2026年高考数学复习新题速递之抛物线

第28页（共28页）2026年高考数学复习新题速递之抛物线一．选择题（共8小题）1．抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点P(x0，23)A．2 B．3 C．4 D．52．抛物线y＝24x2的焦点坐标为（）A．(0，196) B．（0，6） C．(1963．已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F，P是抛物线C上的一点，O为坐标原点，|OP|=43，则|A．4 B．6 C．8 D．104．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为直线x＝﹣2，过点F的直线l与C相交于A，B两点，则△AOB面积的最小值为（）A．18 B．16 C．12 D．85．已知抛物线C：y2＝2px的焦点为F（1，0），准线为l，P为C上一点，PQ垂直l于点Q，△PQF为等边三角形，过PQ的中点M作直线MR∥QF，交x轴于R点，则直线MR的方程为（）A．3x+y-2C．x+3y-6．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），过焦点的直线l与抛物线C交于A，B两点，当直线l的斜率为22时，|AB|＝16，则pA．83 B．163 C．43 7．已知过点P（2，﹣1）的直线l与抛物线y2＝2x交于点A，B两点，若A，B的纵坐标分别为y1，y2，则（y1+1）（y2+1）＝（）A．﹣4 B．﹣3 C．0 D．28．已知点P是抛物线y2＝﹣4x上的一个动点，则点P到点M（0，2）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）A．3 B．172 C．5 D．二．多选题（共4小题）（多选）9．下列命题正确的有（）A．抛物线y＝8x2的准线方程是y=-B．两个变量相关性越强，则相关系数r越大 C．若sinα=35，且α是第二象限角，则cos（π﹣αD．已知直线m：（a﹣2）x+ay﹣2＝0和直线n：x+3ay+1＝0，则“a=73”是“m∥（多选）10．已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，O为坐标原点，点M（x0，y0）在抛物线C上，若|MF|＝5，则（）A．F的坐标为（1，0） B．y0＝4 C．|OM|=42 D．S△（多选）11．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，直线l与C交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，其中点A在第一象限，点M是AB的中点，MN垂直准线于N，则下列结论正确的是（）A．若AF→=4FB→，则直线B．点M到准线距离为|ABC．点A到准线与到直线y＝x+p的距离之和的最小值为32D．若以AB为直径的圆M经过焦点F，则|MN|（多选）12．设O为坐标原点，直线y=-3(x-1)过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，且与C交于M，A．p＝4 B．|MNC．以MN为直径的圆与l相切 D．△OMN为等腰三角形三．填空题（共4小题）13．若抛物线y2＝2px（p＞0）经过点C（1，﹣2），则该抛物线的焦点坐标为．14．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，A1，A2，A3是C上不同的三点，且向量FA1→，FA2→，FA3→的横坐标之和为2p，则直线A1A2，A2A3，A315．准线方程x＝﹣1的抛物线的标准方程为．16．已知O为坐标原点，F是抛物线C：y2＝4x的焦点，A，B是C上位于x轴异侧的两点，且|AF|＝3，|BF|=32，则△OAB的面积为四．解答题（共4小题）17．已知直线l与抛物线E：y2＝2x相切，且切点为B（2，2）．（1）求直线l的斜率k的值；（2）如图，M，N是x轴上两个不同的动点，且满足|BM|＝|BN|，直线BM，BN与抛物线E的另一个交点分别是P，Q，若直线PQ的斜率为k2，求k2的值．18．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）焦点为F，点M（2，m）在C上，且|MF|＝3．（1）求抛物线C的焦准距；（2）若A，B在抛物线C上，直线OA经过点E（﹣1，﹣1），直线BE平行于x轴，证明：直线AB经过焦点F．19．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F（2，0）．（1）求C的方程；（2）若过点M（4，0）的直线l与抛物线C交于P，Q两点．1|20．抛物线C：y2＝4x的顶点为坐标原点O，焦点为F，过F且斜率为k的直线l与C交于A，B两点．（Ⅰ）当k＝1时，求|AB|；（Ⅱ）若△OAB的面积为6，求k的值．

