河北省保定一中2025-2026学年数学高二上期末教学质量检测试题含解析

河北省保定一中2025-2026学年数学高二上期末教学质量检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．抛物线焦点坐标为（）A. B.C. D.2．双曲线的左焦点到其渐近线的距离是（）A. B.C. D.3．已知，，若，则（）A.6 B.11C.12 D.224．已知O为坐标原点，＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（）A. B.C. D.5．在等比数列{an}中，a3，a15是方程x2+6x+2=0的根，则的值为（）A. B.C. D.或6．若，则n的值为（）A.7 B.8C.9 D.107．下列直线中，与直线垂直的是（）A. B.C. D.8．复数的虚部为（）A. B.C. D.9．“”是“方程为双曲线方程”的（）A充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件10．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在双曲线上.若为钝角三角形，则的取值范围是A. B.C. D.11．下列命题中的假命题是（）A.，B.存在四边相等的四边形不是正方形C.“存在实数，使”的否定是“不存在实数，使”D.若且，则，至少有一个大于12．在棱长均为1的平行六面体中，，则（）A. B.3C. D.6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若恒成立，则______.14．函数的图象在点处的切线方程为______15．，若2是与的等比中项，则的最小值为___________.16．点到直线的距离为_______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在四棱锥中，底面四边形为角梯形，，，，O为的中点，，.（1）证明：平面；（2）若，求平面与平面所成夹角的余弦值.18．（12分）已知椭圆的离心率为，且经过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知，经过点的直线与椭圆交于、两点，若原点到直线的距离为，且，求直线的方程.19．（12分）圆锥曲线的方程是.（1）若表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围；（2）若表示焦点在轴上且焦距为的双曲线，求的值.20．（12分）某班主任对全班名学生进行了作业量多少与手机网游的调查，数据如下表：认为作业多认为作业不多总数喜欢手机网游不喜欢手机网游总数（1）若随机地抽问这个班的一名学生，分别求事件“认为作业不多”和事件“喜欢手机网游且认为作业多”的概率；（2）若在“认为作业多”的学生中已经用分层抽样的方法选取了名学生．现要从这名学生中任取名学生了解情况，求其中恰有名“不喜欢手机网游”的学生的概率21．（12分）在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，，.（1）求证：平面平面；（2）若，求直线与所成角的余弦值.22．（10分）如图，点分别在射线，上运动，且（1）求；（2）求线段的中点M的轨迹C的方程；（3）直线与，轨迹C及自上而下依次交于D，E，F，G四点，求证：

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】由抛物线方程确定焦点位置，确定焦参数，得焦点坐标【详解】抛物线的焦点在轴正半轴，，，，因此焦点坐标为故选：C2、A【解析】求出双曲线焦点坐标与渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得结果.【详解】在双曲线中，，，，所以，该双曲线的左焦点坐标为，渐近线方程为，即，因，该双曲线的左焦点到渐近线的距离为.故选：A3、C【解析】根据递推关系式计算即可求出结果.【详解】因为，，，则，，，故选：C.4、C【解析】设，用表示出，求得的表达式，结合二次函数的性质求得当时，取得最小值，从而求得点的坐标.【详解】设，则＝－＝－λ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝－＝－λ＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)＝2(3λ2－8λ＋5)＝.所以当λ＝时，取得最小值，此时＝＝，即点Q的坐标为.故选：C5、B【解析】由韦达定理得a3a15=2，由等比数列通项公式性质得：a92=a3a15=a2a16=2，由此求出答案【详解】解：∵在等比数列{an}中，a3，a15是方程x2-6x+2=0的根，∴a3a15=2＞0，a3+a15=-6<0∴a2a16=a3a15=2，a92=a3a15=2，∴a9=，∴，故选B【点睛】本题考查等比数列中两项积与另一项的比值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用6、D【解析】根据给定条件利用组合数的性质计算作答【详解】因为，则由组合数性质有，即，所以n的值为10.故选：D7、C【解析】，，若，则，项，符合条件，故选8、D【解析】直接根据.复数的乘法运算结合复数虚部的定义即可得出答案【详解】解：，所以复数的虚部为.故选：D.9、C【解析】先求出方程表示双曲线时满足的条件，然后根据“小推大”原则进行判断即可.【详解】因为方程为双曲线方程，所以，所以“”是“方程为双曲线方程”的充要条件.故选：C.10、C【解析】根据双曲线的几何性质，结合余弦定理分别讨论当为钝角时的取值范围，根据双曲线的对称性，可以只考虑点在双曲线上第一象限部分即可.