第三章第九节二次函数的实际应用

第三章函数第九节二次函数的实际应用教材变式过重点二次函数的实际应用教材原题

解得x1＝10，x2＝－2(不符合题意，舍去)，答：铅球被推出的水平距离为10

m；

变式题1.

改为一次函数与二次函数结合下列是王老师对羽毛球比赛某次击球线路的分析：如图，在平面直角坐

标系中，点A在x轴上，球网AB与y轴的水平距离OA＝3

m，击球点P

在y轴上.若选择扣球，羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)近似满足

一次函数关系y＝－0.4x＋2.8；若选择吊球，羽毛球的飞行高度y(m)与

水平距离x(m)近似满足二次函数关系y＝a(x－1)2＋3.2(a≠0).(1)求击球点P的坐标和a的值；解：(1)对于一次函数y＝－0.4x＋2.8，令x＝0，则y＝2.8，∴P(0，2.8)，∴将点P的坐标代入二次函数y＝a(x－1)2＋3.2中，得a(0－1)2＋3.2＝2.8，∴a＝－0.4；若选择扣球，羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)近似满足一次函数

关系y＝－0.4x＋2.8；若选择吊球，羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离

x(m)近似满足二次函数关系y＝a(x－1)2＋3.2(a≠0).(2)王老师分析发现，上面两种击球方式均能使球过网，且对手在点C处

接球更容易出现失误(点C在x轴上，且CA＝2

m)，要使羽毛球的落地点

到点C的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式.

教材原题例2

人教九上P57第7题如图，用一段长为30

m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18

m.这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？解：设矩形垂直于墙的一边长为x

m，菜园的面积为y

m2，则平行于墙的一边长为(30－2x)m，∵墙长为18

m，∴30－2x≤18，解得x≥6，∵30－2x＞0，∴x＜15，∴6≤x＜15，

变式题2.

改为根据自变量的取值范围求面积最大值某村施工人员想利用如图所示的直角墙角，再用30米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD，如果DA，DC所在两面墙体均足够长，设AB＝x米，花园的面积为y平方米.(1)求矩形花园面积的最大值及此时AB的长；解：(1)依题意得y＝x(30－x)＝－x2＋30x＝－(x－15)2＋225，∵－1＜0，∴当x＝15时，y有最大值225，∴矩形花园面积的最大值为225平方米，此时AB的长为15米；用30米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD，如果DA，DC所在两面墙体均足够长，设AB＝x米，花园的面积为y平方米.(2)若位于矩形花园中的点P处有一棵古树，且点P到墙体DA，DC的距

离分别是8米、16米，现要求古树P与篱笆的距离不小于2米，(1)中矩形

的花园面积的最大值会改变吗？如果不变，请说明理由；如果改变，求

出最大值.

教材原题例3

人教九上P51第2题某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出

(100－x)件，应如何定价才能使利润最大？解：设利润为w元，根据题意，得w＝(x－30)(100－x)＝－(x－65)2＋1

225，∵－1＜0，x＜100，∴当x＝65时，w有最大值，答：以每件65元售出，才能使利润最大.变式题3.

文字信息改为图象信息某商家以每件30元的价格购进一批商品，并规定每件商品的售价不得少

于35元，月销售量y(件)与该商品每件的售价x(元)之间的关系如图所示.(1)若每月销售这种商品100件，求每件商品的售价为多少元？

解得x＝50，答：每件商品的售价为50元；某商家以每件30元的价格购进一批商品，并规定每件商品的售价不得少于35元，月销售量y(件)与该商品每件的售价x(元)之间的关系如图所示.(2)某月销售量不低于90件，小琪说：“当月销售利润最大时，月销售量

也是最大.”小佳说：“当月销售利润不低于1

650元时，每件商品的售价

x的取值范围为45≤x≤85.”请你选择其中一个说法，通过计算说明该说

法是否正确？解：(2)选择小琪的说法：设月销售利润为w元，根据题意，得w＝(x－30)(－2x＋200)＝－2(x－65)2＋2

450，∵－2＜0，∴当x＜65时，w随x的增大而增大，y随x的增大而减小，∵规定每件商品的售价不得少于35元，月销售量不低于90件，∴易得35≤x≤55，∴当月销售利润最大时，月销售量最小，∴小琪的说法错误；或选择小佳的说法：设月销售利润为w元，根据题意，得w＝(x－30)(－2x＋200)＝－2(x－65)2＋2

450，令w≥1

650，解得45≤x≤85，∵规定每件商品的售价不得少于35元，月销售量不低于90件，∴易得45≤x≤55，∴当月销售利润不低于1

650元时，每件商品的售价x的取值范围为45≤x≤55，∴小佳的说法错误.(任选其一即可)河北中考真题精选二次函数的实际应用(6年2考)命题点1.

(2024河北23题)用承重指数W衡量水平放置的长方体木板的最大承重

量，实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板，实验发现：木板

承重指数W与木板厚度x(厘米)的平方成正比，当x＝3时，W＝3.(1)求W与x的函数关系式；

实验发现：木板承重指数W与木板厚度x(厘米)的平方成正比，当x＝3时，W＝3.(2)如图，选一块厚度为6厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚

不同的两块板(不计分割损耗).设薄板的厚度为x厘米，Q＝W厚－W薄.①求Q与x的函数关系式；

实验发现：木板承重指数W与木板厚度x(厘米)的平方成正比，当x＝3时，W＝3.(2)如图，选一块厚度为6厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板(不计分割损耗).设薄板的厚度为x厘米，Q＝W厚－W薄.②x为何值时，Q是W薄的3倍？[注：(1)及(2)中的①不必写x的取值范围]解：②若Q＝3W薄，则有12－4x＝x2，即x2＋4x－12＝0，解得x1＝2，x2＝－6(不符合题意，舍去)，∴当x＝2时，Q是W薄的3倍.2.

(2024河北23题)嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏.某同学借此情境编制了一道

数学题，请解答这道题.

解：(1)∵抛物线y＝a(x－3)2＋2的顶点坐标为(3，