第四单元第4节全等相似三角形

大单元复习第四单元

三角形全等、相似三角形全等、相似三角形第3节第4节三角形特殊三角形第2节一般三角形第5节几何测量问题第1节相交线与平行线第4节单元复习规划目录以题练考点考向精练课堂小结

小明把一块三角形的模具在移动过程中不慎打碎成了三块，现在需要重新定做，你有什么办法呢？你知道他们应用的什么原理？制作出来的模具和原来的模具之间是什么关系？

只要量出任意两个角的角度和它们的夹边的长度，我就能做出跟它形状一样，任意大小的模具！小琰我只用碎片③就可以做出和原来一模一样的模具！

小梅以题练考点

如图为小梅和小琰分别用上述方法制作出来的两对三角形模具，之后他们又进行了一系列的探究活动：CBADEFCBADEF活动探究1将△ABC和△DEF按如图摆放，使点B，E，C，F在同一直线上，AC交DE于点H，已知∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE，BE＝CF.(1)求证：△ABC≌△DEF，并写出依据；证明：∵BE＝CF，∴BE＋EC＝CF＋EC，即BC＝EF.在△ABC和△DEF中,∴△ABC≌△DEF(ASA).依据：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.

将△ABC和△DEF按如图摆放，使点B，E，C，F在同一直线上，AC交DE于点H，已知∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE，BE＝CF.(2)若BE≠CF，则△ABC和△DEF是什么关系，请说明理由．解：△ABC∽△DEF.理由：两角分别相等的两个三角相似．条件示意图全等相似两角

两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(ASA)两角分别相等的两个三角形相似

两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS)

活动探究2

将△ABC和△DEF按如图所示放置．(1)若AB＝DE，AC＝EF，请添加一个条件，使得△ABC≌△EDF，并写出证明过程及依据；解：添加条件：∠A＝∠FED，理由如下：

在△ABC和△EDF中，∴△ABC≌△EDF(SAS)，依据：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；一题多解：也可以利用三边分别相等.(2)若

，请添加一个条件，使得△ABC∽△EDF，并写出证明过程及依据．添加条件：∠A＝∠FED，理由如下：∵，∠A＝∠FED，∴△ABC∽△EDF，依据：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．一题多解：也可利用三边对应成比例.条件示意图全等相似两边一角两边及其夹角分别相等的两个三角形全等(SAS)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似三边三边分别相等的两个三角形全等(SSS)三边成比例的两个三角形相似≌∽≌∽活动探究3将△ABC和△DEF按如图所示放置，且点A，E，B，D在同一直线上，且EF与BC交于点G，若AE＝BD，EG＝BG，∠C＝∠F.(1)求证：CG＝FG.证明：∵AE＝BD，∴AE＋BE＝BD＋BE，即AB＝DE.∵EG＝BG，∴∠FED＝∠CBA.在△ABC和△DEF中，∵BG＝EG，∴CG＝FG.∴△ABC≌△DEF(AAS)，∴BC＝EF.活动探究3

(2)连接CF，你能从图中能找出相似三角形吗？并写出证明过程.△ABC≌△DEF由(1)知CG＝FG，

∴∠GCF＝∠GFC.∵∠FED＝∠CBA，∠CGF＝∠BGE,∴∠GCF＝∠GFC＝∠FED＝∠CBA.

∴△BGE∽△CGF（两角分别相等的两个三角形相似）.△BGE∽△CGF，理由如下：活动探究4

将△ABC和△DEF按如图所示放置，且点D，B，E，A在同一直线上.延长CB交DF于点H，延长FE交AC于点I，CH∥FI，EI＝BH，AB＝DE.(1)求证：∠A＝∠D；证明：∵CH∥FI，∴∠CBA＝∠DEF.∵∠CBA＝∠DBH，∠DEF＝∠AEI，∴∠DBH＝∠AEI.∵AB＝DE，∴AB－BE＝DE－BE.则AE＝BD.∴△AIE≌△DHB(SAS).∴∠A＝∠D；在△AIE和△DHB中，(2)若BE＝2BD，求

的值．解：∵CH∥FI，∴∠DBH＝∠DEF，∠DHB＝∠DFE，∴△DBH∽△DEF.∵BE＝2BD，∴.CH∥FI，EI＝BH，AB＝DE活动探究4

△DBH∽△DEF，△AEI∽△ABC，△DBH∽△ABC，△AEI∽△DEF.(3)你能从图中找出哪几对相似三角形？活动探究4

CH∥FI，EI＝BH，AB＝DE你知道依据吗？对应关系全等三角形相似三角形角相等相等边

相等

成比例，等于相似比

对应线段：中线、高线、角平分线、中位线、周长面积相等等于相似比的平方全等、相似三角形的性质1.(2025黑龙江绥化)两个相似三角形的最长边分别是10cm和6cm，并且它们的周长之和为48cm，那么较小三角形的周长是()BA．14cmB．18cmC．30cmD．34cm考向精练2.(2025青海)工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，即CM＝CN，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线，这种做法的依据是()A．AASB．SASC．SSSD．ASAC3.(2025四川眉山)如图，在平面直角坐标系中，用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案，若OA＝1，∠OAB＝90°，则点G的坐标为

.

