得，即方程在上有两个正数解，∵函数的导函数为在上恒成立，∴作出函数与直线大致图象如下图

∵方程在上有两个正数解，恒过点，∴，由相切，设切点为，由可得，故切线的斜率为，所以切线的方程为，由切线过，可得，解得或（舍去），故切线的斜率为，即，所以当时，直线与曲线由两个交点，综上可得实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】方法点睛：已知函数零点（方程根）的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：（1）直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题．15．(1)详见解析；(2)【分析】（1）利用函数的极值定义求解；（2）利用导数法求解.【详解】（1）解：因为，所以，令得，当或时，，当时，，所以当时，取得极大值，当时，取得极小值，（2）由（1）知：当时，取得极小值，又，所以函数在区间上的值域是.16．(1)(2)分布列见解析，【分析】（1）记表示甲第次试跳通过测试，用互斥事件和独立事件的概率计算公式计算；（2）记表示乙第次试跳通过测试，用表示取值对应的事件，计算概率得到分布列，由期望计算公式计算期望.【详解】（1）记表示甲第次试跳通过测试，（），则“甲通过测试”表示为.（2）记表示乙第次试跳通过测试，（），；；；所以的分布列为：23417．(1)(2)【分析】（1）令求得，当时，由退位相减得到，再由等比数列的通项公式求解即可；（2）先求出，再由错位相减法求和即可.【详解】（1）令得，∴，当时，，则，整理得，∴，∴数列是首项为1，公比为2的等比数列，∴；（2）由（1）得，则，，两式相减得，化简得．18．(1)的拟合效果更好(2)，亿元【分析】（1）根据相关系数即可得出答案；（2）根据最小二乘法结合题中数据求出，即可求出回归方程，再根据回归方程即可求出该县2025年的乡村经济收入的估计值.【详解】（1）解：因为更接近1，所以的拟合效果更好.（2）解：根据题中所给数据得，则，所以回归方程为，2025年的年份代码为14，当时，，所以估计该县2025年的乡村经济收入为亿元.19．(1)(2)答案见解析(3)【分析】（1）根据切线的斜率和导函数的关系直接代入求解即可；（2）求导后需要对参数进行分类讨论，要根据函数的单调性和最值求不同情况下的零点个数；（3）先要通过变形把不等式左右两边同构，然后研究新函数的单调性，再根据最小时为负确定单调性区间，最后求出的最小值.【详解】（1），依题意，，解得．（2）的零点的根．设，①当时，没有零点；②当时，，所以在内是增函数．取，取