2026届四川省成都市达标名校数学高二上期末学业质量监测试题含解析

2026届四川省成都市达标名校数学高二上期末学业质量监测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设抛物线C:的焦点为，准线为．是抛物线C上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（）A.经过点 B.经过点C.平行于直线 D.垂直于直线2．已知为原点，点，以为直径的圆的方程为()A. B.C. D.3．若两条平行线与之间的距离是2，则m的值为（）A.或11 B.或10C.或12 D.或114．已知等比数列的公比为，则“是递增数列”的一个充分条件是（）A. B.C. D.5．概率论起源于赌博问题．法国著名数学家布莱尔帕斯卡遇到两个赌徒向他提出的赌金分配问题：甲、乙两赌徒约定先赢满局者，可获得全部赌金法郎，当甲赢了局，乙赢了局，不再赌下去时，赌金如何分配？假设每局两人输赢的概率各占一半，每局输赢相互独立，那么赌金分配比较合理的是（）A.甲法郎，乙法郎 B.甲法郎，乙法郎C.甲法郎，乙法郎 D.甲法郎，乙法郎6．已知的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中的系数为A5 B.10C.20 D.407．用1，2，3，4这4个数字可写出（）个没有重复数字的三位数A.24 B.12C.81 D.648．已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.9．已知数列的前n项和为，且对任意正整数n都有，若，则（）A.2019 B.2020C.2021 D.202210．如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切）.已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（）A.B.C.D.11．已知，，且，则（）A. B.C. D.12．如图，正方形与矩形所在的平面互相垂直，在上，且平面，则M点的坐标为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在单位正方体中，点E为AD的中点，过点B，E，的平面截该正方体所得的截面面积为______.14．已知点，是椭圆内的两个点，M是椭圆上的动点，则的最大值为______15．函数定义域为___________.16．已知平面的一个法向量为，点为内一点，则点到平面的距离为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知直线l过点，与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点（1）若的面积为，求直线l的方程；（2）求的面积的最小值18．（12分）已知函数在处有极值.（1）求的值；（2）求函数在上的最大值与最小值.19．（12分）已知双曲线与有相同的渐近线，且经过点.（1）求双曲线的方程；（2）已知直线与双曲线交于不同的两点，且线段的中点在圆上，求实数的值.20．（12分）已知椭圆的焦点与双曲线的焦点相同，且D的离心率为.（1）求C与D的方程；（2）若，直线与C交于A，B两点，且直线PA，PB的斜率都存在.①求m的取值范围.②试问这直线PA，PB的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.21．（12分）已知是公比不为1的等比数列，，且为的等差中项.（1）求的公比；（2）求的通项公式及前n项和.22．（10分）已知动圆过定点，且与直线相切.（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）直线过点与曲线相交于两点，问：在轴上是否存在定点，使？若存在，求点坐标，若不存在，请说明理由.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】依据题意作出焦点在轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段的垂直平分线经过点，即可求解.【详解】如图所示：因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上，根据定义可知，，所以线段的垂直平分线经过点.故选：A.2、A【解析】求圆的圆心和半径，根据圆的标准方程即可求解﹒【详解】由题知圆心为，半径，∴圆方程为﹒故选：A﹒3、A【解析】利用平行线间距离公式进行求解即可.【详解】因为两条平行线与之间的距离是2，所以，或，故选：A4、D【解析】由等比数列满足递增数列，可进行和两项关系的比较，从而确定和的大小关系.【详解】由等比数列是递增数列，若，则，得；若，则，得；所以等比数列是递增数列，或，；故等比数列是递增数列是递增数列的一个充分条件为，.故选：D.5、A【解析】利用独立事件计算出甲、乙各自赢得赌金的概率，由此可求得两人各分配的金额.【详解】甲赢得法郎的概率为，乙赢得法郎的概率为，因此，这法郎中分配给甲法郎，分配给乙法郎.故选：A.6、B【解析】首先根据二项展开式的各项系数和，求得，再根据二项展开式的通项为，求得，再求二项展开式中的系数.【详解】因为二项展开式的各项系数和，所以，又二项展开式的通项为=，，所以二项展开式中的系数为．答案选择B【点睛】本题考查二项式展开系数、通项等公式，属于基础题7、A【解析】由题意，从4个数中选出3个数出来全排列即可.