2026届吉林省重点中学数学高二上期末学业质量监测试题含解析

2026届吉林省重点中学数学高二上期末学业质量监测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．双曲线的渐近线方程是（）A. B.C. D.2．记不超过x的最大整数为，如，.已知数列的通项公式，则使的正整数n的最大值为（）A.5 B.6C.15 D.163．已知向量，，且，，，则一定共线的三点是（）A.A，B，D B.A，B，CC.B，C，D D.A，C，D4．对于实数a，b，c，下列命题中的真命题是（）A.若，则 B.，则C.若，，则， D.若，则5．已知直线，，若，则实数（）A. B.C.1 D.26．若数列等差数列，a1=1，，则a5=（）A. B.C. D.7．已知，，，，则（）A. B.C. D.8．若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为，如.如图所示的程序框图的算法源于我国古代闻名中外的“中国剩余定理”.执行该程序框图，则输出的i等于（）A.7 B.10C.13 D.169．若直线的斜率为，则的倾斜角为（）A. B.C. D.10．在中，，，为所在平面上任意一点，则的最小值为（）A.1 B.C.－1 D.-211．校庆当天，学校需要在靠墙的位置用围栏围起一个面积为200平方米的矩形场地.用来展示校友的书画作品.靠墙一侧不需要围栏，则围栏总长最小需要（）米A.20 B.40C. D.12．已知是偶函数的导函数，．若时，，则使得不等式成立的的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上的点P满足轴，，则该椭圆的离心率为___________14．已知P为抛物线上的一个动点，设P到抛物线准线的距离为d，点，那么的最小值为______15．已知函数在处有极值．则=________16．根据如下样本数据34567402.5-0.50.5-2得到的回归方程为若，则的值为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线的准线交于点，为坐标原点，（1）求抛物线的方程；（2）直线与抛物线交于，两点，求的面积18．（12分）已知抛物线：的焦点为，点在上，点在的内侧，且的最小值为.（1）求的方程；（2）为坐标原点，点A在y轴正半轴上，点B，C为E上两个不同的点，其中B点在第四象限，且AB，互相垂直平分，求四边形AOBC的面积.19．（12分）一杯100℃的开水放在室温25℃的房间里，1分钟后水温降到85℃，假设每分钟水温变化量和水温与室温之差成正比（1）分别求2分钟，3分钟后的水温；（2）记n分钟后的水温为，证明：是等比数列，并求出的通项公式；（3）当水温在40℃到55℃之间时（包括40℃和55℃），为最适合饮用的温度，则在水烧开后哪个时间段饮用最佳．（参考数据：）20．（12分）已知圆，直线.（1）当为何值时，直线与圆相切；（2）当直线与圆相交于、两点，且时，求直线的方程.21．（12分）已知圆的方程为：.（1）求的值，使圆的周长最小；（2）过作直线，使与满足（1）中条件的圆相切，求的方程，并求切线段的长.22．（10分）设椭圆方程为，短轴长，____________.请在①与双曲线有相同的焦点，②离心率，③这三个条件中任选一个补充在上面的横线上，完成以下问题.（1）求椭圆的标准方程；（2）求以点为中点的弦所在的直线方程.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】先将双曲线的方程化为标准方程得，再根据双曲线渐近线方程求解即可.【详解】解：将双曲线的方程化为标准方程得，所以，所以其渐近线方程为：，即.故选：A.2、C【解析】根据取整函数的定义，可求出的值，即可得到答案；【详解】，，，，，，当时，，使的正整数n的最大值为，故选：C3、A【解析】由已知，分别表示出选项对应的向量，然后利用平面向量共线定理进行判断即可完成求解.【详解】因，，，选项A，，，若A，B，D三点共线，则，即，解得，故该选项正确；选项B，，，若A，B，C三点共线，则，即，解得不存，故该选项错误；选项C，，，若B，C，D三点共线，则，即，解得不存在，故该选项错误；选项D，，，若A，C，D三点共线，则，即，解得不存在，故该选项错误；故选：A.4、C【解析】对于选项A，可以举反例判断；对于选项BCD可以利用作差法判断得解.【详解】解：A.若，则不一定成立.如：.所以该选项错误；B.，所以，所以该选项错误；C.，所以该选项正确；D.，所以该选项错误.故选：C5、D【解析】根据两条直线的斜率相等可得结果.【详解】因为直线，，且，所以，故选：D.6、B【解析】令、可得等差数列的首项和第三项，即可求出第五项，从而求出.【详解】令得，令得，所以数列的公差为，所以，解得，故选：B.7、D【解析】根据对数函数的性质和幂函数的单调性可得正确的选项.【详解】因为，故，故，又，在上的增函数，故，故，故选：D.8、C【解析】根据“中国剩余定理”，进而依次执行循环体，最后求得答案.【详解】由题意，第一步：，余数不为1；第二步：，余数不为1；第三步：，余数为1，执行第二个判断框，余数不为2；第四步：，执行第一个判断框，余数为1，执行第二个判断框，余数为2.输出的i值为13.故选：C.9、C【解析】设直线l倾斜角为，根据题意得到，即可求解.【详解】设直线l的倾斜角为，因为直线的斜率是，可得，又因为，所以，即直线的倾斜角为.