2026年高考数学复习新题速递之抛物线（2025年10月）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案CABDBABC二．多选题（共4小题）题号9101112答案ADBCDACDBC一．选择题（共8小题）1．抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点P(x0，23)A．2 B．3 C．4 D．5【考点】求抛物线的准线方程；抛物线的定义．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】C【分析】求解抛物线的准线方程，利用抛物线的定义，转化求解即可．【解答】解：抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线方程为x＝﹣1，点P(x012＝4x0，x0＝3，则|PF|＝x0+1＝4．故选：C．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，定义的应用，是基础题．2．抛物线y＝24x2的焦点坐标为（）A．(0，196) B．（0，6） C．(196【考点】求抛物线的焦点和焦准距．【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】A【分析】把抛物线方程化为标准方程，由此可得焦点坐标．【解答】解：因为抛物线的标准方程为x22p=124，所以焦点坐标为(0故选：A．【点评】本题考查抛物线的方程和性质，考查运算能力，属于基础题．3．已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F，P是抛物线C上的一点，O为坐标原点，|OP|=43，则|A．4 B．6 C．8 D．10【考点】抛物线的焦点弦及焦半径．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】B【分析】求出抛物线焦点和准线方程，设P（m，n）（n≥0），结合|OP|=43与抛物线方程，得到n【解答】解：抛物线C：x2＝8y的焦点为F（0，2），准线方程为y＝﹣2，设P（m，n）（n≥0），则m2=8n，m2+n2则|PF|＝n+2＝6．故选：B．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题．4．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为直线x＝﹣2，过点F的直线l与C相交于A，B两点，则△AOB面积的最小值为（）A．18 B．16 C．12 D．8【考点】直线与抛物线的位置关系及公共点的个数．【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】D【分析】根据给定条件，求出抛物线C的方程，设出直线l的方程并与抛物线方程联立，结合韦达定理求出三角形面积的最小值．【解答】解：因为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为直线x＝﹣2，所以-p2=-2，解得p＝4，则抛物线C：y2＝8x，焦点F（2设点A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为x＝my+2，由x=my+2y2=8x消去x得y2﹣8my﹣16＝0，则y1+y2＝8m，因此S△AOB=12|所以△AOB面积的最小值为8．故选：D．【点评】本题考查抛物线的几何性质，属中档题．5．已知抛物线C：y2＝2px的焦点为F（1，0），准线为l，P为C上一点，PQ垂直l于点Q，△PQF为等边三角形，过PQ的中点M作直线MR∥QF，交x轴于R点，则直线MR的方程为（）A．3x+y-2C．x+3y-【考点】抛物线的焦点与准线；直线与抛物线的综合．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】B【分析】画出图形，结合已知条件，转化求解即可．【解答】解：设直线l与x轴交于点H，连接MF，QF如图，因为焦点F（1，0），所以抛物线的方程为y2＝4x，准线为x＝﹣1，则|FH|＝2，|PF|＝|PQ|，易知△PQF是边长为4的等边三角形，则∠PFQ=∠PFR因为MR∥QF，所以直线MR的斜率为-3直线MR的方程为3x故选：B．