第十七章因式分解培优训练课件人教版数学八年级上册

第十七章因式分解培优训练人教版（2024）数学八年级上册1.

利用因式分解计算：(1)21×3.14＋62×3.14＋17×3.14；解：原式＝3.14×(21＋62＋17)＝3.14×100＝314.(2)7582－2582.解：原式＝(758＋258)×(758－258)＝1016×500＝508000.解答题2.分解因式：(1)(2x＋y)2－(x＋2y)2；解：原式＝(2x＋y＋x＋2y)(2x＋y－x－2y)＝(3x＋3y)(x－y)＝3(x＋y)(x－y).(2)(m＋n)2－4m(m＋n)＋4m2；解：原式＝[(m＋n)－2m]2

＝(n－m)2.(3)4xy2－4x2y－y3.解：原式＝－y(－4xy＋4x2＋y2)＝－y(2x－y)2.3.分解因式：(a2－4a＋1)(a2－4a＋7)＋9；解：令a2－4a＝B，则(a2－4a＋1)(a2－4a＋7)＋9＝(B＋1)(B＋7)＋9

＝B2＋8B＋16＝(B＋4)2.∴原式＝(a2－4a＋4)2＝(a－2)4.4.分解因式：(a＋b＋2)(a＋b－2)＋3(a＋b).5.分解因式：(x2＋x)2－8(x2＋x)＋12.解：原式＝(a＋b)2＋3(a＋b)－4

＝(a＋b－1)(a＋b＋4).解：原式＝(x2＋x－2)(x2＋x－6)

＝(x＋2)(x－1)(x＋3)(x－2).6．阅读理解：因式分解有多种方法，除了提公因式法、公式法、十字相乘法，还有分组分解法、拆项法、配方法等．一般情况下，我们需要综合运用多种方法才能解决问题．例如：分解因式：x3－4x2＋x＋6.解：原式＝x3－3x2－x2＋x＋6……拆项法＝(x3－3x2)－(x2－x－6)……分组分解法＝x2(x－3)－(x＋2)(x－3)……提公因式法和十字相乘法(局部)＝(x－3)(x2－x－2)……提公因式法(整体)＝(x－3)(x－2)(x＋1).……十字相乘法(1)请你试一试分解因式：x3－7x＋6；解：(1)原式＝x3－x－6x＋6＝x(x2－1)－6(x－1)＝x(x－1)(x＋1)－6(x－1)＝(x－1)(x2＋x－6)＝(x－1)(x－2)(x＋3).(2)请你试一试在实数范围内分解因式：x4－5x2＋6.(2)原式＝(x2－2)(x2－3)＝(x＋

)(x－

)(x＋

)(x－

).7.已知a，b，c分别是△ABC的三边长，且a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ac，试判断△ABC的形状，并说明理由．解：△ABC是等边三角形．理由如下：依题意，得2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2bc＋2ac，∴2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac＝0.∴a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋a2－2ac＋c2＝0.∴(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝0.∵(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，(a－c)2≥0，∴a－b＝0，b－c＝0，a－c＝0.∴a＝b＝c.∴△ABC是等边三角形．8．如图所示的大长方形是由四个不同的小长方形拼成，我们可以用两种不同的方法表示长方形的面积：①x2＋px＋qx＋pq；②(x＋p)(x＋q).请据此解答下列问题：(1)因为x2＋(p＋q)x＋pq＝x2＋px＋qx＋pq，所以x2＋(p＋q)x＋pq＝___________；(2)利用(1)中的结论，我们可以对特殊的二次三项式进行因式分解，例如：①x2＋3x＋2＝x2＋(2＋1)x＋2×1＝(x＋2)(x＋1)；②x2－4x－5＝x2＋(1－5)x＋1×(－5)＝___________；(请补充结果)(x＋p)(x＋q)(x＋1)(x－5)(3)请利用上述方法将下列多项式分解因式：x2－9x＋20.(写出分解过程)解：(3)原式＝x2＋(－4－5)x＋(－4)×(－5)＝(x－4)(x－5).9．观察：22＋42＝20＝4×5；82＋102＝164＝4×41；382＋362＝2740＝4×685；242＋262＝1252＝4×313；…(1)发现结论：任意两个连续偶数的平方和是4的______倍；(填“偶数”或“奇数”)(2)逻辑论证：在两个连续偶数中，设较小的数为2n(n为整数)，请论证(1)中结论的正确性．奇数证明：(2)∵较小的数为2n(n为整数)，∴较大的数为2n＋2.∴(2n)2＋(2n＋2)2＝4n2＋4n2＋8n＋4＝8n2＋8n＋4＝4(2n2＋2n＋1).∵2n2是偶数，2n＋1是奇数，∴2n2＋2n＋1是奇数．∴任意两个连续偶数的平方和是4的奇数倍．10．先阅读、观察、理解，再解答后面的问题：第1个等式：1×2＝

