四川省成都市2025-2026学年高二上学期入学测试数学试题（含解析）

答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页四川省成都市2025-2026学年高二上学期入学测试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合，则（）A． B． C． D．2．命题“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，3．（

）A． B． C． D．14．已知实数，且，若恒成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．5．命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．6．已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B．C． D．7．已知，，若，则（

）A． B． C． D．8．记锐角三角形的内角所对的边分别为，已知，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知函数的最小正周期为，则下列结论正确的是（

）A．直线是函数图象的一条对称轴B．函数在区间上的最大值为C．函数在区间上单调递增D．将函数图象上所有的点向左平移个单位，得到的图象10．在矩形中，AB=2，AD=1，P，Q分别为线段上的动点，M，N分别为线段的中点，则下列说法正确的是（）A．B．//C．当P，Q分别为线段的中点时，D．若则的最小值为211．（多选）在棱长为2的正方体中，为的中点，是侧面内的一点（包含边界），则以下结论正确的是（

）A．若，则的轨迹长度为B．与所成角的最大值为C．若在线段上，则D．若在线段上，则三棱锥的外接球表面积的取值范围是三、填空题12．若复数z满足，是虚数单位，则．13．已知且，则实数．14．如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，.则二面角的大小

四、解答题15．（1）计算：；（2）已知，求的值.16．已知(1)求的值；(2)求的值.17．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为等边三角形，平面平面，．(1)设分别为的中点，求证：平面；(2)求证：平面；(3)求直线与平面所成角的正弦值．18．在中，角，，的对边分别是，，，向量，，且.(1)若，，求面积的最大值；(2)若，求的取值范围.19．如图，我们把由平面内夹角为的两条数轴，构成的坐标系称为“完美坐标系”，设，分别为，正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”.(1)若向量的“完美坐标”为，求；(2)已知，分别为向量，的“完美坐标”，证明：；(3)若向量，的“完美坐标”分别为，，设函数，若对任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围.《四川省成都市2025-2026学年高二上学期入学测试数学试题》参考答案题号12345678910答案DABCDABDADABD题号11答案AD1．D【分析】根据集合交集的定义，计算即可得答案.【详解】因为集合是所有非正整数组成的集合，所以．故选：D．2．A【分析】根据存在量词命题的否定可直接写出答案.【详解】命题“，”为存在量词命题，它的否定为全称量词命题，即，，故选：A3．B【分析】利用两角和的余弦公式即可求解.【详解】由.故选：B.4．C【分析】根据给定条件，利用“1”的妙用求出最小值，再建立不等式求解.【详解】实数，则，当且仅当时等号成立，由恒成立，得，解得，所以实数的取值范围为.故选：C5．D【分析】求出命题“，”为真命题时a的值，再结合充分不必要条件的定义即可得解.【详解】若命题“，”为真命题，则，恒成立.令，则函数在上单调递减，在上单调递增，且，所以在当时，取得最大值6，可得，所以各选项中只有是是的一个充分不必要条件，即是“，”为真命题的一个充分不必要条件.故选:D.6．A【分析】应用作商法及基本不等式比较大小，由对数的运算性质求，再由对数的性质比较大小，即可得.【详解】因为，所以，因为，又，故.故选：A7．B【分析】根据向量垂直的坐标表示可得，再结合齐次式问题运算求解.【详解】因为，则，可得，则，即.故选：B.8．D【分析】根据三角形内角和得，结合正弦定理计算，利用两角和的正弦公式和二倍角公式化简式子，结合锐角三角形角的范围解得的取值范围．【详解】因为，所以．由正弦定理，有所以．因为．又，所以．因为是锐角三角形，所以所以，所以．所以，即的取值范围是，故选：D．9．AD【分析】根据周期公式先算出，由代入检验法判断A选项，根据正弦函数的最值，单调性判断BC，先求出平移后的解析式然后判断D.【详解】因为函数的最小正周期为，所以，解得，所以，则，所以直线是函数图象的一条对称轴，故A正确；当，则，所以当，即时取得最大值，故B错误；当，则，因为在上不单调，所以在区间上不单调，故C错误；将函数图象上所有的点向左平移个单位得到的图象，故D正确.故选：AD10．ABD【分析】建立平面直角坐标系，给出点的坐标可以判断ABD各项，对于C项，由四边形与四边形均为边长为1的正方形，即可判断．【详解】建立平面直角坐标系，如图所示：则，由于P，Q分别为线段上的动点，可设，对于A项，，则，故A项正确；对于B项，由于M，N分别为线段的中点，则，得，而，则，故B项正确；对于D项，因为，所以，得，由，等号成立时，，则，得，得，得，则的最小值为2，故D项正确；对于C项，如图所示：四边形与四边形均为边长为1的正方形，则，故C项错误．故选：ABD11．AD【分析】对于A，由可知为圆锥的母线长相等，从而可得的轨迹为四分之一圆弧长即可求解；对于B，利用这两条异面直线可以证明垂直，故最大角就是，便可判断错误；对于C，通过举反例，可得到不成立，从而可得到判断；对于D，把这个三棱锥的外接球问题转化为三角形的外接圆半径的范围，然后可求得外接球的半径范围，从而可作出判断.【详解】对于A，取为的中点，如图1，此时满足，因为点在侧面内，且，所以的轨迹为以为球心，为半径的球面与侧面的交线，为以点为圆心且以为半径的四分之一圆弧，即长度为，故A正确．对于B，如图2所示，连接，在中，，同理可求得，所以为等腰三角形，当点为的中点时，，易知，故，此时EF与所成角为，故B错误．对于C，举反例，当点与点重合时，平面平面，所以EF与不垂直，故C错误．对于D，如图3，设，当点为的中点时，最大，取的中点，连接PF，如图4，则，所以；当点与点或点重合时，最小，此时，所以．因为在球面上，所以的外接圆直径，所以三棱锥的外接球的直径为，所以三棱锥的外接球的半径，所以三棱锥的外接球的表面积，故D正确．故选：AD．12．【分析】先根据复数除法算出复数值，然后根据模长公式求解.【详解】由题知，，于是.故答案为：13．/-1.5【分析】利用向量平行坐标公式，即对应分量成比例或叉积为零，建立方程求解.【详解】因为且，所以，解得．故答案为：．14．【分析】过作交于，连接，由线面垂直的性质结合勾股定理可得，则，再根据二面角的定义可知即为二面角的平面角，求即可.【详解】如图过作交于，连接，