【详解】由题：双曲线：的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，必有，若为钝角三角形，根据双曲线的对称性不妨考虑点在双曲线第一象限部分：当为钝角时，在中，设，有，，即，，所以；当时，所在直线方程，所以，，，根据图象可得要使，点向右上方移动，此时，综上所述：的取值范围是.故选：C【点睛】此题考查双曲线中焦点三角形相关计算，关键在于根据几何意义结合特殊情况分类讨论，体现数形结合思想.11、C【解析】利用简易逻辑的知识逐一判断即可.【详解】，故A正确；菱形的四边相等，但不一定是正方形，故B正确；“存在实数，使”的否定是“对任意的实数都有”，故C错误；假设且，则，与矛盾，故D正确；故选：C12、C【解析】设，，，利用结合数量积的运算即可得到答案.【详解】设，，，由已知，得，，，，所以，所以.故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解析】利用导数研究的最小值为，再构造研究其最值，即可确定参数a的值.【详解】令，则且，当时，递减；当时，递增；所以，即在上恒成立，令，则，当时，递增；当时，递减；所以，综上，.故答案为：114、【解析】求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程.【详解】因为，则，所以，，，故所求切线方程为，即.故答案为：.15、3【解析】根据等比中项列方程，结合基本不等式求得的最小值.【详解】由题可得，则，当且仅当时等号成立.故答案为：16、【解析】应用点线距离公式求点线距离.【详解】由题设，点到距离为.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）连接，可通过证明，得平面；（2）以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，通过向量的夹角公式可得答案.【小问1详解】如图，连接，在中，由可得.因为，，所以，，因为，，，所以，所以.又因为，平面，，所以平面.【小问2详解】由（1）可知，，，两两垂直，以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，.由，有，则，设平面的法向量为，由，，有，取，则，，可得平面的一个法向量为.设平面的法向量为，由，，有，取，则，，可得平面的一个法向量为.由，，，可得平面与平面所成夹角的余弦值为.18、（1）；（2）.【解析】（1）由已知条件可得出关于、、的方程组，求出这三个量的值，由此可得出椭圆的标准方程；（2）分析可知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，由点到直线的距离公式可得出，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由可得出，代入韦达定理求出、的值，由此可得出直线的方程.【详解】（1）设椭圆的焦距为，则，解得，因此，椭圆的标准方程为；（2）若直线斜率不存在，则直线过原点，不合乎题意.所以，直线的斜率存在，设斜率为，设直线方程为，设、，原点到直线的距离为，，即①.联立直线与椭圆方程可得，则，则，由韦达定理可得，.，则为线段的中点，所以，，，得，，所以，，整理可得，解得，即，，因此，直线的方程为或.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为、；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；（5）代入韦达定理求解.19、（1）且（2）【解析】（1）由条件可得，解出即可；（2）由条件可得，解出即可.【小问1详解】若表示焦点在轴上椭圆，则，解得且【小问2详解】若表示焦点在轴上且焦距为的双曲线，则，解得20、（1）事件“认为作业不多”和事件“喜欢手机网游且认为作业多”的概率分别为、；（2）.【解析】（1）利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；（2）确定所选的名学生中，“不喜欢手机网游”和“喜欢手机网游”的学生人数，加以标记，列举出所有的基本事件，确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【小问1详解】解：由题意可知，全班名学生中，“认为作业不多”的学生人数为人，“喜欢手机网游且认为作业多”的学生人数为人，因此，随机地抽问这个班的一名学生，事件“认为作业不多”的概率为，事件“喜欢手机网游且认为作业多”的概率为.【小问2详解】解：在“认为作业多”的学生中已经用分层抽样的方法选取了名学生，这名学生中“不喜欢手机网游”的学生人数为，记为，名学生中“喜欢手机网游”的学生人数为，分别记为、、、，从这名学生中任取名学生，所有的基本事件有：、、、、、、、、、，共种，其中，事件“恰有名“不喜欢手机网游”的学生”包含的基本事件有：、、、，共种，故所求概率为.21、（1）证明见解析；（2）；【解析】（1）证明，利用面面垂直的性质可得出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得平面平面；（2）连接，以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，根据可得出，求出的值，利用空间向量法可求得直线与所成角的余弦值.【详解】（1）为的中点，且，则，又因为，则，故四边形为平行四边形，因为，故四边形为矩形，所以，平面平面，平面平面，平面，平面，因为平面，因此，平面平面；（2）连接，由（1）可知，平面，，为的中点，则，以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则、、、、，设，,因为，则，解得，，，则.因此，直线与所成角的余弦值为.22、（1）2（2）（3）证明见详解【解析】（1）用两点间的距离公式和三角形的面积公式，结合已知直接可