(1×2×3－0×1×2)＝

(1×2×3)；第2个等式：1×2＋2×3＝

(1×2×3－0×1×2)＋

(2×3×4－1×2×3)＝

(1×2×3－0×1×2＋2×3×4－1×2×3)＝

(2×3×4)；第3个等式：1×2＋2×3＋3×4＝

(1×2×3－0×1×2)＋3(1)(2×3×4－1×2×3)＋(3×4×5－2×3×4)＝

(1×2×3－0×1×3＋2×3×4－1×2×3＋3×4×5－2×3×4)＝

(3×4×5).(1)依此规律，猜想：1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1)＝_________________；(直接写出结果)n(n＋1)(n＋2)(2)根据上述规律计算：10×11＋11×12＋12×13＋…＋29×30.解：(2)原式＝(1×2＋2×3＋3×4＋4×5＋5×6＋6×7＋7×8＋8×9＋9×10＋…＋29×30)－(1×2＋2×3＋3×4＋4×5＋5×6＋6×7＋7×8＋8×9＋9×10)＝×29×30×31－×9×10×11＝8990－330＝8660.11.我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律：15×15＝225＝1×2×100＋25，25×25＝625＝2×3×100＋25，35×35＝1225＝3×4×100＋25，……(1)请写出第4个运算等式：______________________________.45×45＝2025＝4×5×100＋25(2)你能写出一般的规律吗？你能用所学知识证明你的结论吗？解：(2)十位上的数相同、个位上的数为5的两位数的平方，其所得的结果的后两位数就是个位上的数相乘的结果25；原数十位上的数加上1，再与自身相乘得到的结果，就是写在25前的数.证明如下：设十位数字为a，则(10a＋5)(10a＋5)＝100a2＋100a＋25＝100a(a＋1)＋25.12.观察下列式子：12＋12×22＋22＝(1＋1＋1)2，22＋22×32＋32＝(4＋2＋1)2，32＋32×42＋42＝(9＋3＋1)2，……(1)请写出第4个等式：___________________________.42＋42×52＋52＝(16＋4＋1)2(2)你得出了什么结论？你能证明你的结论吗？解：结论：n2＋n2(n＋1)2＋(n＋1)2＝(n2＋n＋1)2.证明：n2＋n2(n＋1)2＋(n＋1)2＝n2(1＋n2＋2n＋1)＋(n＋1)2＝n2[n2＋2(n＋1)]＋(n＋1)2＝n4＋2n2(n＋1)＋(n＋1)2＝(n2＋n＋1)2.13．(1)如图，在△ABC中，∠BAC，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，过点O作OD⊥BC于点D，OD＝3，AB＋BC＋AC＝20，求△ABC的面积；(1)解：如图，过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，

垂足分别为E，F.

依题意，得OE＝OF，OD＝OE，OD＝OF，∴OD＝OE＝OF＝3.∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC＋S△AOC＝

AB·OE＋

BC·OD＋

AC·OF＝

(AB＋BC＋AC)·OD＝×20×3＝30.(2)已知△ABC的三边长a，b，c满足等式：a2＋2ab＝c2＋2bc.求证：△ABC是等腰三角形．(2)证明：∵a2＋2ab＝c2＋2bc，∴a2＋2ab＋b2＝c2＋2bc＋b2，(a＋b)2＝(b＋c)2.∵a，b，c为△ABC的三边长，∴a＋b＝b＋c.∴a＝c.∴△ABC是等腰三角形．14.如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为acm的大正方形，2块是边长为bcm的小正方形，5块是长为acm、宽为bcm的相同的小长方形，且a>b.解：(1)依题意，得大正方形的面积为a2cm2，小正方形的面积为b2cm2，小长方形的面积为abcm2，∴大长方形的面积为(2a2＋5ab＋2b2)cm2.∵大长方形的长为(2a＋b)cm，宽为(2b＋a)cm，∴大长方形的面积为(2a＋b)(2b＋a)cm2.∴2a2＋5ab＋2b2＝(2a＋b)(2b＋a).(1)观察图形，把多项式2a2＋5ab＋2b2进行因式分解；解：(2)∵这张大长方形纸板的周长为78cm，图中空白部分的面积为120cm2，∴5ab＝120，2(2a＋b＋2b＋a)＝78.∴ab＝24，a＋b＝13.∴阴影部分的面积为2a2＋2b2＝2(a2＋b2)＝2[(a＋b)2－2ab]＝2×(132－2×24)＝2×(169－48)＝242(cm2).答：图中阴影部分的面积为242cm2.(2)若这张大长方形纸板的周长为78cm，图中空白部分的面积为120cm2，求图中阴影部分的面积．15.综合与探究【问题情境】一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．例如：若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a，b，则通常记这个两位数为