【点评】本题考查抛物线，要求考生使用抛物线的基本性质和平面几何的知识解决相关问题．6．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），过焦点的直线l与抛物线C交于A，B两点，当直线l的斜率为22时，|AB|＝16，则pA．83 B．163 C．43 【考点】根据定义求抛物线的标准方程．【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】A【分析】写出直线方程与抛物线方程联立结合韦达定理可得：x1+x2＝5p，利用焦点弦长公式求解即可．【解答】解：直线方程为l：y=22(x-p2)得x2设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝5p，所以|AB|＝x1+x2+p＝6p＝16，故p=故选：A．【点评】本题考查了抛物线的性质，属于基础题．7．已知过点P（2，﹣1）的直线l与抛物线y2＝2x交于点A，B两点，若A，B的纵坐标分别为y1，y2，则（y1+1）（y2+1）＝（）A．﹣4 B．﹣3 C．0 D．2【考点】直线与抛物线的综合．【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．【答案】B【分析】由题意，设出直线l的方程，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理进行求解即可．【解答】解：设直线l的方程为x﹣2＝k（y+1），A（x1，y1），B（x2，y2），联立x=k(y+1)+2y2=2x，消去x并整理得y2﹣2由韦达定理得y1+y2＝2k，y1y2＝﹣2k﹣4，则（y1+1）（y2+1）＝y1y2+（y1+y2）+1＝﹣2k﹣4+2k+1＝﹣3．故选：B．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．8．已知点P是抛物线y2＝﹣4x上的一个动点，则点P到点M（0，2）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）A．3 B．172 C．5 D．【考点】抛物线的焦点与准线．【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】C【分析】先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义可得d＝|PF|+|PM|≥|MF|，再求出|MF|的值即可．【解答】解：依题设P在抛物线准线的投影为P′，抛物线的焦点为F，M（0，2）．∵抛物线y2＝﹣4x，∴F（﹣1，0），依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP′|＝|PF|，则点P到点M（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和d＝|PF|+|PM|≥|MF|=1故选：C．【点评】本题考查抛物线的定义，考查求距离和，属于基础题．二．多选题（共4小题）（多选）9．下列命题正确的有（）A．抛物线y＝8x2的准线方程是y=-B．两个变量相关性越强，则相关系数r越大 C．若sinα=35，且α是第二象限角，则cos（π﹣αD．已知直线m：（a﹣2）x+ay﹣2＝0和直线n：x+3ay+1＝0，则“a=73”是“m∥【考点】求抛物线的准线方程；直线与抛物线的位置关系及公共点的个数；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系；两条直线平行与倾斜角、斜率的关系．【专题】方程思想；综合法；三角函数的求值；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程；概率与统计；运算求解．【答案】AD【分析】求得抛物线的准线方程，可判断A；由两个变量相关性的结论，可判断B；由同角的基本关系式，可判断C；由两直线平行的条件，解方程，可判断D．【解答】解：抛物线y＝8x2即x2=18y的准线方程为y=-1两个变量相关性越强，则相关系数r的绝对值越趋近于1，故B错误；若sinα=35，且α是第二象限角，可得cos则cos（π﹣α）＝﹣cosα=45，故已知直线m：（a﹣2）x+ay﹣2＝0和直线n：x+3ay+1＝0，显然a＝0，a＝2，两直线不平行，由a-21=a3a≠-21，解得故选：AD．【点评】本题考查命题的真假判断，考查方程思想和运算能力，属于基础题．（多选）10．