【详解】由题意，从4个数中选出3个数出来全排列，共可写出个三位数.故选：A8、C【解析】由题意得出，构造函数，可知函数在区间上单调递增，可得出对任意的恒成立，利用参变量分离法可得出，利用导数求得函数在区间上的最大值，由此可求得实数的取值范围.【详解】函数的定义域为，当时，恒成立，即，构造函数，则，所以，函数在区间上为增函数，则对任意的恒成立，，令，其中，则.，所以函数在上单调递减；又，所以.因此，实数的取值范围是.故选：C.9、C【解析】先令代入中，求得，再根据递推式得到，将与已知相减，可判断数列是等比数列，进而确定，求得答案.【详解】因为，令，则，又，故，即，故数列是等比数列，则，所以，所以，故选：C.10、D【解析】由题设，“需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切）“可得出此两点处的切线正是两条直道所在直线，由此规律验证四个选项即可得出答案【详解】由函数图象知，此三次函数在上处与直线相切，在点处与相切，下研究四个选项中函数在两点处的切线A：，将0代入，此时导数为，与点处切线斜率为矛盾，故A错误B：，将0代入，此时导数为，不为，故B错误；C：，将2代入，此时导数为，与点处切线斜率为3矛盾，故C错误；D：，将0，2代入，解得此时切线的斜率分别是，3，符合题意，故D正确；故选：D.11、D【解析】利用空间向量共线的坐标表示可求得、的值，即可得解.【详解】因为，则，所以，，，因此，.故选：D12、A【解析】设点的坐标为，由平面,可得出，利用空间向量数量积为0求得、的值，即可得出点的坐标.【详解】设点的坐标为，,,，，则，,，平面,即，所以，，解得，所以，点的坐标为，故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据题意，取的中点，连接、、、，分析可得四边形为平行四边形，则要求的截面就是四边形，进而可得为菱形，连接、，求出、的长，计算可得答案【详解】根据题意，取的中点，连接、、、，易得，，则四边形为平行四边形，过点，，的截面就是，又由正方体为单位正方体，则，则为菱形，连接、，易得，，则，即要求截面的面积为，故答案为：14、##【解析】结合椭圆的定义求得正确答案.【详解】依题意，椭圆方程为，所以，所以是椭圆的右焦点，设左焦点为，根据椭圆的定义可知，，所以的最大值为.故答案为：15、【解析】根据函数定义域的求法，即可求解.【详解】解：,解得,故函数的定义域为:.故答案为：.16、1【解析】利用空间向量求点到平面的距离即可.【详解】，，∴则点P到平面的距离为.故答案为：1.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）或（2）4【解析】（1）设直线方程为，根据所过的点及面积可得关于的方程组，求出解后可得直线方程，我们也可以设直线，利用面积求出后可得直线方程.（2）结合（1）中直线方程的形式利用基本不等式可求面积的最小值.【小问1详解】法一：（1）设直线，则解得或，所以直线或法二：设直线，，则，则，∴或﹣8所以直线或【小问2详解】法一：∵，∴，∴，此时，∴面积的最小值为4，此时直线法二：∵，∴，此时，∴面积的最小值为4，此时直线18、（1），；（2）最大值为，最小值为【解析】（1）对函数求导，根据函数在处取极值得出，再由极值为，得出，构造一个关于的二元一次方程组，便可解出的值；（2）由（1）可知，求出，利用导数研究函数在上的单调性，比较极值和端点值的大小，即可得出在上的最大值与最小值.【详解】解：（1）由题可知，，的定义域为，，由于在处有极值，则，即，解得：，，（2）由（1）可知，其定义域是，，令，而，解得，由，得；由，得，则在区间上，，，的变化情况表如下：120单调递减单调递增可得，，，由于，则，所以，函数在区间上的最大值为，最小值为.【点睛】本题考查已知极值求参数值和函数在闭区间内的最值问题，考查利用导函数研究函数在给定闭区间内的单调性，以及通过比较极值和端点值确定函数在闭区间内的最值，考查运算能力.19、（1）（2）【解析】（1）根据所求双曲线与有共同的渐近线可设出所求双曲线方程为，在根据点在双曲线上，代入双曲线方程中即可求解.（2）联立直线与双曲线的方程，得关于的一元二次方程，利用韦达定理得出的关系，再根据中点坐标公式求出线段的中点的坐标，代入圆方程即可求解.【小问1详解】由题意，设双曲线的方程为，则又因为双曲线过点，，所以双曲线的方程为：【小问2详解】由，消去整理，得，设，则因为直线与双曲线交于不同的两点，所以，解得.，所以则中点坐标为，代入圆得，解得.实数的值为20、（1）C：；D：；（2）①且；②见解析.【解析】（1）根据D的离心率为，求出从而求出双曲线的焦点，再由椭圆的焦点与双曲线的焦点相同，即可求出，即可求出C与D的方程；（2）①根据题意容易得出，然后联立方程，消元，利用即可求出m的取值范围；②设，由①得：，计算出，判断其是否为定值即可.【详解】解：（1）因为D的离心率为，即，解得：，所以D的方程为：；焦点坐标为，又因椭圆的焦点与双曲线的焦点相同，所以，所以，所以C的方程为：；（2）①如图：因为直线与C交于A，B两点，且直线PA，PB的斜率都存在，所以，联立，消化简得：，所以，解得，所以且；②设，由①得：，，所以，故直线PA，PB的斜率之积不是是定值.【点睛】本题考查了求椭圆与双曲线的方程、直线与椭圆的位置关系及椭圆中跟定直有关的问题，难度较大.21、（1）（2），【解析】（1）设数列公比为，根据列出方程，即可求解；（2）：由（1）得到，利用等比数列的求和公式，即可求解.【小问1详解】解：设数列公比为，因为