第三章第一节平面直角坐标系与函数

第三章函数第一节平面直角坐标系与函数章前复习导图解决问题应用研究函数的一般路径平面直角坐标系与函数坐标系中点的特征函数的初步认识一次函数反比例函数二次函数函数解析式图象性质图象平移与方程(组)、不等式的关系①增减性；②对称性；③最值建模思想数形结合思想函

数函数的应用坐标系中的距离函数的初步认识函数的概念及表示方法函数自变量的取值范围节前复习导图平面直角坐标系与函数平面直角坐标系中点的坐标特征点的坐标特征对称点的坐标特征点的平移坐标特征平面直角坐标系中的距离点到坐标轴及原点的距离垂直于y轴的两点距离垂直于x轴的两点距离教材知识逐点过考点1平面直角坐标系中点的坐标特征(6年2考)1.

点的坐标特征各象限内

点A(x，y)第一象限：x＞0，y＞0第二象限：

⁠第三象限：

⁠第四象限：

⁠坐标轴上

点M1在x轴上：y1＝

⁠点M2在y轴上：x2＝

⁠原点的坐标：

⁠x＜0，y＞0x＜0，y＜0x＞0，y＜000(0，0)各象

限角

平分线上

点A1(x1，y1)在第一、三象限角平分线上，则x1＝

y1点A2(x2，y2)在第二、四象限角平分线上，则x2

＝

⁠垂直

于坐

标轴的直线上

垂直于y轴的直线l1上的点的

⁠坐标相同垂直于x轴的直线l2上的点的

⁠坐标相同－y2纵横2.

对称点的坐标特征点P的坐标对称方式对称后点P'的坐标口诀P(a，b)关于x轴对称P'(a，－b)关于谁(x轴或y轴)对称谁不变，另一个变号关于y轴对称P'

⁠关于原点对称P'

⁠横、纵坐标都变号关于直线y＝x对称P'(b，a)横、纵坐标互换关于直线y＝－x对称P'(－b，－a)横、纵坐标互换且都

变号(－a，b)

(－a，－b)

【知识拓展】(1)点(a，b)关于直线x＝m对称的点的坐标为(2m－a，b)；(2)点(a，b)关于直线y＝n对称的点的坐标为(a，2n－b).3.

点的平移坐标特征点P的坐标平移方式(a＞0，b＞0)平移后点P'的坐标口诀P(x，y)向左平移a个单位长度(x－a，y)横坐标：左减右加向右平移a个单位长度(

，y)向上平移b个单位长度(x，y＋b)纵坐标：上加下减向下平移b个单位长度

⁠x＋a

(x，y－b)考点2平面直角坐标系中的距离 点到坐标轴及

原点的距离

点P(a，b)到x轴的距离为

，到y轴

的距离为

，到原点的距离

为

⁠垂直于y轴的两

点距离

垂直于y轴的直线l：y＝b上的两点P1(x1，

b)，P2(x2，b)间的距离是｜x1－x2｜垂直于x轴的两

点距离

垂直于x轴的直线l：x＝a上的两点P1(a，

y1)，P2(a，y2)间的距离是｜y1－y2｜｜b｜

｜a｜

2.

点P(a，b)到平行于坐标轴的直线的距离：(1)点P到直线x＝m的距离为｜a－m｜；(2)点P到直线y＝n的距离为｜b－n｜考点3函数的初步认识1.

函数的概念及表示方法概念一般地，在一个变化过程中的两个变量x与y，如果对于x的每

一个值，y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，

x是自变量表示方法(1)解析式法；(2)列表法；(3)图象法画函数图象的一般步骤(1)列表；(2)描点；(3)连线2.

函数自变量的取值范围函数表达式的形式自变量的取值范围含有分式y＝

⁠含有二次根式y＝

⁠已学习函数y＝2x，y＝3x＋1

⁠y＝

⁠y＝x2

⁠x≠2x≥0x取全体实数x≠0x取全体实数基础题对点练1.

[北师八上例题改编]在平面直角坐标系中，已知点A(2－a，3a＋1).(1)若点A在x轴上，则a的值为

⁠；(2)若点A在第一象限，则a的取值范围是

⁠；(3)若点B的坐标为(5，－1)，且直线AB∥y轴，则点A的坐标为

⁠

⁠；(4)若点A在第一、三象限的角平分线上，则a的值为

⁠.

(5，－8)

2.

