第四单元第5节几何测量问题任务二锐角三角函数

大单元复习第四单元

三角形第1节相交线与平行线第3节第4节三角形全等、相似三角形特殊三角形第2节一般三角形第5节几何测量问题第5节任务一

测量公园不规则湖泊的长度任务二

测量公园路灯的高度任务二

测量公园路灯的高度几何测量问题单元复习规划目录任务准备考向精练课堂小结方案展示任务一

公园不规则湖泊的长度任务二

测量公园路灯的高度

上节课我们用构造直角三角形、全等三角形和相似三角形的方法，通过设计方案、测量、计算公园湖泊的长度.本节课我们通过测量公园里一根垂直于地面的路灯的高度，来复习锐角三角函数的相关知识.任务二测量公园路灯的高度人员测量工具其他物品组别：XXX组长：XXX测量人员：XXX、XXX记录人员：XXX协助人员：XXX标杆、皮尺、测角仪、绳子、三角板纸、笔、科学计算器任务准备小组一第一步：在平行太阳光下用皮尺测得此时路灯AB

在地面的影子BC的长度，并记录第二步：在C处立一根长为1.6m的标杆，用皮尺测

得此时的影子CE长，并记录数据测量：方案设计理念：你能根据设计图说出操作步骤吗？EC/mCB/m1.22.25你能根据表格中的数据计算出路灯高度吗？DABCE方案展示计算过程：解：由题意，得解得AB＝3米.答：路灯DE的高度是3米.方案反思与优化：反思：只进行了一次测量，随机性比较大，数据可能存在错误或者较大误差，导致计算结果错误或者不准.优化：应该尽可能多次测量，然后选取每个测量值的平均数进行计算.已知数据：DC=1.6mEC=1.2mCB=2.25mDABCEC小组二第一步：在C处用测角仪刚好测得∠ACB=60°，此时

用皮尺测得BC的距离，记录在表格第二步：重复以上步骤测量，并记录方案设计理念：我们测量了1个角度，利用了锐角三角函数计算路灯的高度，操作如下：AB60°方案展示数据测量：第一次第二次

第三次平均值BC/m1.751.741.731.74计算过程：解：解得AB≈3.01米.答：路灯AB的高度约为3.01米.BC的长度需要取3次测量的平均值计算已知数据及数量关系：tan60°=CAB60°我们也采用了锐角三角函数的方法，但是步骤不一样,如下：小组三第一步：在点B两侧分别确定点C、D，

使B、C、D三点在同一直线上，

且测角仪测得∠ACB=30°，

∠ADB=60°第二步：用皮尺测得CD两点间的距离，

记录在表格第三步：重复以上步骤多次测量，并记录方案设计理念：CABD30°60°方案展示数据测量：计算过程：你有什么优化建议吗？解：设BC的距离为x米，则BD=(6.8－x)米，由题意，得

解得x≈5.1，则AB=答：路灯AB的高度约为2.94米.CABD30°60°第一次第二次

第三次平均值CD/m6.86.76.96.8小组四第一步：在C处用测角仪测得∠ACB=45°，将

测角仪升高至点D使测得点A处的仰角

为∠ADE=30°；第二步：用皮尺测量CD的高度，并记录第三步：重复以上步骤多次测量，并记录C方案设计理念：我们利用了测角仪的高度来进行测量，操作如下：ABE45°30°D方案展示数据测量：计算过程：解：设路灯AB的高度为x米，∵∠ACB=45°，∴DE=CB=AB=x，AE=x－BE=x－1.3,在Rt△ADE中，解得x≈3.07米.答：路灯AB的高度约为3.07米.已知数据及等量关系：BE=CDDE=CB=ABAE=AB－EB你有什么优化建议吗？ABE45°30°DC第一次第二次

第三次平均值CD/m1.311.31.291.3小组五第一步：将测角仪放在CD处，调整测角仪的高

度，使测得路灯A处的仰角为30°，此

时用皮尺测量测角仪的高度，并记录第二步：保持测角仪高度不变，向前移动测角仪

至EF处，使测得路灯A处的仰角为45°，

测量此时DF的距离，并记录第三步：重复以上步骤多次测量，并记录方案设计理念：测量步骤：EABDFG45°30°C方案展示数据测量：计算过程：解：设AG的高度为x米，由∠AEG＝45°

可知AG＝EG，由∠ACG＝30°可得：

解得x≈2.08米.∴AB＝AG＋GB＝AG＋CD＝2.08＋1＝3.08米.答：路灯AB的高度是3.08米.已知等量关系：CD=EF=GBCG=DBEG=FBCE=DF第一次第二次

第三次平均值CD/m0.991.0111EF/m11.010.991DF/m1.21.11.31.2EABDFG45°30°C小组六第一步：在C处用测角仪测得∠ACB=60°，将测角仪

升高至点D处，测得俯角∠EDB=30°第二步：用皮尺测量CD的高度，并记录第三步：重复以上步骤多次测量，并记录方案设计理念：CAB30°60°DE测量步骤：方案展示数据测量：已知数据及数量关系：BE＝CD解：设路灯AB的高度为x米，由题意，得解得x＝3米.答：路灯AB的高度是3米.CAB30°60°DE第一次第二次

