空间向量与向量运算（第一课时）课件-高二上学期北师大版数学选择性

§2空间向量与向量运算第三章第三章：空间向量与立体几何§2.1从平面向量到空间向量§2.2空间向量的运算1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的表示方法，体现数学抽象能力（重难点）2.理解共线向量、共面向量的概念，体现数学抽象能力（重难点）3.理解并掌握空间向量加减、数乘运算及满足的运算律，体现逻辑推理能力（重点）学习目标我们曾通过力和位移引入了平面向量，事实上，力和位移都是空间中的概念，如图，在天平中，左、右两个秤盘均被3根细绳均匀地固定在横梁上，在其中一个秤盘中放入质量为1kg的物品，在另一个秤盘中放入质量为1kg的砝码，天平平衡．3根细绳通过秤盘分担对物品的拉力（拉力分别为F1，F2，F3），这些力在同一平面内吗？显然不在同一平面内新课导入一、空间向量的概念1.定义：在空间中，我们把具有大小和方向的量叫作空间向量．2.长度（模）：向量的大小叫作向量的长度或模探索新知3.表示方法（1）用有向线段表示：（3）用小写字母a，b，c…表示:书写用，，…表示．记作：||或|a|（2)用有向线段的起点和终点字母表示；例如，以点A为起点，点B为终点的有向线段可以表示一个向量，记作向量（4）坐标表示一、空间向量的概念探索新知4.几类常见的向量相等向量：方向相同且模相等的向量。自由向量：数学中所研究的向量，与向量的起点无关，相反向量：方向相反且模相等的向量互为相反向量。

向量a的相反向量用-a表示.零向量：我们规定模为0的向量叫作零向量，记为0，零向量的起点与终

点重合，零向量的方向为任意方向.共线向量：当表示向量的两条有向线段所在的直线平行或重合时，

称这两个向量互为共线向量（或平行向量）．特殊情况：相等向量与相反向量都是共线向量的特殊情况记作a∥b∥c规定：零向量与任意向量平行．共面向量：当表示向量a的有向线段所在直线平行于平面α或在平面α内时，就说向量a平行于平面α，记作a∥α．通常，我们把平行于同一平面的向量，叫作共面向量．特殊情况：共线向量是共面向量的一种特例．一、空间向量的概念探索新知4.几类常见的向量注意：空间中任意两个向量一定共面，空间中任意三个向量可能是共面的，也可能是不共面的．能平移到同一平面内的三个向量叫做共面向量．例如，在如图的长方体中，向量

，

，

均平行于平面，是共面向量，而向量

，

，

不是共面向量．典例讲解

思考交流：在平面向量的基础上研究空问向量,一个很自然的问题就是平面向量的哪些内容可以推广到空间向量.请回顾平面问量的所有运算,并尝试填写表格.（课本P99）平面向量的运算定义法则性质是否可推广到空间向量，为什么？加法减法复习回顾求两个向量和的运算向量a加上向量b的相反向量三角形法则、平行四边形法则三角形法则交换律结合律可以，因为空间中任意两个向量都可以平移到一个平面内1.空间向量的加法的概念已知空间向量a，b，过空间任意一点A作

，

，再作向量

，如图.把向量

叫作空间向量a，b的和．求空间向量和的运算叫作空间向量的加法．即这个求两个空间向量和的法则，叫作向量求和的三角形法则．探索新知二、空间向量的运算当空间向量a，b不平行时，过空间任意一点O作

，

，这时O，A，B三点不共线，在平面内，以OA，OB为邻边作▱ABCD．因为

，所以也有由此可见，平面向量求和的平行四边形法则，对空间向量同样适用．由此可证：空间向量的加法满足交换律.1.空间向量的加法的概念探索新知二、空间向量的运算以平行六面体ABCD-A´B´C´D´为例(如图)加以说明.一方面，另一方面，所以结论：空间向量满足结合律2.空间向量的加法的运算律探索新知二、空间向量的运算加法交换律:加法结合律：a+b=b+aa+(b+c)=(a+b)+c已知空间向量a，b，空间向量a，b的差也可以定义为a+(-b)记作a-b，其中-b是b的相反向量．如图(1)中，a-b=满足交换律如图(2)中，

是

的相反向量，所以3.空间向量的减法及减法的运算律探索新知二、空间向量的运算典例讲解A

D

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

A.①②

B.②③

C.③④

D.①④4.空间向量的数乘运算及运算律探索新知二、空间向量的运算（1）定义：与平面向量类似，实数λ与空间向量a的乘积仍然是一个向量，记作λa.求实数与空间向量的乘积的运算称为空间向量的数乘运算.数乘的几何意义：1.当λ>0时，向量λa与向量a的方向相同2.当λ<0时，向量λa与向量a的方向相反3.当λ=0时，λa=04.|λa|=|λ||a|特殊的，对于任意一个非零向量a,当λ=时，λa=表示与向量a同方向的单位向量.（2）空间向量数乘的运算律1.结合律：λ(μa)＝(λμ)a2.分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μaλ(a＋b)＝λa＋λb其中λ∈R，μ∈R4.空间向量的数乘运算及运算律探索新知二、空间向量的运算思考：两个空间向量共线的充要条件是什么？（3）共线向量基本定理：空间两个向量a，b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a=λb.(也称“一维向量基本定理”)共线向量基本定理注意的问题：1.向量共线等价于向量平行；3.该定理在用于证明直线平行时，需要注意排除重合的情况．2.验证过程中对b≠0的约束；思考交流：任意给定两个不共线的向量a，b，若存在实数x，y，使得向量c＝xa＋yb，则向量c与a，b是否为共面向量？根据平面向量基本定理：若向量a，b是平面α内两个不共线的向量，则α内任意一个向量c，存在唯一的有序实数对(x,y)，使得：c=xa+yb．4.空间向量的数乘运算及运算律探索新知二、空间向量的运算三个向量共面的充要条件例3：如图，知平行六面体ABCD-A´B´C´D´，化简下列向量表达式，并在图中标出化简后的结果所对应的向量．典例讲解化简后，所对应的向量如图

典例讲解

典例讲解方法总结

利用线性运算进行向量表示的技巧（1）数形结合:利用线性运算解题时，