已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，O为坐标原点，点M（x0，y0）在抛物线C上，若|MF|＝5，则（）A．F的坐标为（1，0） B．y0＝4 C．|OM|=42 D．S△【考点】抛物线的焦点弦及焦半径．【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】BCD【分析】根据抛物线的定义，以及抛物线的几何性质，逐项判定，即可求解．【解答】解：由抛物线C：x2＝4y，可得p＝2，所以p2=1，且焦点在则焦点F（0，1），所以A错误；由抛物线的定义，可得|MF|＝y0+1＝5，解得y0＝4，所以B正确；由y0＝4，可得x0所以x0＝±4，则|OM所以C正确；由S△所以D正确．故选：BCD．【点评】本题考查了抛物线的定义，重点考查了抛物线的几何性质，属基础题．（多选）11．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，直线l与C交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，其中点A在第一象限，点M是AB的中点，MN垂直准线于N，则下列结论正确的是（）A．若AF→=4FB→，则直线B．点M到准线距离为|ABC．点A到准线与到直线y＝x+p的距离之和的最小值为32D．若以AB为直径的圆M经过焦点F，则|MN|【考点】直线与抛物线的综合．【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．【答案】ACD【分析】根据三点共线设直线方程，利用向量之间的关系求点A坐标即可得到选项A正确；根据直线l不过点F时结论不成立可得选项B错误；根据抛物线定义把问题转化为焦点到直线的距离，可得选项C正确；利用基本不等式可得选项D正确．【解答】解：易知直线AB的斜率不为0，F(设A（x1，y1），B（x2，y2），对于选项A：因为AF→所以直线l过点F，设l：联立x=my+p2y2=2px，消去x并整理得y2由韦达定理得y1因为AF→所以(p可得y1即A（2p，2p），所以直线l的斜率为2p-0对于选项B：当直线l不过点F时，设|AF|＝m，|BF|＝n，因为m+n＞|AB|，易知|AF因为M是AB的中点，所以M(则点M到准线距离为x1+x对于选项C：由抛物线定义得点A到准线的距离等于点A到焦点F(所以点A到准线与到直线y＝x+p的距离之和即|AF|与点A到直线y＝x+p的距离之和，当且仅当AF与直线y＝x+p垂直时取得最小值，即点F(p2，0)到直线x﹣y+p＝0对于选项D：设|AF|＝m，|BF|＝n，由选项B得，|MN因为以AB为直径的圆M经过焦点F，所以AF⊥BF，可得|AB所以|MN因为m2+n2≥2mn，当且仅当m＝n时，等号成立，所以|MN则|MN||AB|故选：ACD．【点评】本题考查抛物线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．（多选）12．设O为坐标原点，直线y=-3(x-1)过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，且与C交于M，A．p＝4 B．|MNC．以MN为直径的圆与l相切 D．△OMN为等腰三角形【考点】直线与抛物线的综合；抛物线的焦点与准线．【专题】转化思想；设而不求法；圆锥曲线中的最值与范围问题；运算求解．【答案】BC【分析】先求得焦点坐标，进而求得抛物线方程，根据弦长公式、直线和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案．【解答】解：由直线y=-3(x-1)，令y＝0，解得x＝1，所以抛物线的焦点A中，可得p2=1，解得p＝2，所以B中，可得抛物线方程为y2＝4x，准线为x＝﹣1，设M（x1，y1），N（x2，y2），由直线y=-3(x-1)联立y2=4xx=-33y+1，整理可得：3y2+43y﹣12＝所以x1+x2=-33（y1+y2）+2=4由抛物线的性质可得|MN|＝x1+x+p=103+2=C中，由上述分析可知MN的中点D的横坐标为x1所以中点到直线x＝﹣1的距离53+1而以MN为的圆的半径y=|所以以MN为直径的圆与l相切，所以C选项正确；D中，由3y2+43y﹣12＝0可得y1=23，y2可得x1=-33×23+1=13，x2设M（13，23），N（3，可得|OM|=(13)2+(23)2=所以△OMN不是等腰三角形，D选项错误．故选：BC．【点评】本题考查抛物线的性质的应用及直线与抛物线的综合应用，属于中档题．三．填空题（共4小题）13．若抛物线y2＝2px（p＞0）经过点C（1，﹣2），则该抛物线的焦点坐标为（1，0）．