2025年高三数学高考研究性学习成果评价模拟试题

2025年高三数学高考研究性学习成果评价模拟试题一、数据分析与统计建模（40分）（一）校园能耗优化研究某中学为推进绿色校园建设，对教学楼中央空调系统进行节能改造。研究小组收集了2024年10月至2025年3月的能耗数据，发现空调日耗电量$y$（单位：度）与平均室外温度$x$（单位：℃）、日均上课人数$n$的关系如下：日期平均温度$x$/℃上课人数$n$/人耗电量$y$/度10.11880032012.157504802.1526005203.2012850380数据预处理：（1）计算温度$x$与耗电量$y$的相关系数$r$（精确到0.01），判断其线性相关性强度；（2）若采用分层抽样从上述4组数据中抽取2组分析节能效果，求抽到12月和2月数据的概率。模型构建：假设耗电量$y$与温度$x$满足线性回归关系$\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}$，且当室外温度低于$t$℃时，需开启辅助加热装置导致耗电量增加10%。（1）用最小二乘法求回归方程（$\hat{a}$、$\hat{b}$精确到0.1）；（2）预测当$x=0$℃、$n=700$时的实际耗电量，并写出加热装置启动的温度阈值$t$的数学表达式。方案优化：学校计划将空调温度设定从26℃下调至24℃（每降低1℃，耗电量增加5%），但通过安装智能控制器可减少20%的待机能耗（当前待机能耗占总耗电量的15%）。若改造前日均耗电量为400度，计算改造后的节能率（节能率=（改造前-改造后）/改造前×100%）。（二）社交媒体信息传播模型某研究小组基于“SIR传染病模型”模拟网络谣言传播，将用户分为三类：易感者（$S$）、传播者（$I$）、免疫者（$R$），总人数$N=10000$人。模型满足以下假设：每日有$\alpha$比例的易感者被传播者感染，$\beta$比例的传播者转化为免疫者；初始时刻$t=0$时，$S_0=9900$，$I_0=100$，$R_0=0$；第$t$天的传播者人数$I_{t+1}=I_t+\alphaS_tI_t-\betaI_t$。参数估计：若第3天传播者人数达到峰值500人，且$\alpha=0.0002$，求$\beta$的值（精确到0.01）。稳定性分析：证明当$\alphaS_0<\beta$时，谣言无法持续传播（即$\lim\limits_{t\to\infty}I_t=0$），并计算本模型中$\alphaS_0$与$\beta$的大小关系。防控策略：若通过舆情监控使每日新增传播者减少20%，建立新的递推公式$I'_{t+1}=pI_t+\alphaS_tI_t-\betaI_t$，求$p$的值及传播者人数首次降至10人以下的天数。二、数学建模与优化问题（40分）（一）智能仓储路径规划某电商仓库采用AGV机器人进行货物分拣，仓库布局简化为$10\times10$的网格坐标系，机器人从原点$O(0,0)$出发，需将货物送至以下3个目标点：$A(3,4)$、$B(6,0)$、$C(8,6)$，每个单元格边长为1米，机器人沿网格线移动，速度为0.5米/秒。最短路径计算：（1）分别计算机器人从$O$到$A$、$A$到$B$、$B$到$C$的曼哈顿距离（$d=|x_1-x_2|+|y_1-y_2|$）；（2）若机器人可斜向移动（沿网格对角线，速度不变），求$O$到$C$的最短移动时间（精确到秒）。调度优化：现有两种配送方案：方案甲：按$O\toA\toB\toC$顺序配送，每个目标点装卸货耗时20秒；方案乙：同时派出两台机器人，分别负责$O\toA\toC$和$O\toB$，装卸货时间不变。通过计算总耗时（移动+装卸）比较方案优劣，并说明多机器人调度的适用条件。动态调整：若$C$点货物紧急，需在10分钟内送达，且机器人电量仅支持80米移动距离，判断是否需要中途充电（充电1分钟可增加20米续航），并设计充电策略。（二）传统文化中的数学智慧《九章算术》“勾股章”记载：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长各几何？”（1丈=10尺，池方指正方形水池边长）古题新解：（1）用现代数学语言建立方程，求水深$h$和葭长$l$；（2）若将水池改为半径为$r$的圆形，葭生圆心处，其他条件不变，推导$h$与$r$的函数关系。拓展探究：类比“葭生池中”问题，设计一个用勾股定理测量教学楼高度的方案，要求包含：测量工具（卷尺、测角仪等）；数据采集步骤（至少3组数据）；误差分析（考虑测角仪高度、地面坡度等因素）。三、开放探究题（20分）（一）函数与导数综合应用已知函数$f(x)=e^x-ax^2-bx$，其中$a$、$b$为常数，且$f(x)$在$x=0$处取得极值。性质分析：（1）求$b$的值及$f(x)$的单调区间（用含$a$的代数式表示）；（2）若$f(x)$有两个零点$x_1<x_2$，证明：$x_1+x_2<2\ln(2a)$。实际意义：某公司研发的AI预测模型中，预测误差$E(t)=f(t)+c$（$c$为常数）表示$t$小时后的股价偏离值。若$a=1$，$c=2$，求误差最小时刻$t$及最小误差值，并说明该模型的适用时间范围（误差需控制在$\pm1$内）。（二）跨学科实践结合2025年高考新增的“数学建模与探究活动”要求，设计一个关于“校园垃圾分类效率提升”的研究方案，需包含：问题转化：将“效率提升”量化为可计算的指标（如人均分类耗时、准确率等）；数据采集：设计抽样调查或实验方案（至少包含2个变量控制）；模型选择：说明将使用的数学工具（如回归分析、图论等）及理由；创新点：结合信息技术（如APP打卡、图像识别）提出优化建议。参考答案与评分标准（简版）一、数据分析与统计建模（1）$r\approx-0.92$（强负相关）；（2）$\frac{1}{6}$（1）$\hat{y}=-12.3x+540.6$；（2）564度，$t=\frac{\hat{y}-1.1\hat{y}}{-12.3}$改造后能耗=400×1.1×0.85×0.8=309.6度，节能率=22.6%二、数学建模与优化问题（1）OA=7，AB=9，BC=10；（2）斜向距离$\sqrt{8^2+6^2}=10$米，时间20秒方案甲总耗时=（7+9+10）/0.5+3×20=104秒；方案乙更优（86秒）需充电1分钟（续航80米→100米，满足95米总距离）三、开放探究题（1）水深12尺，葭长13尺；（2）$h=\frac{r^2-1}{2}$（2）误差控制建议：测角仪高度修正公式$H=l\tan\theta+h$（$h$为仪器高度）（注：完整评分标准需结合建模过程合理性、计算准确性、创新思路三方面综合评价，开放题按“问题定义-方法选择-结果分析-反思改进”四维度分级给分。）本试题严格依据2025年高考数学大纲要求，突出以下特点：素养导向：通过真实情境（校园能耗、仓储物流）考查数学建模、数据分析核心素养，如相关系数计算（逻辑推理）、最短路径优化（数学运算）；跨学科融合：结合物理（能耗计算）、信息