函数的奇偶性课件-高一上学期数学人教B版

3.1.3函数的奇偶性

授课人：刘琪人教版B版数学必修一【目标展示】1.了解函数奇偶性的概念和几何意义2.能判断具体函数的奇偶性师生互动【师生互动】观察图片【师生互动】图1厦门海沧隧道图2中国移动【师生互动】活动：请同学们画出y=x、y=x2、y=x3和y=x4的图象；问题1：观察上述函数的图象，那些函数关于y轴对称？那些函数关于原点对称？

函数y=x2、y=x4、y=x6关于y轴对称；函数y=x、y=x3、y=x5关于原点对称【师生互动】问题2：结合问题1，思考如何符号语言表示“函数图象关于y轴或原点对称”这一特征?(以y=x2为例)证明函数y=x2的图象关于y轴对称：y=x2的定义域为一切实数。若点(xo,yo)在函数y=x2的图象上，则有yo=xo2，而点(xo,yo)关于，轴的对称点易知是(-xo,yo)，如图所示，由yo=xo2，且（-xo）2=xo2，易知同时有yo=(-xo)2，从而点(-xo,yo)也落在函数y=x2的图像上，这说明函数y=x2的图像关于y轴成轴对称函数图象上任意一点关于y轴（原点）的对称点也在该图象上【师生互动】问题2：结合问题1，思考如何符号语言表示“函数图象关于y轴对称”这一特征?以y=x2为例，关于y轴对称的两点的横、纵坐标的关系分别是：

横坐标互为相反数，纵坐标相等；

→自变量取一对相反数时，相应的函数值相等；

→符号语言描述：对任意的x∈R，(-x)2=(x)2思考：问题2中的结论能否进一步推广？求证：如果函数y=f(x)，x∈D的图象关于y轴对称，条件那么对任意的x∈D，均有-x∈D，且f(-x)=f(x)结论探究1：“函数y=f(x)，x∈D的图象关于y轴对称”的等价表达形式【师生互动】证明：在函数y=f(x)，x∈D的图象上任取一点P(x，y)，则x∈D，且y=f(x).∵函数y=f(x)的图象关于y轴对称，所以P(x，y)关于y轴的对称点P’(x，y)在图像上，即-x∈D，且y=f(-x).因此对任意给定的x∈D都有-x∈D，且f(x)=f(-x)猜想：①等价表达形式为“对任意的x∈D，均有-x∈D且f(-x)=f(x)”探究1：“函数y=f(x)，x∈D的图象关于y轴对称”的等价表达形式②从关系式推出图象对称求证:如果对任意的x∈D，均有-x∈D，且f(-x)=f(x)

那么函数y=f(x)，x∈D的图象关于y轴对称学生活动1：请结合①的推理路径图，思考如何证明②【师生互动】证明：在函数y=f(x)，x∈D的图象上任取一点P(x，y)，记P(x，y)关于y轴的对称点为P’(-x，y)因为-x∈D，且f(-x)=f(x)=y，所以点P’(-x，y)也在此函数的图象上因此函数y=f(x)，x∈D的图象关于y轴对称探究1：“函数y=f(x)，x∈D的图象关于y轴对称”的等价表达形式1.偶函数【师生互动】定义

一般地，设函数y=f(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,

都有-x∈D,且f(-x)=f(x)，就称函数y=f(x)为偶函数图象特征

偶函数的图象关于y轴对称问题3：结合问题2，思考如何符号语言表示“函数图象关于原点对称”这一特征?以y=x3为例，关于原点对称的两点的横、纵坐标的关系分别是：

横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数；思考：问题3中的结论能否进一步推广？

→自变量取一对相反数时，相应的函数值也为相反数；

→符号语言描述：对任意的x∈R，(-x)3=-x3【师生互动】探究2：“函数y=f(x)，x∈D的图象关于原点对称”的等价表达形式猜想：等价表达形式为：“对任意的x∈D，均有-x∈D且f(-x)=-f(x)”学生互动2：请先自主完成探究2的证明过程，然后以小组为单位讨论，互相检查书写过程是否完成、严谨，最后推选一名小组代表在班级层面汇报展示小组的探究结果。2.奇函数【师生互动】定义

一般地，设函数y=f(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,

都有-x∈D,且f(-x)=-f(x)，就称函数y=f(x)为奇函数图象特征

偶函数的图象关于原点对称函数的图象关于y轴（原点）对称是函数为偶（奇）函数的_____条件。充要例1(1)证明函数y=x2+1是一个偶函数(2)证明函数y=x+x3+x5是一个奇函数【师生互动】偶函数、奇函数的证明步骤：①求出函数的定义域D②说明对任意的x∈D，-x∈D③判断f(x)与f(-x)的关系

④得出结论(2)因为函数的定义域为R,所以x∈R时，-x∈R.所以函数f(x)=x+x3+x5是奇函数.令y=f(x)，又因为f(-x)=(-x)+(-x)3+(-x)5=-(x+x3+x5)=-f(x)，例1(1)证明函数f(x)=x2+1是一个偶函数变式1：请判断函数f(x)=x2+1是否为一个奇函数？并说明理由变式2：请添加一个条件使得函数f(x)=x2+1不是一个偶函数【师生互动】函数的定义域关于原点对称是函数为偶（奇）函数的_________条件必要非充分变式1：不是奇函数。因为函数的定义域为R,所以x∈R时，-x∈R.所以函数f(x)=x2+1不是奇函数，是偶函数.又因为f(-x)=(-x)2+1=x2+1=f(x)，变式2：f(x)=x2+1,x∈[-1，3]体系整合【体系整合】1、偶函数和奇函数的定义2、偶函数和奇函数的图象特征3、证明函数的奇偶性的步骤高质训练【高质训练】1.下列图象表示的函数中具有奇偶性的是(

)答案:B【高质训练】答案:A