黑龙江省新时代高中教育联合体2025-2026学年高三上学期开学摸底考试数学试卷（二）（含解析）

答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页黑龙江省新时代高中教育联合体2025-2026学年高三上学期开学摸底考试数学试卷（二）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知复数满足，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知集合，则（

）A． B． C． D．3．已知向量，，且，则（

）A． B．1 C． D．24．已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（

）A．内含 B．相切 C．相交 D．外离5．已知定义在上的函数满足，且，都有，则，，的大小关系是（

）A． B．C． D．6．已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度可得到函数的图象，则下列结论正确的是（

）A．函数的最小正周期为 B．函数的最大值为C．函数是奇函数 D．函数在区间上单调递增7．如图，在正方体中，的中点为Q，过A，Q，三点的截面是（

）

A．三角形 B．矩形 C．菱形 D．梯形8．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，左右顶点分别为，过的直线l交C于A，B两点（异于点），的周长为，且直线AM与AN的斜率之积为，则椭圆C的标准方程为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，且是以1为公差的等差数列，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．10．某高中为了让同学们了解有关半导体芯片的内容，并同时增加同学们对芯片行业的兴趣，特地举办了一次半导体芯片知识竞赛，统计结果显示，学生成绩，其中不低于60分为及格，不低于80分为优秀，且优秀率为20%.若从全校参与竞赛的学生中随机选取5人，记选取的5人中知识竞赛及格的学生人数为，则（

）A．该知识竞赛的及格率为60% B．C． D．11．设函数，则（

）A．的单调递增区间为，B．有三个零点C．若关于x的方程有四个不同实根，则D．若对于恒成立，则三、填空题12．二项式的展开式中的常数项为（用数字作答）.13．在数列中，，数列的前n项和为，若，则数列的前n项和为．14．已知函数，若的图象上存在不同的两个点关于原点对称，则实数的取值范围为．四、解答题15．已知函数，.(1)若曲线在点处的切线与曲线也相切，求；(2)若，求的最小值.16．在2025年春晚《秧BOT》节目中，宇树科技的UnitreeH1“福兮”机器人采用人工智能（AI）驱动全身运动控制技术，能根据音乐旋律调整舞步，其最大关节扭矩高达360牛顿·米，节目播出后引发公众对机器人技术的兴趣和热情.为了了解不同性别的学生对AI的关注情况，某校随机抽取了90名学生，调查结果如表：性别关注不关注合计男5560女合计75(1)完成上述列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为学生对AI的关注与性别有关?(2)在这90名学生中随机抽取一位，若事件表示“该生关注AI”，事件表示“该生为女生”，求，，及的值.附：，其中.0.10.050.0250.010.0012.7063.8415.0246.63510.82817．如图，在四棱锥上，底面为直角梯形，，，平面平面，为的中点，是棱上的点（不含端点），，，.

(1)求证：平面平面；(2)若二面角大小为，求的值.18．已知双曲线：的离心率为，为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于P，Q两点，当轴时，.(1)求的方程；(2)过P作直线的垂线，垂足为N.（i）证明：直线过定点；（ii）求面积的最小值.19．在中，对应的边分别为.(1)求A；(2)奥古斯丁·路易斯·柯西，法国著名数学家柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式､柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.已知三维柯西不等式：，，当且仅当时等号成立.在（1）的条件下，若a＝3.（ⅰ）求：的最小值；（ⅱ）若P是内一点，过P作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F，设的面积为S，求的最小值.《黑龙江省新时代高中教育联合体2025-2026学年高三上学期开学摸底考试数学试卷（二）》参考答案题号12345678910答案CCCABDDAABCBD题号11答案ACD1．C【分析】根据复数的运算法则，求得，得到，结合复数的几何意义，即可求解.【详解】由复数，可得，可得，其在复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限.故选：C.2．C【分析】由对数函数单调性得到，即可求解.【详解】，所以．故选：C3．C【分析】根据向量平行列方程，从而求得.【详解】，由于，所以.故选：C4．A【分析】根据圆的方程确定圆心及半径，由两圆圆心距离与半径的关系判断位置关系.【详解】由题设，：，：，∴，半径；，半径；，∴，即两圆内含.故选：A5．B【分析】根据已知条件求得函数的对称轴，并判断出函数的单调性.利用对称性和单调性可判断,,的大小关系.【详解】因为，都有，不妨设,则,所以,即.所以函数在上单调递减.因为函数满足，所以函数的图象关于对称.所以函数在上单调递增.因为，所以.故选:B.6．D【分析】利用三角恒等变换化简即可判断AB，利用图像的平移变换得即可判断C，令，，得的增区间，进而判断D.【详解】由题意得，则的最小正周期，最大值为2，故A错误，B错误；将函数的图象向右平移个单位长度可得到函数的图象，所以，，所以为非奇非偶函数，故C错误；令，，得，，因为，所以函数在区间上单调递增，故D正确，故选：D.7．D【分析】取的中点P，连接PQ、、、和，确定，，得到答案.【详解】如图所示，取的中点P，连接PQ、、、和，，分别是，的中点，故，且，，故，，故四点共面，故四边形是过A，Q，三点的截面，且四边形是梯形．故选：D．

