2025-2026学年上海市嘉定区第二中学高二上学期第一次质量检测考试数学试卷

2025-2026学年上海市嘉定区第二中学高二上学期第一次质量检测考试数学试卷一、填空题(★★)1.复数的虚部为____________．(★)2.已知，则______．(★★)3.已知圆柱底面圆的周长为，母线长为4，则该圆柱的体积为________．(★)4.直线与函数的图象的相邻两个交点的距离是_____.(★★)5.如图是水平放置的的斜二测直观图，已知，，则边的实际长度为___________.(★★★)6.若一个圆锥的高为，侧面积为，则该圆锥侧面展开图中扇形的中心角的大小为____________.(★★)7.已知长方体的长、宽、高的和为384，的长为366，则该长方体的表面积为___________.(★★)8.已知正四棱柱的底面边长为1，高度为2，一蚂蚁沿着正四棱柱的表面从点爬到点的最短距离是________．(★★★)9.在四面体中，，分别为的中点，若异面直线与所成的角为，则异面直线与所成的角为__________.(★★★)10.中国国家馆以“城市发展中的中华智慧”为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个类似中国国家馆结构的正四棱台，，，侧面面积为，则该正四棱台的体积为________.(★★★)11.如图，圆锥型容器内盛有水，水深，水面直径放入一个铁球后，水恰好把铁球淹没，则该铁球的体积为________．(★★★★)12.在三棱锥中，平面，，，三棱锥外接球的表面积为，则二面角正切值的最小值为________.二、单选题(★★)13.已知两条不重合的直线m、n，两个互不重合的平面α、β，给出下列命题：①若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β；③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β；④若m⊥α，n∥β，且m∥n，则α∥β．其中正确命题的个数为（）

A．0B．1C．2D．3(★★)14.在中，若，则是（）

A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形(★★★)15.如图，在中，点Р在所在平面外，点O是P在平面ABC上的射影，且点O在的内部．若PA，PB，PC两两垂直，那么点О是的（）

A．外心B．内心C．垂心D．重心(★★★★★)16.《九章算术·商功》中有如下问题：“今有堑堵，下广二丈，表一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？答曰：四万六千五百尺”．所谓“堑堵”就是两底面为直角三角形的直棱柱，如图所示的几何体是一个“堑堵”，是的中点，过三点的平面把该“堑堵”分为两个几何体，其中一个为三棱台，给出下列四个结论：①过三点的平面截该“堑堵”的截面是三角形②该三棱台的表面积为③二面角的正切值为④三棱锥的外接球的表面积为其中正确结论的个数是（）

A．1B．2C．3D．4三、解答题(★★)17.已知向量，，．(1)若，所成角为钝角，求的取值范围；(2)若，求在上的投影向量（结果用坐标表示）．(★★)18.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求B的大小；(2)若，的面积为，求的周长．(★★★)19.如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，平面，四棱锥体积为1．(1)求点A到平面的距离；(2)求平面绕直线旋转一周所得的几何体的体积．(★★★)20.已知函数的图象，如图所示：(1)求的解析式；(2)若在上是严格增函数，求实数的最大值.(3)将函数的图象向右移动个单位，再将所得图象的上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图象，若在区间上至少有个最大值，求实数的取值范围.(★★★★)21.长方体中