第三次平均值CD/m11.010.991计算过程：方案设计理念：小组七第一步：将无人机垂直向上飞行5m至C处，测量此

时路灯顶端A的俯角，并记录第二步：保持无人机高度不变向前飞行2m到达D处，

测量此时路灯底部B的俯角，并记录第三步：重复以上步骤测量，并记录我们利用了无人机在空中进行了测量，操作如下：DCABE方案展示数据测量：∠ECA

∠EDB第一次15°45°第二次14°58′45°37′第三次15°02′44°23′平均值15°45°计算过程：已知数据及数量关系：tan15°≈0.27CD＝2mDE＝BE＝5mCE＝CD＋DE＝7mAB＝BE－AE解：设AE的高度为x米，在Rt△AEC中，

,解得x＝1.89米，则路灯AB＝BE－AE＝5－1.89＝3.11米答：路灯AB的高度是3.11米.DCAB45°15°E1.(2025甘肃兰州)天文学家运用三角函数解决了曾困扰古人数百年的难题．某天文研究小组探究用三角函数知识计算月球与地球之间距离的方法，通过查阅资料、实际观测、获得数据和计算数据，得出月球与地球之间的近似距离．具体研究方法与过程如表：问题月球与地球之间的距离约为多少？工具天文望远镜、天文经纬仪等考向精练月球、地球的实物图与平面示意图说明为了便于观测月球，在地球上先确定两个观测点A，B，以线段AB作为基准线，再借助天文经纬仪从A，B两点同时观测月球P(将月球抽象为一个点)，并测得∠ABP和∠BAP的度数，根据实际问题画出平面示意图(如图)，过点P作PH⊥AB于点H，连接AP，BP．数据AB≈0.8万千米，∠ABP=89°25'37.43′′，∠BAP=89°22'38.09′′．解：设PH=x万千米，∵在Rt△PHB中，∠PHB=90°，∠ABP=89°25'37.43′′，数据AB≈0.8万千米，∠ABP=89°25'37.43′′，∠BAP=89°22'38.09′′．根据以上信息，求月球与地球之间的近似距离PH．(结果精确到1万千米)(参考数据：tan89°25′37.43''≈100.00，10089°22′38.09''≈92.00，sin89°25′37.43''≈040.99995，sin89°22′38.09′′≈0.99994，cos89°25′37.43′′≈0.00999，cos89°22′38.09′′≈0.01087)∴BH=，数据AB≈0.8万千米，∠ABP=89°25'37.43′′，∠BAP=89°22'38.09′′．根据以上信息，求月球与地球之间的近似距离PH．(结果精确到1万千米)(参考数据：tan89°25′37.43''≈100.00，10089°22′38.09''≈92.00，sin89°25′37.43''≈040.99995，sin89°22′38.09′′≈0.99994，cos89°25′37.43′′≈0.00999，cos89°22′38.09′′≈0.01087)∵在Rt△PHA中，∠PHA=90°，∠BAP=89°22'38.09′′，∴AH=，∵AH＋BH＝AB≈0.8(万千米)，∴，解得x≈38，即PH≈38(万千米)，答：月球与地球之间的近似距离PH约为38万千米．2.酒泉肃州钟鼓楼位于甘肃省酒泉城中央，是凝聚了古代肃州劳动人民智慧结晶的标志性建筑．为传承酒泉文明、弘扬民族精神，某校“综合与实践”小组开展了测量钟鼓楼(如图2)高度的实践活动，请你帮他们完成下面的实践报告．图1测量钟鼓楼高度的实践报告活动课题测量钟鼓楼高度活动目的运用三角函数知识解决实际问题活动工具测角仪、皮尺等测量工具方案示意图测量步骤如图2，(1)利用测角仪站在B处测得钟鼓楼最高点P的仰角为39°；(2)前进了16米到达A处(选择测点A，B与O在同一水平线上，A，B两点之间的距离可直接测得，测角仪高度忽略不计)，在A处测得钟鼓楼最高点P的仰角为56°.参考数据sin39°≈0.6，cos39°≈0.8，tan39°≈0.8，sin56°≈0.8，cos56°≈0.6，tan56°≈1.5计算钟鼓楼PO的高度．(结果保留整数)图2解：由题意，得PO⊥OB，AB＝16，设OA＝x，则OB＝OA＋AB＝x＋16，在Rt△AOP中，∠OAP＝56°，∴OP＝OA·tan56°≈1.5x，在Rt△BOP中，∠PBO＝39°，∴OP＝OB·tan39°≈0.8(x＋16)，∴1.5x＝0.8(x＋16)，解得x≈18.3，∴OP＝1.5x＝1.5×18.3＝27.4≈27，答：钟鼓楼的高度PO约为27米．16图23.【综合与实践】数学活动课上为了测量学校旗杆的高度，某小组进行了以下实践活动：(1)准备测量工具①测角仪：把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪(图1)，利用它可以测量仰角或俯角；②皮尺．(2)实地测量数据①将这个测角仪用手托起，拿到眼前，使视线沿着测角仪的直径刚好到达旗杆的最高点(图2)；②用皮尺测出所站位置到旗杆底部的距离为16.8m，眼睛到地面的距离为1.6m.(3)计算旗杆高度①根据图3中测角仪的读数，得出仰角α的度数为________；35°②根据测量数据，画出示意图4，AB＝1.6m，BC＝16.8m，求旗杆CD的高度(精确到0.1m)；(参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43)解：由题意得：四边形ABCE是矩形，∴CE＝AB＝1.6m，AE＝BC＝16.8m，∴在Rt△EDA中，tan∠DAE＝tan35°，∵tan∠DAE＝

，∴DE＝AE·tan35°≈16.8×0.70＝11.76m，∴CD＝DE＋CE＝11.76＋1.6≈13.4m，答：旗杆CD的高度约为