8．A【分析】根据椭圆的定义即可求得，设，由求得，进而求解.【详解】由的周长为，由椭圆的定义得，解得，所以，，设，则，可得，则，解得，所以椭圆C的方程，故选：A.9．ABC【分析】根据条件列出关于和的方程组，再结合选项，即可判断.【详解】由条件可知，，得①，数列是以1为公差的等差数列，所以，即，即，即②，综合①②可知，，，，所以ABC正确，D错误.故选：ABC10．BD【分析】由，利用正态曲线的对称性可知及格率判断A；由题推断服从二项分布，利用概率公式可依次求得和和.【详解】对于A，因学生成绩，不低于80分为优秀，优秀率为20%，可得，所以，即该知识竞赛的及格率为80%，故A错误；对于B，C，D，由题意可推断，则，，，故B，D正确，C错误.故选：BD.11．ACD【分析】先根据分段函数的解析式和导数相关知识判断函数的单调性，即可判断；令，分段求出的值即可判断；先解方程求出的值，再根据函数的单调性和最值画出函数图象，通过方程的根与图象的公共点之间的联系进行转化，进而判断；由已知将问题转化为求函数，的最大值问题，通过求导判断函数的单调性即可求解最值，进而求解的范围.【详解】当时，，所以在上单调递增，当时，，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，所以的单调递增区间为，，故正确；当时，由得，当时，由得，所以函数有两个零点，故错误；因为，所以或，因为在上单调递增，在上单调递减，所以当时，函数有最大值，又当时，，所以的图象如图所示：由图可知有一个根，若满足关于x的方程有四个不同实根，则有三个不同实根，所以，故正确；若对于恒成立，所以对于恒成立，即,令，，所以，由得（舍）或，当时，，所以在上单调递增，当时，，所以在上单调递减，所以当时，有最大值为，所以，所以对于恒成立，则，故正确.故选：.12．【分析】先求出展开式的通项，再分、两种情况即可求出.【详解】因为展开式的通项为，令，得，则；令，得，则，故的展开式中的常数项为.故答案为：13．【分析】通过分组求和得到，进而得到，再由裂项相消法求和即可.【详解】因为，所以，所以数列的前项和．故答案为：14．【分析】根据的图象上存在不同的两个点关于原点对称列方程，利用换元法来求得的取值范围.【详解】，由于的图象上存在不同的两个点关于原点对称，所以有解，即，①，令，当且仅当时等号成立，则，则①可化为，依题意，此方程在上有解，当，解得，当时，，符合题意.当时，，不符合题意.当，即②时，设，的开口向上，对称轴，要使在上有零点，则或，所以，结合②得.综上所述，的取值范围是.故答案为：【点睛】易错点睛：对称点条件的正确使用：在列出关于原点对称的条件时，容易因条件代入不准确而导致方程错误.在运用对称点条件时，需确保每个代入步骤的符号处理正确.一元二次方程的解集判断：在判断一元二次方程的解的存在性时，特别是对参数的范围进行分类讨论时，容易遗漏某些特殊情况或边界条件.因此，在讨论每种情况时，要确保所有可能性都得到了充分考虑.15．(1)(2)【分析】（1）先求出曲线在点处的切线，然后设该切线与曲线的切点，利用导数的几何意义和题干列方程即可求解.（2）将转化为一个新函数的恒成立问题，通过求导分析函数的单调性来求解即可.【详解】（1），，则，则函数在点处的切线为，即.，，在点处的切线与曲线也相切，设切线与曲线的切点为，则，故切线为，即，即，解得.（2），恒成立，即在上恒成立，令，则，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，所以，故，故的最小值为1.16．(1)列联表见解析，能(2)，，，【分析】（1）完成列联表计算出直接判断即可；（2）根据古典概率公式计算出，根据容斥原理计算出，根据条件概率公式计算出.【详解】（1）根据题意，完成列联表如下：性别关注不关注合计男55560女201030合计751590假设：学生对AI的关注与性别无关，则，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，所以能认为学生对AI的关注与性别有关；（2），，∴，∴，∴.17．(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据题设条件，首先证明四边形为平行四边形，从而得到.再利用，证明.最后利用平面平面的条件，证明平面，进而证明平面平面；（2）建立空间直角坐标系，利用向量表示点的位置，通过向量的点积和夹角公式，求解二面角大小为时，的值.【详解】（1）证明：，，为的中点，四边形为平行四边形，，又，，即，又平面平面，平面平面，平面，平面，平面，平面平面；（2）解：，为的中点，，平面平面，平面平面，平面，平面，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

易知平面的法向量为，又，，，，，设，，，又，设平面的法向量为，则，即.令，得，二面角为，，解，即，.18．(1)；(2)（i）证明见解析；（ii）.【分析】（1）由离心率及双曲线参数关系求得，结合已知令，代入双曲线求参数值，即可得方程；（2）（i）设，则，设，联立双曲线并应用韦达定理，结合直线、双曲线对称性确定定点位置并得到，再作化简求值，即可得定点坐标；（ii）应用三角形面积公式、弦长公式，结合求面积的最小值.【详解】（1）由题设且，则，由轴时，，不妨令，代入双曲线得，所以，则所求方程为；（2）（i）设，则，由斜率不为0，设，联立双曲线并整理得，则，所以，由，直线，根据双曲线的对称性，直线所过定点必在轴上，令，则，因为，所以，而，则，所以过定点；

（ii）由，由（i），，可得，令，则，由，故，当时取等号，综上，的最小值为.19．(1)(2)（i）108；（ii）【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换求解；（2）（i）化简为，由三维柯西不等式求解；（ii）由三维柯西