2026届北京市房山区高三上学期入学考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1北京市房山区2026届高三上学期入学考试数学试题第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以.故选：B.2.若复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】因为，所以，所以复数在复平面内对应点，位于第四象限.故选：D.3.双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由，则，焦点在轴上，所以双曲线的渐近线方程为，即.故选：C.4.等差数列的首项为1，公差不为0.若成等比数列，则的公差为（）A. B. C.2 D.3【答案】A【解析】设等差数列的公差为，因为成等比数列，所以，即，整理可得，因为，，所以解得.故选：A.5.若且，则下列不等式中恒成立的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】对于A，若，但，故A错误；对于B，由于且，则，故，故B错误；对于C，若，此时，不满足，故C错误；对于D，由于，故，因此，由于，故，D正确，故选：D.6.已知函数的定义域分别为集合，则“”是“曲线与无交点”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】充分性：若，意味着两个函数的定义域没有公共部分.因为函数的交点是在自变量取值相同的情况下，函数值也相同的点，而此时没有共同的自变量取值，所以曲线必然无交点，充分性成立；必要性：若曲线无交点，有可能存在自变量在中，但，所以不能推出，必要性不成立.综上，“”是“曲线与无交点”的充分不必要条件.故选：A.7.把圆向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到圆的方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】圆的圆心为原点，原点向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，故得到.故选：C.8.若函数关于对称，则的最小值为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】函数关于对称，则其对称轴满足，为整数，将代入，得，解得，又因为，所以当时，取得最小值为3，因此，的最小值为3，所以B正确.故选：B.9.生物学家通过数学建模，得到恒温动物（如豚鼠、兔、小狗等）的脉搏率（单位：次/分钟）和体重（单位：克）的关系模型为，其中为常数．已知一只体重为300克的豚鼠的脉搏率为300次/分钟，若一只小狗的体重为克，那么该小狗的脉搏率最接近的是（）A.120次/分钟 B.110次/分钟C.100次/分钟 D.90次/分钟【答案】A【解析】由题意可知，，解得，若一只小狗的体重为克，则，即，，比较选项，，，所以最接近的脉搏率，故选：A.10.已知在等腰梯形中，，是腰上的动点，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】建立如图所示的直角坐标系，则,则,，所以，故，故，由于，故，故，故选：C第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.抛物线的焦点到准线的距离是______________．【答案】4【解析】抛物线的焦点是,准线方程是,所以焦点到准线的距离是4.故答案为：4.12.若，则_________；_________．【答案】①.②.【解析】二项式的展开式的通项公式为，令，则；令，则.故答案为：；.13.已知在中，．写出满足条件的一组角的值_________，_________．【答案】①.②.【解析】因为是的内角，所以则又因为，所以，所以或（舍），所以，所以可取，故答案为：.(答案不唯一)14.羡除是我国古代数学著作《九章算术》中记载的一种特殊五面体，其有三条相互平行且不全相等的棱，这三条棱在古算中被称为“三广”．《九章算术》中记载的羡除体积的计算方法简洁而准确，其术文曰：“并三广，以深乘之，又以袤乘之，六而一．”现有羡除如图所示，．底面为正方形，，其余棱长均为2，则该羡除的体积为_________．【答案】【解析】在平面中，过分别作的垂线，垂足分别为，连接，依题意，四边形为等腰梯形，则，由，得，由正方形，得，而平面，则平面，平面，又平面，则，同理，，等腰底边上的高，同理得平面，平面平面，几何体是直三棱柱，所以该羡除的体积为.故答案为：.15.已知函数，给出下列四个结论：①当时，函数恰有1个零点；②存在负数，使得恰有1个零点；③存在负数，使得恰有3个零点；④存在正数，使得恰有3个零点．其中正确结论的序号是_________．