2025年北大数学卓越计划试题及答案

2025年北大数学卓越计划试题及答案

一、单项选择题1.若函数f(x)=x²+bx+c的图像与x轴交于两点(x₁,0)和(x₂,0)，则x₁+x₂等于（）A.-bB.bC.-cD.c答案：A2.已知向量a=(1,2)，b=(3,x)，若a⊥b，则x等于（）A.-3/2B.3/2C.-6D.6答案：A3.双曲线x²/4-y²/9=1的渐近线方程为（）A.y=±3/2xB.y=±2/3xC.y=±4/9xD.y=±9/4x答案：A4.等差数列{an}中，a₁=1，a₃=5，则a₅等于（）A.7B.9C.11D.13答案：B5.函数y=sin(2x+π/3)的最小正周期为（）A.πB.2πC.π/2D.4π答案：A6.已知log₂x=3，则x等于（）A.8B.6C.9D.12答案：A7.圆(x-1)²+(y-2)²=4的圆心坐标为（）A.(1,2)B.(-1,-2)C.(2,1)D.(-2,-1)答案：A8.若a,b,c成等比数列，则b²等于（）A.acB.a+cC.a-cD.a/c答案：A9.函数y=x³的导数为（）A.3x²B.3xC.x²D.x答案：A10.抛物线y²=4x的焦点坐标为（）A.(1,0)B.(-1,0)C.(0,1)D.(0,-1)答案：A二、多项选择题1.在三角形ABC中，下列说法正确的是（）A.若sinA=sinB，则A=BB.若a²+b²>c²，则三角形ABC是锐角三角形C.若a=3，b=4，c=5，则sinC=1D.若tanA=1/2，tanB=1/3，则A+B=π/4答案：ACD2.下列函数中，是奇函数的有（）A.y=x³B.y=sinxC.y=2^xD.y=ln|x|答案：AB3.已知直线l₁：y=2x+1，l₂：y=-2x+1，则（）A.l₁与l₂平行B.l₁与l₂垂直C.l₁与l₂相交D.l₁与l₂的夹角为45°答案：BD4.对于数列{an}，下列说法正确的是（）A.若an=n²，则{an}是递增数列B.若an=(-1)ⁿn，则{an}是摆动数列C.若an=1/n，则{an}是递减数列D.若an=2ⁿ，则{an}是等比数列答案：ABCD5.已知函数f(x)=|x-1|+|x-2|，则（）A.f(x)的最小值为1B.f(x)在(1,2)上单调递减C.f(x)的图像关于直线x=3/2对称D.f(x)>2的解集为(-∞,1/2)∪(5/2,+∞)答案：ACD6.下列命题中，正确的是（）A.若向量a,b满足|a|=|b|，则a=bB.若向量a,b满足a·b=0，则a⊥bC.若向量a,b满足a=kb(k∈R)，则a与b共线D.若向量a,b,c满足a+b=c，则a,b,c构成三角形答案：BC7.已知圆C：x²+y²-2x-4y+1=0，则（）A.圆C的半径为2B.圆C的圆心坐标为(1,2)C.圆C与x轴相切D.圆C与y轴相切答案：AB8.若函数f(x)=ax²+bx+c(a≠0)的图像过点(1,0)，则（）A.a+b+c=0B.a-b+c=0C.b=a+cD.c=a+b答案：A9.已知椭圆x²/9+y²/4=1，则（）A.长轴长为6B.短轴长为4C.离心率为√5/3D.焦点坐标为(±√5,0)答案：ABCD10.下列不等式中，恒成立的是（）A.x²+1≥2xB.a²+b²≥2abC.x+1/x≥2(x>0)D.a+1/a≥2(a>0)答案：ABC三、判断题（正确的打√，错误的打×）1.若函数f(x)在x=x₀处有极值，则f'(x₀)=0。（）答案：√2.若向量a,b满足a·b>0，则a与b夹角为锐角。（）答案：×3.等比数列的公比不能为0。（）答案：√4.函数y=cosx是偶函数。（）答案：√5.若a>b，则a²>b²。（）答案：×6.直线x=1的倾斜角为90°。（）答案：√7.抛物线y²=2px(p>0)的准线方程为x=-p/2。（）答案：√8.若函数f(x)在区间(a,b)上单调递增，则f'(x)>0在(a,b)上恒成立。（）答案：×9.三角形的内角和为180°。（）答案：√10.若a,b,c成等差数列，则2b=a+c。（）答案：√四、简答题1.简述等差数列的通项公式及前n项和公式。等差数列通项公式：an=a₁+(n-1)d，其中a₁为首项，d为公差。前n项和公式：Sn=n(a₁+an)/2=na₁+n(n-1)d/2。2.简述函数单调性的定义及判断方法。函数单调性定义：设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x₁,x₂，当x₁<x₂时，都有f(x₁)<f(x₂)（或f(x₁)>f(x₂)），那么就说函数f(x)在区间D上是增函数（或减函数）。判断方法：定义法、导数法等。3.简述椭圆的标准方程及性质。椭圆标准方程：焦点在x轴上时x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)；焦点在y轴上时y²/a²+x²/b²=1(a>b>0)。性质包括：长轴长2a，短轴长2b，离心率e=c/a（c²=a²-b²），焦点坐标等。4.简述向量的数量积的性质。向量数量积性质：a·a=|a|²；a·b=b·a；(a+b)·c=a·c+b·c；a·b=|a||b|cosθ（θ为a与b夹角）等。五、讨论题1.讨论如何用导数研究函数的单调性和极值。通过求导得到导函数，令导函数大于0，解得函数的增区间；令导函数小于0，解得函数的减区间。导函数为0的点可能是极值点，再通过判断该点两侧导函数的正负来确定是极大值还是极小值。2.讨论等差数列与等比数列的联系与区别。联系：都有通项公式和求和公式。区别：等差数列是后一项与前一项的差为定值，通项公式是关于n的一次函数形式；等比数列是后一项与前一项的比为定值，通项公式是指数函数形式。求和公式形式也不同。3.讨论如何判断直线与圆的位置关系。可通过比较圆心到直线的距离d与圆半径r的大小关系来判