2026届浙江省杭州市示范名校高二数学第一学期期末联考试题含解析

2026届浙江省杭州市示范名校高二数学第一学期期末联考试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知F是双曲线C：的一个焦点，点P在C的渐近线上，O是坐标原点，，则的面积为（）A.1 B.C. D.2．已知双曲线：的右焦点为，过的直线（为常数）与双曲线在第一象限交于点.若（为原点），则的离心率为（）A. B.C. D.53．下列命题正确的是（）A.经过三点确定一个平面B.经过一条直线和一个点确定一个平面C.四边形确定一个平面D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面4．已知双曲线的离心率为2，且与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.5．直线与圆相交与A，B两点，则AB的长等于（）A3 B.4C.6 D.16．若函数的图象如图所示，则函数的导函数的图象可能是（）A. B.C D.7．观察，，，由归纳推理可得：若定义在上的函数满足，记为的导函数，则=A. B.C. D.8．年底以来，我国多次在重要场合和政策文件中提及碳中和，碳中和指的是二氧化碳排放量和吸收量可以正负抵消，实现二氧化碳“零排放”.二氧化碳的分子是由一个碳原子和两个氧原子构成的，其结构式为.已知氧有、、三种天然同位素，碳有、、三种天然同位素，则由上述同位素可构成的不同二氧化碳分子共有（）A.种 B.种C.种 D.种9．在等差数列中，其前项和为.若，是方程的两个根，那么的值为（）A.44 B.C.66 D.10．已知等差数列中的、是函数的两个不同的极值点，则的值为（）A. B.1C.2 D.311．“”是“圆与轴相切”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件12．若：，：，则为q的（）A.充分必要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知向量，向量，若，则实数的值为________.14．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一个原理“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件，若该圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则该几何体的体积为________.15．已知一组数据的平均数为4，方差为3，若另一组数据的平均数为10，则该组数据的方差为_______.16．若函数恰有两个极值点，则k的取值范围是______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知点，椭圆：离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点．设过点的动直线与相交于，两点（1）求椭圆的方程（2）是否存在直线，使得的面积为？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由18．（12分）在平面直角坐标系中，点，直线轴，垂足为H，，圆N过点O，与l的公共点的轨迹为（1）求的方程；（2）过M的直线与交于A，B两点，若，求19．（12分）已知圆：，过圆外一点作圆的两条切线，，，为切点，设为圆上的一个动点.（1）求的取值范围；（2）求直线的方程.20．（12分）已知为直角梯形，，平面，，.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.21．（12分）已知数列，若_________________（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和从下列三个条件中任选一个补充在上面的横线上，然后对题目进行求解①；②，，；③，点，在斜率是2的直线上22．（10分）已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆相交于不同的两点，已知点的坐标为，若，求直线的方程

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】根据给定条件求出，再利用余弦定理求出即可计算作答.【详解】双曲线C：中，，其渐近线，它与x轴的夹角为，即，在中，，由余弦定理得：，即，整理得：，解得，所以面积为.故选：B2、D【解析】取双曲线的左焦点，连接,计算可得，即.设，则，，解得：，利用勾股定理计算可得，即可得出结果.【详解】取双曲线的左焦点，连接,,则因为，所以，即.,.设，则，，解得：.,,..故选：D3、D【解析】由平面的基本性质结合公理即可判断.【详解】对于A，过不在一条直线上三点才能确定一个平面，故A不正确；对于B，经过一条直线和直线外一个点确定一个平面，故B不正确；对于C，空间四边形不能确定一个平面，故C不正确；对于D，两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，故D正确.故选：D4、B【解析】求出焦点，则可得出，即可求出渐近线方程.【详解】由椭圆可得焦点为，则设双曲线方程为，可得，则离心率，解得，则，所以渐近线方程为.故选：B.5、C【解析】根据弦长公式即可求出【详解】因为圆心到直线的距离为，所以AB的长等于故选：C6、C【解析】由函数的图象可知其单调性情况，再由导函数与原函数的关系即可得解.【详解】由函数的图象可知，当时，从左向右函数先增后减，故时，从左向右导函数先正后负，故排除AB；当时，从左向右函数先减后增，故时，从左向右导函数先负后正，故排除D.