【答案】①②③【解析】对于①，当时，，令得，解得，故恰有1个零点，①正确；对于②，令得，故，令，故的零点个数等价于的交点个数，同一坐标系内，画出的图象，如下：其中过定点，当时，，设过点的切线方程经过点，，故过点的切线斜率为，故切线方程为，将代入得，即，令，，则，故在上单调递增，其中，，故存在，使得，此时，当时，结合图象可知，此时，且有1个交点，故当时，只有1个交点，此时恰有1个零点，②正确；对于③，当时，有3个交点，此时恰有3个零点，③正确；对于④，当时，，不合要求，当时，，设过点的切线方程经过点，，故过点的切线斜率为，故切线方程为，将代入得，即，设，，故恒成立，故在上单调递增，，，故存在，使得，此时，故当时，有1个交点，当时，有0个交点，又时，的增长速度远远大于的增长速度，当时，有2个交点，故不存在正数，使得恰有3个零点．④错误.故答案为：①②③.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.在中，．（1）求的值；（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的面积．条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按照第一个解答计分．【答案】解：（1）在中，由，得，由及正弦定理，得，所以.（2）选择条件①：，由余弦定理，得，而，解得，所以的面积为.条件②：，由正弦定理得，由（1）得，由余弦定理，得，而，解得，所以的面积为.17.如图，在多面体中，四边形为矩形，四边形为梯形，，，，，为线段的中点．（1）求证：平面；（2）若平面平面，求与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明：因为，，M为AD中点，所以，，所以四边形MDEF是平行四边形，进一步可得，因为平面BFM，平面BFM，所以平面BFM．（2）解：因为平面平面ABCD，平面ADEF，且，即，所以平面ABCD，又因为四边形ABCD为矩形，所以，因此可以建立空间直角坐标系，如图所示，以A为原点，分别以AB，AD，AF所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，已知，，M为AD中点，则各点坐标为：，，，，，，所以，，，设平面BFM的法向量为，则，即，令，则，，所以，设CE与平面BFM所成角为，根据直线与平面所成角的向量公式，可得，其中，，，所以，综上，与平面所成角的正弦值为．18.为提高生产效率，某工厂开展技术创新活动，提出了完成某项任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人采用第一种生产方式，第二组工人采用第二种生产方式．两组工人完成任务的工作时间（单位：）如下：生产方式工作时间（单位：）第一种6872767779828383848586878788899090919192第二种6565666869707172727374757676788184848593假设每个工人完成工作所需时间相互独立．用频率估计概率．（1）从第一组工人中随机抽取1人，估计该工人完成生产任务的工作时间小于80分钟的概率；（2）从第一组和第二组工人中各随机抽取1人，记这两人中完成生产任务的工作时间小于80分钟的人数为，求的分布列和数学期望；（3）根据已知样本数据，应该采用哪种生产方式？说明你的理由．【答案】解：（1）第一组工人中工作时间小于80分钟的有5人，所以从第一组工人中随机抽取1人，该工人完成生产任务的工作时间小于80分钟的概率为.（2）第一组和第二组工人中完成生产任务的工作时间小于80分钟的人数分别为5人和15人，的所有可能取值为0，1，2，，，，故的分布列如下：012的数学期望.（3）应该采用第二种生产方式，理由如下：①由所给数据可知，用第一种生产方式的工人中，有的工人完成生产任务所需时间至少82min，用第二种生产方式的工人中，有的工人完成生产任务所需时间至多78min，因此应该采用第二种生产方式；②由所给数据可知，用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为（min），用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为（min），因此应该采用第二种生产方式.19.已知椭圆的一个顶点为，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆相交于两点，若直线与直线的斜率之积为，判断直线是否过定点，若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，说明理由．【答案】解：（1）由顶点为可知，又离心率为，即，可得，因此，所以椭圆的方程为.（2）当直线的斜率存在时，设直线：，，如下图所示：联立，整理可得，显然，即，可得；且，则直线与直线的斜率分别为；即可得所以可得，所以；解得或；当时，直线为，此时直线恒过点，当时直线为，恒过，与点重合，不合题意；当直线的斜率不存在时，设直线方程为，代入椭圆方程可得，不妨取，则，解得，即直线为，恒过点，当时，直线过点，不合题意；综上可知，直线过定点.20.已知函数在点处的切线为．（1）若时，切线与轴平行，求的值；（2）若在处取得极大值，求的取值范围；（3）过点的直线与垂直，当都与轴相交时，交点的横坐标分别是．当时，求的取值范围．