专题04 双曲线（期中知识清单）（原卷版）-2026学年高二数学上学期人教选修一

5/5专题04双曲线（3知识&12题型&3易错）【清单01】双曲线的定义1、定义：在平面内与两个定点、的距离之差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线．两个定点、称为焦点；两焦点的距离叫做双曲线的焦距，表示为．2、双曲线的集合表示：．3、对双曲线定义的理解（1）若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；（2）若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；（3）若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；（4）若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线．【清单02】双曲线的标准方程与几何性质1、双曲线的标准方程焦点位置焦点在轴焦点在轴图形标准方程焦点坐标、、的关系2、双曲线的简单几何性质标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≤－a或x≥a，y∈eq\a\vs4\al(R)y≤－a或y≥a，x∈eq\a\vs4\al(R)对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，长：eq\a\vs4\al(2a)；虚轴：线段B1B2，长：eq\a\vs4\al(2b)；半实轴长：eq\a\vs4\al(a)，半虚轴长：eq\a\vs4\al(b)离心率e＝eq\a\vs4\al(\f(c,a))∈(1，＋∞)渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x【清单03】直线与双曲线的位置关系1、直线与双曲线的位置关系将双曲线方程与直线方程联立消去得到关于的一元二次方程，（1）当，即，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点；（2）当，即，设该一元二次方程的判别式为，若，直线与双曲线相交，有两个公共点；若，直线与双曲线相切，有一个公共点；若，直线与双曲线相离，没有公共点；【注意】直线与双曲线有一个公共点时，直线不一定与双曲线相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，只有一个交点．2、弦长公式：若直线与双曲线（，）交于，两点，则或（）．3、中点弦问题与椭圆的解题策略一样，既可以联立直线与双曲线的方程，利用一元二次方程根与系数的关系求解，也可以用点差法建立斜率与中点坐标的等式关系求解．【题型一双曲线的定义及辨析】紧扣定义的“两个关键点”——距离差的绝对值和与焦距的大小关系，解题思路可分为“定定义→判条件→用性质”三步．第一步：明确双曲线的定义，尤其是两个关键点，这是解题的基准线；第二步：分析题干条件，先提取关键信息，对照定义逐一判断，排除不符合定义的情况；第三步：结合定义解决典型问题．【例1】（25-26高二上·河南南阳·月考）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（

）A．2 B．10 C．2或9 D．2或10【变式1-1】（24-25高二上·云南丽江·月考）如图，过双曲线的左焦点F引圆的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则（

）A．1 B． C． D．2【变式1-2】（24-25高二上·新疆·月考）动点到点的距离之差等于，则动点的轨迹是（

）A．双曲线 B．双曲线的一支C．两条射线 D．一条射线【变式1-3】（24-25高二上·宁夏·期末）（多选）在平面直角坐标系中，已知点，，是一个动点，则（

）A．若，则点的轨迹为椭圆B．若，则点的轨迹为双曲线C．若，则点的轨迹为直线D．若，则点的轨迹为两条射线【题型二利用定义解决焦点三角形问题】求双曲线中的焦点三角形面积的方法（1）=1\*GB3①根据双曲线的定义求出；=2\*GB3②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式；=3\*GB3③通过配方，利用整体的思想求出的值；=4\*GB3④利用公式求得面积．（2）利用公式求得面积．（3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积，结论适用于选择或填空题．【例2】（24-25高二上·江西南昌·期末）已知，为双曲线的左，右焦点，O为坐标原点，M为双曲线上一点，且，则M到x轴的距离为（

）A． B． C．2 D．【变式2-1】（24-25高二上·云南昭通·期中）若是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在双曲线上，且，离心率为，则的面积为.【变式2-2】（24-25高二下·广东东莞·月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线第一象限上一点，的角平分线为，过点作的平行线，分别与，交于，两点，若，则的面积为.【变式2-3】（24-25高二下·湖南·期末）已知分别为双曲线的左、右焦点．过点作直线与的左、右两支分别相交于两点，直线与相交于点．若，则．【题型三利用定义解决线段和差的最值问题】双曲线中距离和差的最值问题，核心是利用双曲线定义（距离差为定值）和几何性质（两点间线段最短、三角形三边关系）转化距离表达式，避免直接代数运算的繁琐，关键在于判断动点位置与双曲线支的对应关系．【例3】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知是双曲线的上焦点，点是双曲线下支上的动点，点，则的最小值为（

