第六章反比例函数（必 备知识6大易错易错训练）（知识清单）数学北师大版九年级上册（含解析）

答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页第六章反比例函数（必备知识6大易错易错训练）（知识清单）数学北师大版九年级上册学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．若是反比例函数，那么的值是．2．若反比例函数的图象位于第一、第三象限，则k的取值范围是．3．若函数的图象在每个象限内的值随值的增大而减小，则的取值范围是．二、单选题4．受到压力为（F为常数）的物体，所受的压强与受力面积的函数表达式为，则这个函数的图象为（）A． B． C． D．5．如图，两个反比例函数和（其中）在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，下列说法正确的是（

）①与的面积相等；②四边形的面积始终等于矩形面积的一半，且为；③与始终相等；④当点A是的中点时，点一定是的中点A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④三、解答题6．如图，在坐标系中有一矩形，满足，，点为上一点，关于折叠得到，点落于边上．

(1)求的长度；(2)若关于的反比例函数图象经过点，与另一交点记为点；①求该反比例函数解析式；②在上有一动点，当点坐标为多少时，的周长最小？四、单选题7．若函数是反比例函数，则m的值为（

）A．0 B．1 C．或1 D．或8．若双曲线的图像分布在第二、四象限，则的取值范围是（

）A． B． C． D．9．反比例函数的图像在每一个象限内，都随的增大而增大，则的取值范围是（）A． B． C． D．10．如图，已知两个反比例函数和在第一象限内的图象，设点P在上，轴于点C，交于点轴于点D，交于点B，则四边形的面积为（

）A． B． C． D．11．学校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地．根据物理学原理，当人和木板对湿地的压力（单位：N）一定时，人和木板对地面的压强（单位：）是木板面积S（单位：）的反比例函数，它的图象如图所示．下列说法正确的是（

）A．当时， B．当时，C．当时， D．当时，12．如图所示，正方形与（其中边，分别在，轴的正半轴上），公共点在反比例函数的图象上，直线与，轴分别相交于点，．若两个正方形的面积之和是，且，则的值是（

）A．5 B．4 C．3 D．2五、填空题13．已知函数是关于的反比例函数，则的值为．14．若反比例函数的图象的分支位于第一、三象限，则的取值范围是．15．已知两点在双曲线上，且，则m的取值范围是．16．在恒温下，气体对汽缸壁的压强p（）与汽缸内气体体积V（）的函数关系如图所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了mL．17．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C，P为y轴上一点，连接、，则的面积为．18．如图，平行四边形的顶点O为坐标原点，点C在x轴上，坐标为，双曲线经过点A和的中点D，连接，，则．六、解答题19．如图，点在双曲线上，点在双曲线之上，且轴，，在轴上，若四边形为矩形，求它的面积．20．已知函数(1)若y是x的正比例函数，求m的值．(2)若y是x的反比例函数，求m的值．21．已知反比例函数的图象位于第一、三象限．(1)求k的取值范围；(2)若，此函数的图象经过第一象限的两点，，且，求a的取值范围．22．已知反比例函数（为常数）．(1)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求的取值范围；(2)当时，随的值增大而减小，求的取值范围．23．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点的坐标为，顶点的坐标为，对角线轴，边所在的直线与反比例函数的图象在第一象限内交于点．(1)求和的函数表达式．(2)是x轴上一动点，当是以为斜边的直角三角形时，点的坐标为_______．24．某品牌热水器中，原有水的温度为，开机通电，热水器启动开始加热（加热过程中水温与开机时间分钟满足一次函数关系），当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降（水温下降过程中水温与开机时间分钟成反比例函数关系）．当水温降至时，热水器又自动以相同的功率加热至重复上述过程，如图所示，当开机时间为分钟时，水温第一次由降至．(1)当时，水温与开机时间分钟的函数表达式．(2)求的值．(3)求开机50分钟时热水器中水的温度．25．如图，已知点在y轴上，在x轴上，以为边在第一象限内作正方形，此时反比例函数在第一象限内的图象恰好经过点C，D．(1)直接写出：点D的坐标，；(2)将正方形绕点B按顺时针方向旋转，当点C的对应点落在x轴上时，判断点D的对应点是否落在反比例函数的图象上，并说明理由．26．在矩形中，，．分别以，所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E．(1)若，当点F运动到边的中点时，①则点E的坐标为______；②连接、，则和的关系是______；(2)如图2，将沿折叠，点C恰好落在边上的点G处，若F是的三等分点，求此时反比例函数的解析式．《第六章反比例函数（必备知识6大易错易错训练）（知识清单）数学北师大版九年级上册》参考答案题号45789101112答案BBBBDDDC1．【分析】本题考查了反比例函数的概念：形如的函数，其中k为常数；掌握此概念是解题的关键；由题意知，结合即可求解．【详解】解：∵是反比例函数，∴且，解得：；故答案为：．2．【分析】本题主要考查反比例函数的图象．根据反比例函数的图象可列出不等式进行求解．【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一、第三象限，∴，∴；故答案为：．3．【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数是常数，的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一，三象限，在每一象限内，随的增大而减小；当，反比例函数图象的两个分支在第二，四象限，在每一象限内，随的增大而增大．根据反比例函数的增减性即可求解．【详解】解：∵函数的图像在每个象限内，随的增大而减小，，，故答案为：．4．B【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限；根据实际意义以及函数的解析式，可判断图象是双曲线，根据以及自变量的取值范围即可进行判断；【详解】，F为常数，的图象是双曲线，且双曲线的图象在第一、三象限，，双曲线的图象在一象限,故选：．5．B【分析】根据反比例函数系数所表示的意义，对①②③④分别进行判断．【详解】解：设A点坐标为，则P点坐标为，B点坐标为，①A、为上的两点，则，正确；②四边形的面积，只有时，即，四边形的面积始终等于矩形面积的一半才能成立，故选项错误；③只有当的横纵坐标相等时，，错误；④当点A是的中点时，即，即，此时点坐标为，即，，故当点A是的中点时，点一定是的中点，正确．故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，是经常考查的一个知识点．6．(1)(2)①；②【分析】（1）由四边形是矩形，所以，，，由折叠可知，，，所以；（2）①由折叠可知，，在中，由勾股定理可得，，所以，解之可得，将点代入反比例函数解析式可得，；②由待定系数法可得，，令，解得或，则；由折叠可知，，如图，延长至点，使得，则，连接交于点，点即为所求；利用待定系数法可得，，及直线的解析式，令，解得，则，时，的周长最小．【详解】（1）解：，，，，四边形是矩形，，，，，，关于折叠得到，，，；（2）①，，，由折叠可知，，在中，，，，，关于的反比例函数图象经过点，，该反比例函数解析式为；②设直线的解析式为：，，，，解得，，令，解得或，；；由折叠可知，，如图，延长至点，使得，则，连接交于点，点即为所求；