故选：C.7、D【解析】由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数，因为是偶函数，则是奇函数，所以，应选答案D8、C【解析】分两种情况讨论：两个氧原子相同、两个氧原子不同，分别计算出两种情况下二氧化碳分子的个数，利用分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下两种情况讨论：若两个氧原子相同，此时二氧化碳分子共有种；若两个氧原子不同，此时二氧化碳分子共有种.由分类加法计数原理可知，由上述同位素可构成的不同二氧化碳分子共有种.故选：C.9、D【解析】由，是方程的两个根，利用韦达定理可知与的和，根据等差数列的性质可得与的和等于，即可求出的值，然后再利用等差数列的性质可知等于的11倍，把的值代入即可求出的值.【详解】因为，是方程的两个根，所以，而，所以，则,故选：.10、C【解析】对求导，由题设及根与系数关系可得，再根据等差中项的性质求，最后应用对数运算求值即可.【详解】由题设，，由、是的两个不同的极值点，所以，又是等差数列，所以，即，故.故选：C11、A【解析】根据充分不必要条件的定义和圆心到轴的距离求出可得答案.【详解】时，圆的圆心坐标为，半径为2，此时圆与轴相切；当圆与轴相切时，因为圆的半径为2，所以圆心到轴的距离为，所以，“”是“圆与轴相切”的充分不必要条件故选：A12、D【解析】根据充分条件和必要条件的定义即可得出答案.【详解】解：因为：，：，所以，所以为q的既不充分又不必要条件.故选：D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2【解析】根据，由求解.【详解】因为向量，向量，且，所以，解得，故答案为：214、【解析】根据圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，由，求得底面半径，进而得到高，再利用锥体的体积公式求解.【详解】设圆锥的母线长为l，高为h，底面半径为r，因为圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，所以，解得，所以，所以圆锥的体积为：，故该几何体的体积为，故答案为：15、12【解析】根据题意，先通过原始数据的平均数、方差及新数据的平均数求出k，进而求出新数据的方差.【详解】由题意，原式数据的平均数和方程分别为：，则新数据的平均数，于是新数据的方差.故答案为：12.16、【解析】求导得有两个极值点等价于函数有一个不等于1的零点，分离参数得，令，利用导数研究的单调性并作出的图象，根据图象即可得出k的取值范围【详解】函数的定义域为，，令，解得或，若函数有2个极值点，则函数与图象在上恰有1个横坐标不为1的交点，而，令，令或，故在和上单调递减，在上单调递增，又，如图所示，由图可得.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）存在；或.【解析】（1）设，由，，，求得的值即可得椭圆的方程；（2）设，，直线的方程为与椭圆方程联立可得，，进而可得弦长，求出点到直线的距离，解方程，求得的值即可求解.【小问1详解】设，因为直线的斜率为，，所以，可得，又因为，所以，所以，所以椭圆的方程为【小问2详解】假设存在直线，使得的面积为，当轴时，不合题意，设，，直线的方程为，联立消去得：，由可得或，，，所以，点到直线的距离，所以，整理可得：即，所以或，所以或，所以存在直线：或使得的面积为.18、（1）；（2）.【解析】(1)设出圆N与l的公共点坐标，再探求出点N的坐标，并由圆的性质列出方程化简即得.(2)设出直线AB的方程，与的方程联立，结合已知条件并借助韦达定理计算作答.【小问1详解】设为圆N与l的公共点，而直线轴，垂足为H，则，又，，于是得，因O，P在圆N上，即，则有，化简整理得：，所以的方程为.【小问2详解】显然直线AB不垂直于y轴，设直线AB的方程为，，由消去x并整理得：，则，因为，则点A到x轴距离是点B到x轴距离的2倍，即，由解得或，则有，因此有，所以.19、（1）（2）【解析】(1)求出PM，就可以求PQ的范围；(2)使用待定系数法求出切线的方程，再求求切点的坐标，从而可以求切点的连线的方程.【小问1详解】如下图所示，因为圆的方程可化为，所以圆心，半径，且，所以，故取值范围为.【小问2详解】可知切线，中至少一条的斜率存在，设为，则此切线为即，由圆心到此切线的距离等于半径，即，得所以两条切线的方程为和，于是由联立方程组得两切点的坐标为和所以故直线的方程为即20、（1）证明见解析；（2）.【解析】建立空间直角坐标系.（1）方法一，利用向量的方法，通过计算，，证得，，由此证得平面.方法二，利用几何法，通过平面证得，结合证得，由此证得平面.（2）通过平面和平面的法向量，计算出平面与平面所成锐二面角的余弦值.【详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系，可得，，，.（1）证明法一：因为，，，所以，，所以，，，平面，平面，所以平面.证明法二：因为平面，平面，所以，又因为，即，，平面，平面，所以平面.（2）由（1）知平面的一个法向量，设平面的法向量，又，，且所以所以平面的一个法向量为，所以，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.21、答案见解析.【解析】（1）若选①，根据通项公式与前项和的关系求解通项公式即可；若选②，根据可得数列为等差数列，利用基本量法求解通项公式即可；若选③，根据两点间的斜率公式可得，可得数列为等差数列进而求得通项公式；（2）利用裂项相消求和即可【详解】解：（1）若选