【考点】抛物线的焦点与准线；根据抛物线上的点求抛物线的标准方程．【专题】计算题；转化思想；作商法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】（1，0）．【分析】根据题意，将点C的坐标代入抛物线的方程，求得p＝2，结合抛物线的几何性质，即可求解．【解答】解：抛物线y2＝2px经过点C（1，﹣2），代入可得（﹣2）2＝2p×1，解得p＝2，∴抛物线的标准方程为y2＝4x，∴抛物线的焦点坐标为（1，0）．故答案为：（1，0）．【点评】本题考查抛物线的焦点坐标的求法，是基础题．14．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，A1，A2，A3是C上不同的三点，且向量FA1→，FA2→，FA3→的横坐标之和为2p，则直线A1A2，A2A3，A3【考点】直线与抛物线的位置关系及公共点的个数．【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．【答案】2．【分析】求出抛物线的焦点坐标，利用向量线性运算的坐标表示求出x1+x2+x3＝2p，再利用斜率坐标公式计算得解．【解答】解：易知抛物线C的焦点F(0设Ai（xi，yi）（i＝1，2，3），此时FA因为向量FA1→，FA2→所以x1+x2+x3＝2p，易知kA同理得kA2A则直线A1A2，A2A3，A3A1的斜率之和为x1故答案为：2．【点评】本题空差抛物线的方程，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．15．准线方程x＝﹣1的抛物线的标准方程为y2＝4x．【考点】抛物线的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【答案】见试题解答内容【分析】直接由抛物线的准线方程设出抛物线方程，再由准线方程求得p，则抛物线标准方程可求．【解答】解：∵抛物线的准线方程为x＝﹣1，∴可设抛物线方程为y2＝2px（p＞0），由准线方程x=-p2=-1，得p∴抛物线的标准方程为y2＝4x．故答案为：y2＝4x．【点评】本题考查了抛物线的标准方程，考查了抛物线的简单几何性质，是基础题．16．已知O为坐标原点，F是抛物线C：y2＝4x的焦点，A，B是C上位于x轴异侧的两点，且|AF|＝3，|BF|=32，则△OAB的面积为【考点】抛物线的焦点弦及焦半径．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】求出抛物线的焦点坐标，结合已知条件求解A、B的坐标，然后求解三角形的面积．【解答】解：F是抛物线C：y2＝4x的焦点，F（1，0），准线方程为x＝﹣1，A，B是C上位于x轴异侧的两点，不妨A在第一象限，且|AF|＝3，可得xA+1＝3，A（2，22），|BF|=32，|BF|＝1+xB，xB=12，∴AB的方程为：y﹣22=22+22-12（x﹣2），即22F（1，0）在直线AB上，所以三角形OAB的面积为：12故答案为：32【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，三角形的面积的求法，是中档题．四．解答题（共4小题）17．已知直线l与抛物线E：y2＝2x相切，且切点为B（2，2）．（1）求直线l的斜率k的值；（2）如图，M，N是x轴上两个不同的动点，且满足|BM|＝|BN|，直线BM，BN与抛物线E的另一个交点分别是P，Q，若直线PQ的斜率为k2，求k2的值．【考点】直线与抛物线的综合．【专题】方程思想；消元法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】（1）k1=1（2）-1【分析】（1）根据题意设直线l的方程为y﹣2＝k1（x﹣2），联立抛物线的方程得y2-2k1y+4k1-4（2）由题知，两直线BM，BN的斜率互为相反数，设直线BM的方程为y﹣2＝t（x﹣2），联立抛物线的方程，结合韦达定理可得yP，进而可得P点的坐标，同理可得Q点的坐标，进而可得答案．【解答】解：（1）根据题意设直线l的方程为y﹣2＝k1（x﹣2），联立抛物线的方程得y2-2k1y+4令Δ＝0，得（-2k1）2﹣4（4k解得k1=1（2）由题知，两直线BM，BN的斜率互为相反数，设直线BM的方程为y﹣2＝t（x﹣2），联立y-2=t(x-2)y2=2所以2yP=4t-4，即yP所以P（2t2-将t换成﹣t，得Q（2t2+4所以k2=-【点评】本题考查直线与抛物线的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．18．