6.2黄金分割（三大题型）（解析版） 分层作业-苏科版九下

6.2黄金分割分层练习考察题型一黄金分割的概念辨析1．神奇的自然界处处隐含着数学美！生物学家在向日葵圆盘中发现：向日葵籽粒成螺线状排列，螺线的发散角是．我们知道圆盘一周为，，．这体现了A．轴对称 B．旋转 C．平移 D．黄金分割【详解】解：0.618是黄金分割数，体现了黄金分割．故本题选：．2．已知点把线段分成两条线段，，下列说法错误的是A．如果，那么线段被点黄金分割 B．如果，那么线段被点黄金分割 C．如果线段被点黄金分割，那么与的比叫做黄金比 D．0.618是黄金比的近似值【详解】解：根据黄金分割的定义可知：、、正确；、如果线段被点黄金分割，那么与的比叫做黄金比，故错误．故本题选：．3．人类既能欣赏美，更能创造美，即使是五角星，也蕴含着“黄金分割”．如图，为的黄金分割点，则下列结论中正确的是A． B． C． D．【详解】解：为的黄金分割点，．故本题选：．考察题型二与黄金分割有关的计算1．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长25米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则满足的方程是A． B． C． D．【详解】解：由题意可得：，．故本题选：．2．（1）如图，这是一个鹦鹉螺外壳．经研究发现，点是线段的黄金分割点．若线段长为，则长的近似值约为（精确到0.01）．（2）点在线段上，且，若，那么线段的值是A． B． C． D．【详解】解：（1）点是线段的黄金分割点，．故本题答案为：1.24．（2）点在线段上，且，点是线段的黄金分割点，，，．故本题选：．3．在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即脚底到肚脐的长度与身高的比值越接近0.618越给人以美感．小明的妈妈脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60，她的身高为，她应该穿多高的高跟鞋看起来会更美？A． B． C． D．【详解】解：设她应该穿高的高跟鞋看起来会更美，小明的妈妈脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60，她的身高为，小明的妈妈脚底到肚脐的长度为，由题意可得：，解得：，经检验：是原方程的根，她应该穿高的高跟鞋看起来会更美．故本题选：．4．（1）大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是A． B． C． D．（2）已知线段的长度为2，点是线段的黄金分割点，则的长度为A． B． C．或 D．或（3）点，点是线段的黄金分割点，若，则长度是A．1 B． C． D．【详解】解：（1）为的黄金分割点，，，．故本题选：．（2）线段，点是线段的黄金分割点，当时，；当时，，；综上，的长度为或．故本题选：．（3）如图，点，点是线段的黄金分割点，，，，．故本题选：．5．“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．如图（1），点把线段分成两部分，如果，那么称点是线段的黄金分割点．如图（2），点、、分别是线段、、的黄金分割点，，，，若，则的长是A． B． C． D．【详解】解：如图（1），点是线段的黄金分割点，令，则，如图（2），同理：，．故本题选：．6．（1）已知是线段的黄金分割点，且，那么的值为A． B． C． D．（2）如图，点是线段的黄金分割点，且，下列选项错误的是A． B． C． D．【详解】解：是线段的黄金分割点，且，，，．故本题选：．（2）点是线段的黄金分割点，且，，，，，故选项、、不合题意，选项符合题意．故本题选：．7．（1）如图，已知点是线段的黄金分割点，且．若表示以为边的正方形的面积，表示长为、宽为的矩形的面积，则与的大小关系为．（2）如图，在四边形中，，为边的黄金分割点，，，、将四边形分为四个部分，它们的面积分别用、、、表示，则下列判断正确的是A． B． C． D．【详解】解：（1）是线段的黄金分割点，且，，表示以为边的正方形面积，表示长为、宽为的矩形面积，，，．故本题答案为：．（2）设，是的黄金分割点，，，，，，，即，．故本题选：．考察题型三黄金三角形与黄金矩形1．我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为．如图，在中，，，平分交于点，若，则的长为A． B． C． D．【详解】解：，，，平分，，，，，是“黄金三角形”，，，．故本题选：．2．顶角为的等腰三角形我们把这种三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为黄金比．如图，在中，，，平分交于点，若，则的长为．【详解】解：，，，平分，，，，，，，是“黄金三角形”，，，，，．故本题答案为：．3．两个底角为，顶角为的等腰三角形，叫做“黄金三角形”，这种三角形既美观又标准．如图，在中，，，，为的角平分线，则图中“黄金三角形”的个数是A．1 B．4 C．5 D．6【详解】解：在等腰中，，，，，分别是的角平分线，，，，，，，，，图中“黄金三角形”有：，，，，，共5个．故本题选：．4．黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形的底边取中点，以为圆心，线段为半径作圆，其与底边的延长线交于点，这样就把正方形延伸为矩形，称其为黄金矩形．若，则A． B． C． D．【详解】解：设，四边形是正方形，，矩形是黄金矩形，，，解得：，经检验：是原方程的根，．故本题选：．5．宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，我们可以折叠出一个黄金矩形．第一步，在一张矩形纸片的一端利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；第二步，如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平，折痕是；第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中所示的处，折痕为；第四步，如图4，展平纸片，按照所得的点折出，使．则下列是黄金矩形的是A．矩形 B．矩形 C．矩形 D．矩形【详解】解：由题意可得：四边形为正方形、四边形、、、为长方形，且，，令正方形为2，则，、分别为、的中点，，，，，矩形为黄金矩形．故本题选：．6．如果是我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作，，等大小的角，可以采用下面的方法（如图）第一步：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；第二步：再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕和线段．（1）求的度数：（2）在第（1）题图中，延长交于，过点作于点，得出一个以为宽的黄金矩形（黄金矩形就是符合黄金比例的矩形，即宽与长的比值为），若已知，求的长．【详解】解：（1）如图，连接，由折叠可得：，，垂直平分，，，为等边三角形，，．四边形为矩形，，；（2）如图，是矩形纸片，，，黄金矩形以为宽，，，，，，由勾股定理可得：，．1．一个篮球从一定高度自由下落到水平地面上，弹起后会到达一个低于初始高度的最高点位置，又落回地面，接着继续弹起，整个过程中篮球的轨迹都在同一直线上，且篮球每次弹起达到最高点时，其具有的重力势能都大于该篮球前一次弹起达到最高点时的一半．小英将该篮球从距离水平地面10米处的点处扔下，使之自由下落，落到水平地面上的点处后弹起，第一次弹起后到达最高点时，篮球位于点处，第二次位于点处，且，分别为，的黄金分割点，以此类推．同时，小英发现对于实数，，若，当越大，越接近0，则整个运动过程中，篮球的总路程最接近A． B． C． D．【详解】解：篮球的总路程为：．故本题选：．2．如果一个等腰三角形的顶角为，那么其底边与腰之比等于，我们把这样的等腰三角形称为黄金三角形．如图，在中，，，看作第一个黄金三角形；作的平分线，交于点，看作第二个黄金三角形；作的平分线，交于点，看作第三个黄金三角形；以此类推，第2023个黄金三角形的腰长是A． B． C． D．【详解】解：，，是第一个黄金三角形，底边与腰之比等于，即，，同理：是第二个黄金三角形，是第三个黄金三角形，则，即第一个黄金三角形的腰长为，第二个黄金三角形的腰长为第一个黄金三角形的腰长为，第三个黄金三角形的腰长为，，第2023个黄金三角形的腰长是，即．故本题选：．3．如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段称为这个三角形的“分割线”；如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段称为这个三角形的“黄金分割线”．（1）填空：等边三角形（填“存在”或“不存在”）“分割线”；顶角