【答案】解：（1）已知，求导得，当时，切线与轴平行，即，解得.（2）由（1）知，令，解得或.若在处取得极大值，则左侧，右侧.因为恒成立，令，则当时，开口向上，要使左侧，右侧，则，当时，只有唯一解，在此处取极小值，不符合题意；当时，开口向下，要使左侧，右侧，则需满足，因为，故，所以显然不成立.综上，若在处取得极大值，需满足，即.（3）当时，，.由题知过的切线都与轴相交，交点的横坐标分别是，则的斜率存在且不为0.所以切线的斜率，垂直于的切线的斜率.所以，.所以因为，当时，，当时，，所以.21.已知数列，集合，序列，T，其中．对数列进行如下变换：将的第项分别换为，其余项不变，得到的数列记作；将的第，，项分别换为，，，其余项不变，得到的数列记作；…；以此类推，得到…，简记为；（1）给定数列0，1，0，1，0，1，0和序列，写出；（2）给定数列0，0，0，0，0，0，0，请写出一个序列，使得为1，1，1，1，1，1，1，并求的最小值；（3）若项数为的数列的各项均为0，证明：存在序列，使得的各项均为1，并求的最小值．【答案】（1）解：，，，即.（2）解：记，引理：对于每项是0或1的数列，每作一次变换，的奇偶性发生改变.证明：由于其它项不变，因此只需证明，与的奇偶性不同.即证为奇数，由于等于1或.通过枚举易知，证毕.推论:与的奇偶性相同由于且，所以至少进行3次变换.定义即可.故的最小值为3.（3）证明：当时，显然最小值为.当时，由(2)中引理可知为偶数，但显然不成立.故.定义，故的最小值为4.当时，由（2）中引理可知为奇数，但显然不成立，故，定义，故的最小值为3.下面用数学归纳法证明：当或时，的最小值为.（i）当或7时，前面已证的最小值为3.（ii）假设或时，成立.即存在，当或时，一方面，，则.，则.另一方面，由引理可知与奇偶性相同，与奇偶性相同.即，故.现定义，由归纳假设，先作次T变换可得，则最后作一次变换，即可满足题意，即的最小值为.综上所述:.北京市房山区2026届高三上学期入学考试数学试题第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以.故选：B.2.若复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】因为，所以，所以复数在复平面内对应点，位于第四象限.故选：D.3.双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由，则，焦点在轴上，所以双曲线的渐近线方程为，即.故选：C.4.等差数列的首项为1，公差不为0.若成等比数列，则的公差为（）A. B. C.2 D.3【答案】A【解析】设等差数列的公差为，因为成等比数列，所以，即，整理可得，因为，，所以解得.故选：A.5.若且，则下列不等式中恒成立的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】对于A，若，但，故A错误；对于B，由于且，则，故，故B错误；对于C，若，此时，不满足，故C错误；对于D，由于，故，因此，由于，故，D正确，故选：D.6.已知函数的定义域分别为集合，则“”是“曲线与无交点”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】充分性：若，意味着两个函数的定义域没有公共部分.因为函数的交点是在自变量取值相同的情况下，函数值也相同的点，而此时没有共同的自变量取值，所以曲线必然无交点，充分性成立；必要性：若曲线无交点，有可能存在自变量在中，但，所以不能推出，必要性不成立.综上，“”是“曲线与无交点”的充分不必要条件.故选：A.7.把圆向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到圆的方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】圆的圆心为原点，原点向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，故得到.故选：C.8.若函数关于对称，则的最小值为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】函数关于对称，则其对称轴满足，为整数，将代入，得，解得，又因为，所以当时，取得最小值为3，因此，的最小值为3，所以B正确.故选：B.9.生物学家通过数学建模，得到恒温动物（如豚鼠、兔、小狗等）的脉搏率（单位：次/分钟）和体重（单位：克）的关系模型为，其中为常数．已知一只体重为300克的豚鼠的脉搏率为300次/分钟，若一只小狗的体重为克，那么该小狗的脉搏率最接近的是（）A.120次/分钟 B.110次/分钟C.100次/分钟 D.90次/分钟【答案】A【解析】由题意可知，，解得，若一只小狗的体重为克，则，即，，比较选项，，，所以最接近的脉搏率，故选：A.10.已知在等腰梯形中，，是腰上的动点，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】建立如图所示的直角坐标系，则,则,，所以，故，故，由于，故，故，故选：C第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.