【点拨】：①根据相似三角形的性质可得∠AOB＝360°÷12＝30°，②然后在Rt△AOB中，利用锐角三角函数的定义可得OB＝

OA，③最后从数字找规律，得到OG＝

OA进行计算，即可解答．解：∵∠BAF＝∠EAD，∴∠BAF－∠CAF＝∠EAD－∠CAF，∴∠BAC＝∠FAD.4.(2025河北)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，AC＝AD，∠ACB＝∠ADB，点F在ED上，∠BAF＝∠EAD．(1)求证：△ABC≌△AFD；在△ABC和△AFD中，∴△ABC≌△AFD(ASA).4.(2025河北)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，AC＝AD，∠ACB＝∠ADB，点F在ED上，∠BAF＝∠EAD．(2)若BE＝FE，求证：AC⊥BD．由(1)得△ABC≌△AFD，∴AB＝AF.∵BE＝FE，∴AE⊥BF，即AC⊥BD．5.(2025黑龙江)已知：如图，△ABC中，AB＝AC，设∠BAC＝α，点D是直线BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A顺时针旋转α至AE，连接DE、BE，过点E作EF⊥BC，交直线BC于点F．探究如下：(1)若α＝60°时，如图①，点D在CB延长线上时，易证：BF＝DF+BC；如图②，点D在BC延长线上时，试探究线段BF、DF、BC之间存在怎样的数量关系，请写出结论，并说明理由．(1)若α＝60°时，如图①，点D在CB延长线上时，易证：BF＝DF+BC；证明：∵AB＝AC，∠BAC＝α＝60°，∴△ABC是等边三角形.∴∠ABC＝∠BCA＝∠ACB＝60°.∵∠BAC＝∠EAD＝α＝60°，∴∠BAC+∠BAD＝∠EAD+∠BAD，即∠BAE＝∠CAD.AB＝AC，EF⊥BC你知道怎么证明BF＝DF+BC吗？(1)若α＝60°时，如图①，点D在CB延长线上时，易证：BF＝DF+BC；在△ABE和△ACD中，∴△ABE≌△ACD(SAS).∴BE＝CD，∠ABE＝∠ACD＝60°.∴∠EBF＝180°－∠ABE－∠ABC＝180°－60°－60°＝60°.AB＝AC，EF⊥BC(1)若α＝60°时，如图①，点D在CB延长线上时，易证：BF＝DF+BC；∵EF⊥BC，∴∠EFB＝90°.∴在Rt△BEF

中，.∵CD＝BF＋DF＋BC，CD＝BE＝2BF，∴2BF＝BF＋DF＋BC.∴BF＝DF＋BC；AB＝AC，EF⊥BC解：BF＝DF－BC，理由如下：∵AB＝AC，∠BAC＝α＝60°，∴△ABC是等边三角形.∴∠ABC＝∠BCA＝60°.∴∠ACD＝180°－∠BCA＝120°.∵∠BAC＝∠EAD＝α＝60°，∴∠BAC－∠EAC＝∠EAD－∠EAC，即∠BAE＝∠CAD.如图②，点D在BC延长线上时，试探究线段BF、DF、BC之间存在怎样的数量关系，请写出结论，并说明理由．AB＝AC，EF⊥BC如图②，点D在BC延长线上时，试探究线段BF、DF、BC之间存在怎样的数量关系，请写出结论，并说明理由．AB＝AC，EF⊥BC在△ABE和△ACD中，∴△ABE≌△ACD(SAS).∴BE＝CD，∠ABE＝∠ACD＝120°.∴∠EBF＝∠ABE－∠ABC＝120°－60°＝60°.∵EF⊥BC，∴∠EFB＝90°.如图②，点D在BC延长线上时，试探究线段BF、DF、BC之间存在怎样的数量关系，请写出结论，并说明理由．∴在Rt△BEF

中，.∵CD＝BD－BC＝BF＋DF－BC，

CD＝BE＝2BF，∴2BF＝BF＋DF－BC.∴BF＝DF－BC；AB＝AC，EF⊥BC(2)若α＝120°，点D在CB延长线上时，如图③，猜想线段BF