）A．11 B．9 C． D．5【变式3-1】（24-25高二上·山西太原·期末）已知双曲线E：的左焦点为F，点M是E右支上的动点，点N是圆上的动点，则的最大值为.【变式3-2】（24-25高二上·福建浦城·期中）已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为．【变式3-3】（24-25高二上·河南郑州·期中）设是双曲线上一点，，分别是两圆：和上的点，则的最大值为.【题型四求双曲线的标准方程】待定系数法求双曲线标准方程【例4】（24-25高二上·河南郑州·期中）已知双曲线经过点，则其标准方程为（

）A． B．C． D．或【变式4-1】（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且的焦距为，则的方程为（

）A． B．C． D．【变式4-2】（24-25高二上·黑龙江黑河·月考）以和为渐近线，且经过点的双曲线标准方程是.【变式4-3】（24-25高二上·江西南昌·期中）求符合下列要求的曲线的标准方程：(1)已知椭圆的焦点在轴，且长轴长为，离心率为；(2)已知双曲线以椭圆长轴的端点为焦点，且经过点.【题型五双曲线方程的参数问题】由双曲线标准方程求参数范围（1）对于方程，当时表示双曲线；当时表示焦点在轴上的双曲线；当时表示焦点在轴上的双曲线．（2）对于方程，当时表示双曲线；当时表示焦点在轴上的双曲线；当时表示焦点在轴上的双曲线．（3）已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值范围的要求，建立不等式（组）求解参数的取值范围．【例5】（25-26高二上·全国·单元测试）已知方程表示双曲线，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【变式5-1】（24-25高二下·甘肃庆阳·开学考试）已知方程表示焦点在x轴上的双曲线，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式5-2】（24-25高二上·湖北孝感·月考）设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式5-3】（24-25高二下·重庆渝中·月考）（多选）若方程表示的曲线为．给出以下四个判断，其中正确的是（

）A．当时，曲线表示椭圆B．当或时，曲线表示双曲线C．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则D．若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则【题型六与双曲线有关的轨迹问题】与双曲线有关的轨迹问题，核心是根据已知条件（如距离关系、角度关系、位置约束等），推导满足双曲线定义或符合双曲线方程特征的动点轨迹．解题的关键在于“转化条件”——将几何约束转化为代数方程，或直接匹配双曲线的定义．【例6】（24-25高二上·辽宁大连·期末）与两圆和都外切的圆的圆心在（

）A．一个椭圆上 B．双曲线的一支上C．两支双曲线上 D．一条抛物线上【变式6-1】（24-25高二上·山东滨州·期末）与圆及圆都内切的圆的圆心在（

）A．椭圆上 B．双曲线的左支上C．双曲线的右支上 D．抛物线上【变式6-2】（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知圆，，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（

）A． B． C． D．【变式6-3】（25-26高二上·陕西西安·月考）设点A，B的坐标分别为，，直线，相交于点M，且它们的斜率之积是，则动点M的轨迹方程为．【题型七由双曲线的方程研究几何性质】先将方程化为标准形式，再根据标准方程确定“定位参数”（焦点位置）和“定量参数”（），最后代入公式计算离心率、渐近线等几何性质，关键是避免参数混淆和符号错误．【例7】（24-25高二下·重庆·期中）双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．【变式7-1】（24-25高二下·广东汕头·期中）已知双曲线的离心率为，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（

）A． B．2 C．4 D．【变式7-2】．（24-25高二上·湖南·期中）已知离心率为2的双曲线与椭圆有相同的焦点，则（

）A．21 B．19 C．13 D．11【变式7-3】（24-25高二上·安徽滁州·期中）已知双曲线的左，右焦点分别为，，点P是C上一点，且，，则C的渐近线方程为(

)A． B． C． D．【题型八求双曲线离心率的值或范围】求双曲线离心率的常用方法（1）利用求：若可求得，则直接利用得解；（2）利用求：若已知，则直接利用得解；（3）利用方程求：若得到的是关于的齐次式方程，即（为常数，且），则转化为关于的方程求解．【例8】（24-25高二下·广西贵港·期中）已知，分别是双曲线的左、右焦点，是上一点，且，，则的离心率为（