故选：C.10、C【解析】以为建立平面直角坐标系，设，把向量的数量积用坐标表示后可得最小值【详解】如图，以为建立平面直角坐标系，则，设，，，，，∴，∴当时，取得最小值故选：C【点睛】本题考查向量的数量积，解题方法是建立平面直角坐标系，把向量的数量积转化为坐标表示11、B【解析】在出矩形中，设，得到，结合基本不等式，即可求解【详解】如图所示，在矩形中，设，则，根据题意，可得矩形围栏总长为因为，可得，当且仅当时，即时，等号成立，即围栏总长最小需要米.故选：B.12、C【解析】构造函数，分析函数在上的单调性，将所求不等式变形为，可得出关于的不等式，即可得解.【详解】构造函数，其中，则，所以，函数为上的奇函数，当时，，且不恒为零，所以，函数在上为增函数，且该函数在上也为增函数，故函数在上为增函数，因为，则，由得，可得，解得故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由题意分析为直角三角形，得到关于a、c的齐次式，即可求出离心率.【详解】设，则.由椭圆的定义可知：，所以.所以因轴，所以为直角三角形，由勾股定理得：，即，即，所以离心率.故答案为：14、5【解析】由抛物线的定义可得，所以，由图可知当三点共线时，取得最小值，从而可求得结果【详解】抛物线的焦点，准线为，如图，过作垂直准线于点，则，所以，由图可知当三点共线时，取得最小值，即最小值为,,所以的最小值为5，故答案为：515、4【解析】根据极值点概念求解【详解】，由题意得，，经检验满足题意故答案为：416、-1.4##【解析】分别求出的值，即得到样本中心点，根据样本中心点一定在回归直线上，可求得答案.【详解】，则得到样本中心点为，因为样本中心点一定在回归直线上，故，解得，故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）根据题意建立关于的方程，解得的值即可.（2）联列方程组并消元，韦达定理整体思想求的长，再求点到直线的距离，进而求面积.【小问1详解】由题意可得，，则，因为，所以，解得，故抛物线的方程为【小问2详解】由（1）可知，则点到直线的距离联立，整理得设，，则，从而因为直线过抛物线的焦点，所以故的面积为18、（1）（2）【解析】（1）根据题意，结合抛物线定义，可求得，即得抛物线方程；（2）由题意推出四边形AOBC是菱形.，设，根据抛物线的对称性，可表示出B,C的坐标，从而利用向量的坐标运算，求得所设参数值，进而求得答案.【小问1详解】的准线为：，作于R，根据抛物线的定义有，所以，因为在的内侧，所以当P，Q，R三点共线时，取得最小值，此时，解得，所以的方程为.小问2详解】因为AB，OC互相垂直平分，所以四边形AOBC是菱形.由，得轴，设点，则，由抛物线的对称性知，，，.由，得，解得,所以在菱形中，，边上的高，所以菱形的面积.19、（1）2分钟的水温为℃，3分钟后的水温℃；（2）证明见解析，，；（3）在水烧开后4到7分钟饮用最佳.【解析】(1)根据给定条件设第n分钟后的水温为，探求出与的关系即可计算作答.(2)利用(1)的信息，列式变形、推导即可得证，进而求出的通项公式.(3)由(2)的结论列不等式，借助对数函数的性质求解即得.【小问1详解】设第n分钟后的水温为，正比例系数为k，记，依题意，，当时，，则有，解得，因此，，即有，，所以2分钟的水温为℃，3分钟后的水温℃.小问2详解】由(1)知，，时，，，则有，即，而，于是得是以为首项，为公比的等比数列，则有，即，所以是等比数列，的通项公式是，.【小问3详解】由(2)及已知得：，即，整理得，两边取常用对数得：，而，解得，即，所以在水烧开后4到7分钟饮用最佳.【点睛】思路点睛：涉及实际意义给出的数列问题，正确理解实际意义，列出关系式，再借助数列思想探求相邻两项间关系即可推理作答.20、（1）；（2）或.【解析】（1）将圆的方程表示为标准方程，确定圆心坐标与半径，利用圆心到直线的距离可求得实数的值；（2）求出圆心到直线的距离，利用、、三者满足勾股定理可求得的方程，解出的值，即可得出直线的方程.【详解】将圆C的方程配方得标准方程为，则此圆的圆心为，半径为.（1）若直线与圆相切，则有，解得；（2）圆心到直线的距离为，由勾股定理可得，可得，整理得，解得或，故所求直线方程为或.【点睛】方法点睛：圆的弦长的常用求法（1）几何法：求圆的半径为，弦心距为，弦长为，则；（2）代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式.21、（1）（2）直线方程为或，切线段长度为4【解析】（1）先求圆的标准方程，由半径最小则周长最小；（2）由，则圆的方程为：，直线和圆相切则圆心到直线的距离等于半径，分直线与轴垂直和直线与轴不垂直两种情况进行讨论即可得解.进一步，利用圆的几何性质可求解切线的长度.【小问1详解】，配方得：，当时，圆的半径有最小值2，此时圆的周长最小.【小问2详解】由（1）得，，圆的方程为：.当直线与轴垂直时，，此时直线与圆相切，符合条件；当直线与轴不垂直时，设为，由直线与圆相切得：，解得，所以切线方程为，即.综上，直线方程为或.圆心与点的距离，则切线长度为.22、（1）答案见解析，.（2）.【解析】（1）若选①：求得双曲线得双曲线的焦点得出椭圆的，再由，可求得椭圆的标准方程；若选②：根据已知条件和椭圆的离心率可求得，从而得椭圆的标准方程；若选③：由已知建立方程，求解可求得，从而得椭圆的标准方程.（2）设直线的斜率为k，所求的直线方程为，代入椭圆的方程并整理得，设直线与