3.7 切线长定理（同步课件）-北师大版九下

北师大版数学九年级下册第三章圆✳7切线长定理学习目标1.掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明.（重点）2.了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念.3.学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想.（难点）3.三角形的内心到三角形的

的距离相等.如图，即OD=OE=OF.ABCDFEO复习回顾1.切线的判定定理：过半径

且

于半径的直线是圆的切线.2.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的

.三角形内切圆的圆心叫做三角形的

.三角形的内心就是三角形的三条

的交点.外端垂直内切圆内心角平分线三边一、创设情境，引入新知POBA问题1:上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？O.PAB直径所对的圆周角是直角.问题2:过圆外一点P作圆的切线，可以作几条？请欣赏小颖同学的作法（如右下图所示）！二、自主合作，探究新知探究一：切线长的定义P1.切线长的定义：

经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫作切线长．AO①切线是直线，不能度量.②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．2.切线长与切线的区别在哪里？二、自主合作，探究新知探究二：切线长定理BPOA议一议：PA，PB是☉O的两条切线，A，B是切点.（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？这个图形是轴对称图形，它的对称轴是点P，O所在的直线．（2）在这个图形中你能找到相等的线段吗？说说你的理由.PA＝PB，因为这个图形是轴对称图形，根据其性质“对应线段相等”就可以得出PA＝PB．也可以利用三角形全等来证明.二、自主合作，探究新知证明：如图，连接OA，OB.∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点，∴OA⊥PA，OB⊥PB即∠OAP=∠OBP=90°，∵OA=OB，OP=OP，∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)，∴PA=PB.BPOA由Rt△AOP≌Rt△BOP，还可以得到∠OPA=∠OPB二、自主合作，探究新知切线长定理：过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长相等.注意：切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.知识要点∵PA、PB分别切⊙O于A、B∴PA=PB几何语言：BPOABPOA例1：PA、PB是⊙O的两条切线，A,B是切点，OA=3.（1）若AP=4,则OP=

;（2）若∠BPA=60°,则OP=

.二、自主合作，探究新知典型例题56（1）写出图中所有的垂直关系；（3）写出图中所有的全等三角形；（4）写出图中所有的等腰三角形.（2）写出图中与∠OAC相等的角；BPOACED做一做：PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交⊙O于点D、E，交AB于点C.二、自主合作，探究新知OA⊥PA，OB⊥PB，AB⊥OP.△AOP≌△BOP，△AOC≌△BOC，△ACP≌△BCP.△APB，

△AOB∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC.OPABCED例2：如图，PA、PB是☉O的两条切线，点A、B是切点，在弧AB上任取一点C，过点C作☉O的切线,分别交PA、PB于点D、E.已知PA=7,∠P=40°.则⑴△PDE的周长是

；⑵∠DOE=____.二、自主合作，探究新知解析：连接OA、OB、OC、OD和OE.∵PA、PB是☉O的两条切线，点A、B是切点，∴PA=PB=7.∠PAO=∠PBO=90°.∠AOB=360°-∠PAO-∠PBO-∠P=140°.

典型例题二、自主合作，探究新知OPABCED又∵DC、DA是☉O的两条切线，点C、A是切点，∴DC=DA.同理可得CE=EB.l△PDE=PD+DE+PE=PD+DC+CE+PE=PA+PB=14.

二、自主合作，探究新知★切线长问题辅助线添加方法（3）连接圆心和圆外一点.（2）连接两切点；（1）分别连接圆心和切点；方法归纳想一想：如图所示，四边形ABCD的四条边都与☉O相切，图中的线段之间有哪些等量关系？与同伴进行交流．二、自主合作，探究新知∵四边形ABCD为圆外切四边形，根据切线长定理可得：AH＝AE，BE＝BF，CF＝CG，DG＝DH．EFGH图中线段还有其他的等量关系吗？AH+DH+BF+CF＝AE+DG+BE+CG,即AD+BC=AB+CD．归纳：圆的外切四边形的两组对边之和相等．例3：如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC＝10，BC＝24，☉O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，求☉O的半径．二、自主合作，探究新知典型例题还有没有其他解法？

二、自主合作，探究新知

三、即学即练，应用知识1.如图，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，下列结论中，错误的是(

)A.∠APO=∠BPO B.PA=PBC.AB⊥OP D.PA=POD2.如图，PA，PB，CD分别与⊙O相切于点A，B，E，若PA＝7，则△PCD的周长为(

)A.7 B.14C.10.5D.10B4.如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在⊙O上，如果∠ACB＝70°，那么∠OPA的度数是______°．3.如图，AD，DC，BC都与⊙O相切，且AD∥BC，则∠DOC＝

°．三、即学即练，应用知识90205.△ABC的内切圆⊙O与三边分别切于D、E、F三点，如图，已知AF=3,BD+CE=12,则△ABC的周长是

.24ABCFEDO第5题第4题第3题6.如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，P，C，D为切点，AB＝5，AC＝3，求BD的长．三、即学即练，应用知识解：∵AC，AP为⊙O的切线，∴AC＝AP．∵BP，BD为⊙O的切线，∴BP＝BD，∴BD＝PB＝AB－AP＝5－3＝2．7.如图，在△ABC中，∠ABC=50º，∠ACB=75º,点O是△ABC的内心，求∠BOC的度数.三、即学即练，应用知识

四、课堂小结切线长作用依据辅助线切线长定理图形的轴对称性提供了证线段和角相等的方法分别连接圆心和切点；连接两切点；连接圆心和圆外一点.经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫作切线长．过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长相等.切线长定理2.如图，PC，PB分别切☉O于点C，B，若AB是☉O的直径，∠P=70°，则∠A的度数为（

）A.55

°

B.60°C.70°

D.80°BAPCO

五、当堂达标检测BA5.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点为A、B,∠P=50°，点C是⊙O上异于A、B的点，则∠ACB=

.BPOA4.如图，已知点O是△ABC

的内心，且∠ABC=60°,∠ACB=80°,则∠BOC=

.ABCO3.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，如果AP=4,∠APB=40°,则∠APO=

,PB=

.BPOA五、当堂达标检测20°4110°65°或115°6.△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分