.于是

＝10a＋b＝9a＋(a＋b)，显然9a能被3整除，因此，如果(a＋b)能被3整除，那么9a＋(a＋b)就能被3整除，即

能被3整除．【类比探究】已知一个三位数

.(1)请用含a，b，c的代数式表示三位数

：_____________；100a＋10b＋c

(2)“若(a＋b＋c)能被3整除，则三位数

就能被3整除．”请你说出其中的道理．【类比拓展】判断一个三位整数能否被7整除，只需看去掉这个数的末位数字后，所得到的数与此末尾数字5倍的和能否被7整除，如果这个和能被7整除，则原数就能被7整除．例如：

三位数去掉末位数字c得两位数

，再用加上c的5倍所得的和为

＋5c.若

＋5c是7的倍数，则

能被7整除．解：(2)＝100a＋10b＋c＝99a＋9b＋(a＋b＋c).∵99a＝3×33a，9b＝3×3b，∴99a能被3整除，9b能被3整除．∴若(a＋b＋c)能被3整除，则99a＋9b＋(a＋b＋c)就能被3整除，即

就能被3整除．(3)请你说明“若

＋5c是7的倍数，则

能被7整除”这个结论的道理．∵49c能被7整除，(3)∵＋5c＝10a＋b＋5c，∴＝100a＋10b＋c＝10(10a＋b)＋c＝10(10a＋b＋5c－5c)＋c＝10(＋5c)－49c.∴若

＋5c是7的倍数，则10(＋5c)－49c就能被7整除，即

就能被7整除．16.认真观察下面这些算式，并结合你发现的规律，解答下列问题：算式①32－12＝(3＋1)×(3－1)＝8＝8×1，算式②52－32＝(5＋3)×(5－3)＝16＝8×2，算式③72－52＝(7＋5)×(7－5)＝24＝8×3，算式④92－72＝(9＋7)×(9－7)＝32＝8×4，……(1)请写出：算式⑤___________________________________.112－92＝(11＋9)×(11－9)＝40＝8×5(2)上述算式的规律可以用文字概括为：“两个连续奇数的平方差能被8整除”，如果设两个连续奇数分别为2n＋1和2n＋3(n为整数)，请说明这个规律是成立的.解：(2)依题意，得(2n＋3)2－(2n＋1)2＝(2n＋3＋2n＋1)(2n＋3－2n－1)＝2(4n＋4)＝8(n＋1).∵8(n＋1)能被8整除，∴两个连续奇数的平方差能被8整除成立.17.阅读材料：在当今“互联网＋”时代，有一种用“因式分解法”生成密码的方法：将一个多项式因式分解，如将多项式分解结果为x(x＋1)(x－1)，当x＝20时，x＋1＝21，x－1＝19，此时可得到数字密码202119，或者是201921等.(1)根据上述方法，当x＝16，y＝4时，对于多项式x3－xy2分解因式后可以形成哪些数字密码？(写出两个即可)解：(1)x3－xy2＝x(x－y)(x＋y).当x＝16，y＝4时，x－y＝12，x＋y＝20.∴得到的数字密码为161220或162012.(答案不唯一)(2)先将多项式xy2＋mxy因式分解，再利用题目中所示的方法，当x＝10，y＝12时可以得到密码101213，求m的值.解：(2)xy2＋mxy＝xy(y＋m)，当x＝10，y＝12时，密码为101213，∴y＋m＝13，即12＋m＝13，解得m＝1.18.人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码.例如多项式x2y－4y，将其分解因式为y