北京师范大学贵阳附属中学2023-2024学年高二下学期3月第一届“圆周率”杯竞赛数学试题（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页贵州省贵阳市北京师范大学贵阳附属中学2023-2024学年高二下学期3月第一届“圆周率”杯竞赛数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．设集合，，则.2．设，为单位向量，且，则.3．设球在圆柱内，且圆柱的底面直径和高都等于该球的直径，则球与圆柱的体积之比是.4．在中，，BC边上的高等于,则．5．过原点且与相切的直线方程是.6．已知，则的最大值为．7．已知数列为正项等比数列，且，则的最小值为.8．设a，b为正整数，且是函数的一个零点，则.二、解答题9．已知数列的首项，且，．（）证明数列是等比数列并求数列的通项公式．（）证明：．10．已知双曲线的中心为原点，左、右焦点分别为、，离心率为，点是直线上任意一点，点在双曲线上，且满足.（1）求实数的值；（2）证明：直线与直线的斜率之积是定值；（3）若点的纵坐标为，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、，在线段上去异于点、的点，满足，证明点恒在一条定直线上.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《贵州省贵阳市北京师范大学贵阳附属中学2023-2024学年高二下学期3月第一届“圆周率”杯竞赛数学试题》参考答案1．【分析】解指对数不等式化简集合，再利用集合的交集运算即可得解.【详解】因为，，所以.故答案为：.2．0【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律计算即得.【详解】单位向量，，由，得，即，所以.故答案为：03．【分析】设球的半径为，则由题意可表示出圆柱的底面半径和高，从而利用球与圆柱的体积公式即可得解.【详解】设球的半径为，则由题意可得圆柱的底面半径为和高为，所以球与圆柱的体积之比为.故答案为：.4．.【分析】设边上的高为，则，求出，．再利用余弦定理求出.【详解】设边上的高为，则，所以，．由余弦定理，知．故答案为【点睛】本题主要考查余弦定理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.5．【分析】设切点为，利用导数的几何意义列方程组求出，即可取出切线方程.【详解】设切点为，且，由题意可得：，解得：过原点且与相切的直线方程是.故答案为：6．/【分析】首先根据题意得到，设，，得到的轨迹方程为：，且点在上，从而得到，再解不等式即可.【详解】变形得，设，，因为点的轨迹方程为：，且点在上，所以，整理得：，即，解得.所以的最大值为.故答案为：7．【分析】设，利用等比数列的性质得到关于的表达式，再利用基本不等式即可得解.【详解】因为数列为正项等比数列，，设，则，则，由于是等比数列，所以也成等比数列，因此，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.故答案为：.8．5【分析】由利用正余弦的二倍角公式计算可得，再由得，根据求出，代入即可.【详解】因为，所以，可得，，即，解得，由，可得，即，，因为，所以，解得，.故答案为：5.9．（1），证明见解析；（2）见解析【分析】（1）由，得，，得，由此能证明数列是首项为2，公比为2的等比数列，从而能求出数列的通项公式；（2）由，利用放缩法和等比数列前n项和公式能证明.【详解】（）∵，∴，又，，，∴数列是首项为，公比为的等比数列．∴，∴数列的通项公式．（）证明：∵，∴，，∴．10．（1）；（2）详见解析；（3）详见解析.【详解】试题分析：（1）根据双曲线的离心率列方程求出实数的值；（2）设点的坐标为，点的坐标为，利用条件确定与、之间的关系，再结合点在双曲线上这一条件，以及斜率公式来证明直线与直线的斜率之积是定值；（3）证法一是先设点、的坐标分别为、，结合（2）得到，，引入参数，利用转化为相应的条件，利用坐标运算得到点的坐标所满足的关系式，进而证明点恒在定直线上；证法二是设直线的方程为，将直线的方程与双曲线的方程联立，结合韦达定理，将条件进行等价转化为，结合韦达定理化简为，最后利用点在直线上得到，从而消去得到，进而证明点恒在定直线上.试题解析：（1）根据双曲线的定义可得双曲线的离心率为，由于，解得，故双曲线的方程为；（2）设点的坐标为，点的坐标为，易知点，则，，，因此点的坐标为，故直线的斜率，直线的斜率为，因此直线与直线的斜率之积为，由于点在双曲线上，所以，所以，于是有（定值）；（3）证法一：设点且过点的直线与双曲线的右支交于不同的两点、，由（2）知，，，设，则，即，整理得，由①③，②④得，，将，，代入⑥得，⑦，将⑦代入⑤得，即点恒在定直线上；证法二：依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，由，消去得，因为直线与