）A． B．2 C． D．【变式8-1】（24-25高二下·安徽怀宁·期中）已知分别是双曲线的左、右焦点，是左支上一点，且的面积为，若的内切圆与轴相切，则双曲线的离心率（

）A． B． C．2 D．【变式8-2】（24-25高二上·重庆渝中·期中）已知双曲线的两条渐近线之间的夹角小于，则双曲线的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式8-3】（24-25高二下·云南昭通·期中）记双曲线的离心率为e，若直线与双曲线C有公共点，则离心率的取值范围为．（请用区间表示）【题型九直线与双曲线的位置关系】直线与双曲线的位置关系问题，核心解题思路是“代数联立+判别式分析”结合“几何性质验证”，既要通过方程联立判断交点数量，也要结合双曲线的渐近线特性（避免漏判特殊情况），关键是区分“相交、相切、相离”的代数与几何标志．【例9】（25-26高二上·上海·期中）双曲线与直线l：(m∈R)的公共点的个数为.【变式9-1】（23-24高二下·广东湛江·期中）若双曲线的离心率为，右焦点为，点的坐标为，则直线（为坐标原点）与双曲线的交点个数为（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定【变式9-2】（24-25高二上·广东深圳·月考）已知双曲线，则过点与有且只有一个公共点的直线共有（

）A．4条 B．3条 C．2条 D．1条【变式9-3】（24-25高二下·安徽安庆·月考）（多选）直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则的可能取值为（

）A． B． C． D．【题型十直线与双曲线的交点及弦长】“先联立方程定交点，再用公式算弦长”，关键在于通过代数运算确定交点存在性，再结合韦达定理或两点间距离公式计算弦长，同时需注意双曲线渐近线带来的特殊情况．【例10】（24-25高二上·四川成都·期末）设为双曲线上的两点，线段的中点为，则（

）A． B． C． D．【变式10-1】（24-25高二下·广西南宁·月考）焦点在轴上的双曲线，它的实轴长为4，虚轴长为.那么过焦点且弦长为4的直线有条.【变式10-2】（24-25高二上·天津和平·期中）已知双曲线C：的焦距为且左右顶点分别为，，过点的直线与双曲线C的右支交于M，N两点.(1)求双曲线的方程；(2)若直线的斜率为，求弦长.【变式10-3】（24-25高二上·广东·期中）已知双曲线的离心率为，虚轴长为4.(1)求的方程；(2)直线与双曲线相交于两点，为坐标原点，的面积是，求直线的方程.【题型十一双曲线的中点弦问题】与椭圆的解题策略一样，既可以联立直线与双曲线的方程，利用一元二次方程根与系数的关系求解，也可以用点差法建立斜率与中点坐标的等式关系求解．【例11】（24-25高二上·福建泉州·期末）斜率为1的直线与双曲线交于，两点，若线段的中点为，则（

）A． B． C． D．【变式11-1】（24-25高三下·湖南永州·月考）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（

）A． B． C． D．【变式11-2】（24-25高二上·广东惠州·期中）已知双曲线，过点作直线l.(1)若直线l与双曲线相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？为什么？(2)若直线l的斜率k存在，且l与双曲线左右两支都相交，求直线l斜率k的取值范围.【变式11-3】（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知椭圆C与双曲线有相同的焦点，且椭圆C经过点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l与椭圆C相交于，且的中点为，求直线l的方程.【题型十二双曲线的综合应用】【例12】（25-26高三上·河北保定·月考）已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点．(1)求双曲线的方程；(2)若斜率为的直线过双曲线的左焦点，分别交双曲线于、两点，求证：.【变式12-1】（24-25高二下·广东深圳·期末）已知点，为双曲线C：（，）上两点.(1)求双曲线C的方程；(2)若，直线l：（）与C交于M，N两点，且，求实数m的取值范围.【变式12-2】（24-25高二上·江苏盐城·期中）已知焦点在轴上的双曲线过点，其焦点到渐近线的距离为1.(1)求双曲线的标准方程；(2)已知直线与双曲线的右支交于，两点，点与点关于轴对称，求证：直线过定点，并求出定点的坐标.【变式12-3】（24-25高二下·贵州遵义·月考）已知双曲线：（，）的左、右顶点分别为，，它的一条渐近线方程为.(1)求的标准方程；(2)过点的直线与双曲线的右支交于，两点，直线与交于点，证明：点在定直线上.【易错