设直线的解析式为：，，解得，，同理可得直线的解析式为：，令，解得，，，即时，的周长最小．【点睛】本题属于反比例函数与一次函数交点问题，涉及待定系数法求函数解析式，矩形的性质，勾股定理，折叠问题，轴对称求最值问题等相关知识，熟练掌握待定系数法是解题关键．7．B【分析】本题考查了反比例函数的定义，熟悉的形式的反比例函数是解题的关键．根据反比例函数的定义解答即可．【详解】解：∵函数是反比例函数，∴，且，∴且，∴，故选：B．8．B【分析】本题考查反比例函数图像的分布与系数符号的关系，掌握反比例函数图像的分布规律是解题的关键．根据图像分布在第二、四象限。则，从而求解m的取值范围．【详解】解：双曲线的图像分布在第二、四象限，,．故选：B．9．D【分析】本题主要考查反比例函数的图像与性质，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解题的关键．由题意易得，然后进行求解即可．【详解】解：由题意得：，∴；故选：D．10．D【分析】本题考查了反比函数比例系数的几何意义，根据反比函数比例系数的几何意义得到，，然后利用矩形面积分别减去两个三角形的面积即可得到四边形的面积．【详解】解：∵点在上，轴于点，交于点轴于点，交于点，，，四边形的面积，故选：D．11．D【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确理解题意是解题的关键．根据函数图象结合各选项逐一判断即可．【详解】解：由函数图象得随的增大而减小，且满足反比例函数关系，A、当时，，不符合图象，错误；B、当时，，不符合图象，错误；C、，则当时，，错误；,D、，当时，，正确；故选：D．12．C【分析】本题主要考查了反比例函数的图形与性质，反比例函数的系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标的特征，利用线段的长度表示出点的坐标是解题的关键．设，，利用正方形的性质和相似三角形的判定与性质得到a，b的关系式，再利用求得a，b值，则点A坐标可求，最后利用待定系数法解答即可得出结论．【详解】解：设，，由题意得：，∵正方形与（其中边，分别在x，y轴的正半轴上）的公共顶点A在反比例函数的图象上，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故选：C．13．【分析】本题考查了反比例函数“一般地，形如（是常数，）的函数叫做反比例函数”，熟练掌握反比例函数的定义是解题关键．根据反比例函数的定义可得，由此即可得．【详解】解：∵函数是关于的反比例函数，∴，解得，故答案为：．14．【分析】本题考查反比例函数的图象，掌握反比例函数的系数与图象分布关系是解决问题的关键．根据反比例函数的图象可列出不等式进行求解．【详解】解：∵反比例函数的图象的分支位于第一、三象限，，．故答案为：．15．【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的增减性是解题的关键．先题意判断出反比例函数的图象所在的象限，故可得出的正负，进而确定m的取值范围．【详解】解：∵两点在双曲线上，且，∴反比例函数图象在二、四象限，∴，解得：．故答案为：．16．20【分析】本题考查反比例函数的实际应用，涉及从图象中获取信息、待定系数法确定函数关系式，数形结合，熟练掌握待定系数法确定函数关系式是解决问题的关键．根据题意压强p与汽缸内气体体积V成反比例函数，设，代入点可得，再求两种气压下对应气体体积即可求解．【详解】由图可知，气体对汽缸壁的压强p（）与汽缸内气体体积V（）成反比例函数关系，设，∵函数图象过点，∴，解得，∴，当时，，解得，当时，，解得，，气体体积压缩了L．故答案为：20．17．5【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，连接，可证明轴，得到；再由反比例函数比例系数的几何意义得到，则，据此可得答案．【详解】解：如图所示，连接，∵轴，∴轴，∴；∵点A在反比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上，∴，∴，∴，故答案为：．18．