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）焦点为F，点M（2，m）在C上，且|MF|＝3．（1）求抛物线C的焦准距；（2）若A，B在抛物线C上，直线OA经过点E（﹣1，﹣1），直线BE平行于x轴，证明：直线AB经过焦点F．【考点】抛物线的焦点弦及焦半径；直线与抛物线的位置关系及公共点的个数．【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】（1）2；（2）证明见解析．【分析】（1）利用抛物线的焦半径公式求出p的值即可；（2）依题写出直线OA方程，与抛物线方程联立求出点A（4，4），又由BE平行于x轴，可求得B(14，-【解答】解：（1）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）焦点为F，点M（2，m）在C上，且|MF|＝3，则|MF得p＝2，即抛物线C的焦准距为2．（2）证明：如图，由（1）知C：y2＝4x，直线OA方程为y＝x，由y解得x=4即得A（4，4），因BE∥x轴，故在y2＝4x中令y＝﹣1，解得xB即得B(所以直线AB方程为4x﹣3y﹣4＝0，又焦点F（1，0）在直线AB上，即直线AB经过点F．【点评】本题考查了抛物线的性质，重点考查了直线与抛物线的位置关系，属中档题．19．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F（2，0）．（1）求C的方程；（2）若过点M（4，0）的直线l与抛物线C交于P，Q两点．1|【考点】直线与抛物线的综合；抛物线的定义．【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据抛物线焦点写出抛物线方程即可；（2）设直线l的方程为x＝my+4，P（x1，y1），Q（x2，y2），联立抛物线，应用韦达定理及两点距离公式化简目标式，即可证结论．【解答】解：（1）易知抛物线C的焦点为(p所以p2解得p＝4，则抛物线C的方程为y2＝8x；（2）易知直线斜率不为0，设直线l的方程为x＝my+4，P（x1，y1），Q（x2，y2），联立x=my+4y2=8x，消去x并整理得y2﹣此时Δ＝64（m2+2）＞0，由韦达定理得y1+y2＝8m，y1y2＝﹣32，因为|PM|=1+所以1=1则1|PM|【点评】本题考查抛物线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．20．抛物线C：y2＝4x的顶点为坐标原点O，焦点为F，过F且斜率为k的直线l与C交于A，B两点．（Ⅰ）当k＝1时，求|AB|；（Ⅱ）若△OAB的面积为6，求k的值．【考点】由直线与抛物线位置关系及公共点个数求解方程或参数．【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．【答案】（Ⅰ）8；（Ⅱ）±2．【分析】（Ⅰ）由题意，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和弦长公式求解即可；（Ⅱ）将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式以及三角形面积公式求解即可．【解答】解：（Ⅰ）易知抛物线C的焦点坐标为F（1，0），当k＝1时，直线l的方程为y＝x﹣1，联立y=x-1y2=4x，消去y并整理得x此时Δ＞0，由韦达定理得xA+xB＝6，xAxB＝1，所以|AB|=（Ⅱ）设直线l的方程为y＝k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），联立y=k(x-1)y2=4x，消去y并整理得k2x2﹣（2k2+4）x此时Δ＞0，由韦达定理得x1+x2=2k2所以|AB|=1+又点O到直线l的距离d=|所以S△OAB=整理得4k2+4＝6k2．解得k＝±2．【点评】本题考查抛物线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．