因为底面，底面，所以，，，因为底面是正方形，，所以由勾股定理可得，即，又，，所以，所以，因为平面平面，所以即为二面角的平面角，因为，由勾股定理可得，，，设，则，所以由得，解得，所以，在中由余弦定理可得，因为，所以，即二面角的大小为，故答案为：15．（1）；（2）.【分析】（1）利用对数的运算法则求解即可；（2）由已知利用诱导公式得，运用化成关于的齐次分式，再弦化切代入计算即可得解.【详解】（1）；（2）由，得，16．(1)；(2).【分析】（1）根据同角的三角函数关系可求出，利用二倍角公式即可求得答案；（2）利用二倍角正切公式以及两角和的正切公式，即可求得答案.【详解】（1）由题意知，故，故；（2）由于，且，则，结合，可得，结合（1）可得，而，故，由于，故.17．(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【分析】（1）连接，则，利用三角形中位线定理证明，由线线平行即可证得线面平行；（2）取中点，连接，证明，利用平面平面证明平面，得，结合条件，再由线线垂直即可证得平面；（3）由（2）已得平面，则即直线与平面所成角，则可借助于，利用三角函数的定义即可求得.【详解】（1）如图，连接，因底面为平行四边形，则，，因，则，因平面，平面，故平面.（2）取中点，连接，因为等边三角形，则，又平面平面，平面平面，平面，则平面，又平面，故，因，平面，故平面.（3）由（2）已得平面，连接，则即直线与平面所成角，因为等边三角形，，则，又，在中，.即直线与平面所成角的正弦值为.18．(1)(2)【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示，，利用正弦定理及和差公式可得，进而得求得角；由，得到，两边平方，结合和，可得，利用基本不等式即可求解；（2）由正弦定理可得，，再利用和差及辅助角公式得到，由的范围即可确定的范围.【详解】（1）因为，所以，即，由正弦定理得，所以.即因为，所以，所以，所以.因为，所以.因为，所以，所以，所以，因为，且，所以，当且仅当时，等号成立，则的面积，即面积的最大值为.（2）由正弦定理可得，则，，故，在中，，所以，所以，所以，则，即的取值范围为.19．(1)(2)证明见解析(3).【分析】（1）先计算的值，再由，利用向量数量积的运算律计算即可；（2）利用向量数量积的运算律计算并化简即可得证；（3）利用