8【分析】过点D作于点E，延长交x轴于点F，延长交y轴于点M，过点B作轴于点N，根据，得出，根据，得出，求出A点的纵坐标为4，D点的纵坐标为2，证明，根据平行线分线段成比例，得出，得出，设，则，求出，根据两个点在反比例函数图像上，得出，求出m的值，得出答案即可．【详解】解：过点D作于点E，延长交x轴于点F，延长交y轴于点M，过点B作轴于点N，如图所示：∵点C在x轴上，坐标为，∴，∵四边形为平行四边形，∴，，∵，∴，即，解得：，∵为的中点，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∴A点的纵坐标为4，D点的纵坐标为2，∵轴，∴轴，∴，∵，∴四边形为矩形，∴，∴，即，∵，∴，∴，∴，设，则，∴，∴，∴，∵点A、D均在反比例函数的图像上，∴，解得：，∴．故答案为：8．【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何综合，矩形的判定和性质，平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．19．2【分析】本题主要考查了反比例函数中的几何意义，根据双曲线上的点向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积与的关系：即可判断，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义．【详解】解：延长交轴于，轴，垂直于轴，即，四边形为矩形，∴，，四边形为矩形，点在双曲线上，四边形的面积为1，，四边形为矩形，点在双曲线上，四边形的面积为3，矩形的面积为．20．(1)(2)【分析】该题考查了正比例函数和反比例函数的定义，掌握基本定义是解题的关键．（1）根据正比例函数的定义求解即可；（2）根据反比例函数的定义求解即可；【详解】（1）解：由题意得，，解得，；答：当时，是的正比例函数；（2）解：由题意得，，解得，；答：当时，是的反比例函数．21．(1)(2)【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的性质是解答的关键．（1）根据反比例函数的性质得到，进而解不等式即可求解；（2）根据反比例函数在第一象限内，y随x的增大而减小得到，进而解不等式即可求解．【详解】（1）解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限，∴，解得，即k的取值范围是；（2）解：∵反比例函数图象经过第一象限的两点，，且，∴，解得，又∵，∴a的取值范围是．22．(1)(2)【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，熟记反比例函数的图象和性质，是解题的关键：（1）根据反比例函数的图象位于第二、四象限，得到，求解即可；（2）根据时，随的值增大而减小，得到，求解即可．【详解】（1）解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限，∴，解得，∴的取值范围是；（2）∵反比例函数（为常数），当时，随的值增大而减小，∴，解得，∴的取值范围是．23．(1)，(2)或【分析】本题考查了一次函数的性质、菱形的性质、勾股定理的运用，掌握利用菱形对角线平行、边长相等的性质确定点的坐标以求解函数表达式，结合勾股定理列方程求轴上动点的坐标是解题的关键.（1）由图形的对称性知，点、关于对称，则点的坐标为，进而求解；（2）由，即，即可求解．【详解】（1）解：连接，如图，四边形为菱形，轴，由图形的对称性可知，点关于对称．又点B的坐标为，点C的坐标为，点的坐标为．将点的坐标分别代入，得解得．将点的坐标代入：，得，解得．故和的解析式分别为：，．（2）或，设点的坐标为．由点的坐标，得．由题意，得，即，解得．故点的坐标为或．24．(1)(2)(3)【分析】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数关系式，求反比例函数关系式，对于（1），将点代入关系式，解方程组求出解即可；对于（2），将点代入反比例函数求出关系式，再令可得答案；对于（3），先求出直线关系式，再求出时函数值即可.【详解】（1）解：当时，将点代入直线关系式，得，解得，∴直线关系式为；（2）解：将点代入反比例函数，得，解得，∴反比例函数.当时，（分），所以；（3）解：当时，直线的关系式为，将点代入