考点卡片1．直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系【知识点的认识】直线的倾斜角、斜率对直线的图象的影响：（1）直线在y轴上的截距大于0时：若倾斜角为锐角，则斜率大于0，这时直线的图象过第一二三象限，并且倾斜角越大斜率就越大，直线相对于x轴的正方向的倾斜程度也就越大；若倾斜角为钝角，则斜率小于0，这时直线的图象过第一二四象限，并且倾斜角越大斜率就越大，直线相对于x轴的正方向的倾斜程度也就越大；（2）直线在y轴上的截距小于0时：若倾斜角为锐角，则斜率大于0，这时直线的图象过第一三四象限，并且倾斜角越大斜率就越大，直线相对于x轴的正方向的倾斜程度也就越大；若倾斜角为钝角，则斜率小于0，这时直线的图象过第二三四象限，并且倾斜角越大斜率就越大，直线相对于x轴的正方向的倾斜程度也就越大；（3）当直线的倾斜角为直角时，斜率不存在，直线的图线与x轴垂直；（4）当直线的倾斜角为0度时，斜率为0，直线的图线与x轴平行或重合．2．两条直线平行与倾斜角、斜率的关系【知识点的认识】两直线平行与倾斜角、斜率的关系：①如果两条直线的斜率存在，设这两条直线的斜率分别为k1，k2，倾斜角分别为α1，α2，则有：两直线平行⇔倾斜角α1＝α2⇔斜率k1＝k2②如果两条直线的斜率都不存在，那么这两条直线的倾斜角都为90°，这两条直线平行．3．抛物线的定义【知识点的认识】抛物线是指平面内到一个定点和一条定直线l距离相等的点的轨迹．他有许多表示方法，比如参数表示，标准方程表示等等．它在几何光学和力学中有重要的用处．抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线．抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图象．标准方程①y2＝2px，当p＞0时，为右开口的抛物线；当p＜0时，为左开口抛物线；②x2＝2py，当p＞0时，为开口向上的抛物线，当p＜0时，为开口向下的抛物线．性质我们以y2＝2px（p＞0）为例：①焦点为（p2，0）；②准线方程为：x=-p2；③离心率为e＝1．④通径为2p（过焦点并垂直于x【解题方法点拨】例1：点P是抛物线y2＝x上的动点，点Q的坐标为（3，0），则|PQ|的最小值为解：∵点P是抛物线y2＝x上的动点，∴设P（x，x），∵点Q的坐标为（3，0），∴|PQ|==x=(∴当x=52，即P（|PQ|取最小值112故答案为：112这个例题其实是一个求最值的问题，一般的解题思路就是把他转化为求一个未知数的最值，需要注意的是一定要明确这个未知数的定义域，后面的工作就是求函数的最值了．例2：已知点P是抛物线y2＝4x上的一个动点，点P到点（0，3）的距离与点P到该抛物线的准线的距离之和的最小值是．解：如图所示，设此抛物线的焦点为F（1，0），准线l：x＝﹣1．过点P作PM⊥l，垂足为M．则|PM|＝|PF|．设Q（0，3），因此当F、P、Q三点共线时，|PF|+|PQ|取得最小值．∴（|PF|+|PQ|）min＝|QF|=3即|PM|+|PQ|的最小值为10．故答案为：10．这是个经典的例题，解题的关键是用到了抛物线的定义：到准线的距离等于到焦点的距离，然后再根据几何里面的两点之间线段最短的特征求出p点．这个题很有参考价值，我希望看了这个例题的同学能把这个题记下了，并拓展到椭圆和双曲线上面去．【命题方向】抛物线是初中高中阶段重要的一个知识点，高中主要是增加了焦点、准线还有定义，这也提示我们这将是它的一个重点，所以在学习的时候要多多理会它的含义，并能够灵活运用．4．抛物线的标准方程【知识点的认识】抛物线的标准方程的四种种形式：（1）y2＝2px，焦点在x轴上，焦点坐标为F（p2，0），（p（2）x2＝2py，焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，p2），（p四种形式相同点：形状、大小相同；四种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．下面以两种形式做简单的介绍：标准方程y2＝2px（p＞0），焦点在x轴上x2＝2py（p＞0），焦点在y轴上图形顶点（0，0）（0，0）对称轴x轴焦点在x轴长上y轴焦点在y轴长上焦点（p2，0（0，p2焦距无无离心率e＝1e＝1准线x=-y=-5．根据定义求抛物线的标准方程【知识点的认识】抛物线的定义是平面上到一个定点（焦点）和一条定直线（准线）的距离相等的点的轨迹．对于对称轴是x轴或y轴且顶点在原点的抛物线，其标准方程为y2＝2px或x2＝2py，其中p是焦点到准线的距离．【解题方法点拨】1．确定焦点和准线的位置：由焦点和准线的距离p确定．2．代入标准方程：使用y2＝2px（对称轴为x轴）或x2＝2py（对称轴为y轴）．【命题方向】﹣给定焦点和准线，求抛物线的标准方程．﹣根据定义推导抛物线方程．6．根据抛物线上的点求抛物线的标准方程【知识点的认识】已知抛物线上的点（x1，y1），可以代入标准方程y2＝2px或x2＝2py来求解p的值．【解题方法点拨】1．代入点坐标：将点（x1，y1）代入抛物线方程．2．解出p：通过方程解得p的值，确定抛物线的标准方程．【命题方向】﹣给定点坐标，计算抛物线的标准方程．﹣利用点坐标确定抛物线参数p．7．抛物线的焦点与准线【知识点的认识】抛物线的简单性质：8．求抛物线的准线方程【知识点的认识】准线是与焦