[人教七下例题改编]在平面直角坐标系中，已知点A(3，2).请完成下

列问题.(1)点A关于x轴对称的点A1的坐标为

；关于y轴对称的点A2

的坐标为

⁠；(2)点A关于原点对称的点的坐标为

⁠；(3)点A关于直线x＝2对称的点的坐标为

，关于直线y＝－1对

称的点的坐标为

⁠.(3，－2)

(－3，2)

(－3，－2)

(1，2)

(3，－4)

3.

[人教七下例题改编]在平面直角坐标系中，已知点M(－2，3).请完成

下列问题.(1)将点M向左平移2个单位长度得到的点的坐标为

⁠；(2)将点M先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的点

的坐标为

⁠.(－4，3)

(2，4)

4.

[人教七下例题改编]在平面直角坐标系中，点P的坐标为(1，2).请完

成下列问题：(1)点P到x轴的距离为

⁠；(2)点P到y轴的距离为

⁠；(3)点P到原点的距离为

⁠；(4)已知点Q(4，2)，则点P与点Q的距离为

⁠；(5)已知点Q(1，－3)，则点P与点Q的距离为

⁠.2

1

3

5

x≥2

x≠3

教材变式过重点分析判断函数图象教材原题例

冀教八下P79第2题如图，在△ABC中，BC＝16，高AD＝10.动点C'由点C沿CB向点B移

动(不与点B重合).设CC'的长为x，△ABC'的面积为S.

(1)在这个过程中，哪些量是常量，哪些量是变量？解：(1)在这个过程中，边BC的长和高AD的长是常量，CC'的长和△ABC'的面积是变量；如图，在△ABC中，BC＝16，高AD＝10.动点C'由点C沿CB向点B移动(不与点B重合).设CC'的长为x，△ABC'的面积为S.

(2)请写出S与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围.

方法梳理1.

分析题干信息：通过研究对象不同的运动状态，判断函数图象的分段

数，并判断不同段函数的上升下降趋势；2.

找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，在图象中找相

对应的点，将坐标转化为实际意义；3.

拐点：图象上的拐点既是前一段函数的终点，又是后一段函数的起

点，反映函数图象在这一时刻开始发生变化；4.

水平线：函数值随自变量的变化而保持不变；5.

交点：表示两个函数的自变量与函数值分别对应相等，这个交点是函

数值大小关系的“分界点”.变式题1.

改为讨论△ADC'的面积如图，在△ABC中，CD＝3，BD＝AD＝5，且AD⊥BC，动点C'由点

C沿CB向点B移动(不与点B重合).设CC'的长为x，△ADC'的面积为S.

(1)S与x的关系的图象大致是(

A

)A

如图，在△ABC中，CD＝3，BD＝AD＝5，且AD⊥BC，动点C'由点C沿CB向点B移动(不与点B重合).设CC'的长为x，△ADC'的面积为S.

(2)嘉嘉认为，在点C的运动过程中，对于任意S的值，总是存在两个不同

的x值与之对应，请你分析嘉嘉的说法是否正确，并说明理由.解：(2)嘉嘉的说法错误，理由：当C'D＞CD时，对于S的值，只有1个x值与之对应.河北中考真题精选分析判断函数图象(2024.14)命题点1

D

BA.甲车在立交桥上共行驶9

sB.

从F口出比从G口出多行驶40

mC.甲车从F口出，乙车从G口出D.立交桥总长为120

m

点坐标的变化(2024.16)命题点23.

(2024河北16题)平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且

横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”.将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵

坐标之和除以3所得的余数(当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上

平移；当余数为2时，向左平移)，每次平移1个单位长度.

若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点Q16(－1，9)，则点Q

的坐标为(

D

)A.

(6，1)或(7，1)B.

(15，－7)或(8，0)C.

(6，0)或(8，0)D.

(5，1)或(7，1)D【解析】由题意得，当“和点”横、纵坐标之和除以3的余数为0时，则

该“和点”先向右平移，再向上平移，之后向左平移、向上平移循环；

当“和点”横、纵坐标之和除以3的余数为1时，则该“和点”先向上平

移，之后向左平移、向上平移循环；当“和点”横、纵坐标之和除以3的

余数为2时，则该“和点”向左平移、向上平移循环.设“和点”Q的坐

标为(m，n)，若(m＋n)÷3的余数为0，则Q2(m＋1，n＋1)，∵Q2分别

向左平移7次、向上平移7次得到Q16(－1，9)，∴m＋1－7＝－1，n＋1

＋7＝9，解得m＝5，n＝1，∴Q(5，1)；若(m＋n)÷3的余数为1，则Q1(m，n＋1)，∵Q1分别向左平移8次、向上

平移7次得到Q16(－1，9)，∴m－8＝－1，n＋1＋7＝9，解得m＝7，n

＝1，(m＋n)÷