抛物线的焦点到准线的距离是______________．【答案】4【解析】抛物线的焦点是,准线方程是,所以焦点到准线的距离是4.故答案为：4.12.若，则_________；_________．【答案】①.②.【解析】二项式的展开式的通项公式为，令，则；令，则.故答案为：；.13.已知在中，．写出满足条件的一组角的值_________，_________．【答案】①.②.【解析】因为是的内角，所以则又因为，所以，所以或（舍），所以，所以可取，故答案为：.(答案不唯一)14.羡除是我国古代数学著作《九章算术》中记载的一种特殊五面体，其有三条相互平行且不全相等的棱，这三条棱在古算中被称为“三广”．《九章算术》中记载的羡除体积的计算方法简洁而准确，其术文曰：“并三广，以深乘之，又以袤乘之，六而一．”现有羡除如图所示，．底面为正方形，，其余棱长均为2，则该羡除的体积为_________．【答案】【解析】在平面中，过分别作的垂线，垂足分别为，连接，依题意，四边形为等腰梯形，则，由，得，由正方形，得，而平面，则平面，平面，又平面，则，同理，，等腰底边上的高，同理得平面，平面平面，几何体是直三棱柱，所以该羡除的体积为.故答案为：.15.已知函数，给出下列四个结论：①当时，函数恰有1个零点；②存在负数，使得恰有1个零点；③存在负数，使得恰有3个零点；④存在正数，使得恰有3个零点．其中正确结论的序号是_________．【答案】①②③【解析】对于①，当时，，令得，解得，故恰有1个零点，①正确；对于②，令得，故，令，故的零点个数等价于的交点个数，同一坐标系内，画出的图象，如下：其中过定点，当时，，设过点的切线方程经过点，，故过点的切线斜率为，故切线方程为，将代入得，即，令，，则，故在上单调递增，其中，，故存在，使得，此时，当时，结合图象可知，此时，且有1个交点，故当时，只有1个交点，此时恰有1个零点，②正确；对于③，当时，有3个交点，此时恰有3个零点，③正确；对于④，当时，，不合要求，当时，，设过点的切线方程经过点，，故过点的切线斜率为，故切线方程为，将代入得，即，设，，故恒成立，故在上单调递增，，，故存在，使得，此时，故当时，有1个交点，当时，有0个交点，又时，的增长速度远远大于的增长速度，当时，有2个交点，故不存在正数，使得恰有3个零点．④错误.故答案为：①②③.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.在中，．（1）求的值；（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的面积．条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按照第一个解答计分．【答案】解：（1）在中，由，得，由及正弦定理，得，所以.（2）选择条件①：，由余弦定理，得，而，解得，所以的面积为.条件②：，由正弦定理得，由（1）得，由余弦定理，得，而，解得，所以的面积为.17.如图，在多面体中，四边形为矩形，四边形为梯形，，，，，为线段的中点．（1）求证：平面；（2）若平面平面，求与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明：因为，，M为AD中点，所以，，所以四边形MDEF是平行四边形，进一步可得，因为平面BFM，平面BFM，所以平面BFM．（2）解：因为平面平面ABCD，平面ADEF，且，即，所以平面ABCD，又因为四边形ABCD为矩形，所以，因此可以建立空间直角坐标系，如图所示，以A为原点，分别以AB，AD，AF所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，已知，，M为AD中点，则各点坐标为：，，，，，，所以，，，设平面BFM的法向量为，则，即，令，则，，所以，设CE与平面BFM所成角为，根据直线与平面所成角的向量公式，可得，其中，，，所以，综上，与平面所成角的正弦值为．18.为提高生产效率，某工厂开展技术创新活动，提出了完成某项任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人采用第一种生产方式，第二组工人采用第二种生产方式．两组工人完成任务的工作时间（单位：）如下：生产方式工作时间（单位：）第一种6872767779828383848586878788899090919192第二种6565666869707172727374757676788184848593假设每个工人完成工作所需时间相互独立．用频率估计概率．（1）从第一组工人中随机抽取1人，估计该工人完成生产任务的工作时间小于80分钟的概率；（2）从第一组和第二组工人中各随机抽取1人，记这两人中完成生产任务的工作时间小于80分钟的人数为，求的分布列和数学期望；（3）根据已知样本数据，应该采用哪种生产方式？说明你的理由．【答案】解：（1）第一组工人中工作时间小于80分钟的有5人，所以从第一组工人中随机抽取1人，该工人完成生产任务的工作时间小于80分钟的概率为.（2）第一组和第二组工人中完成生产任务的工作时间小于80分钟的人数分别为5人和15人，的所有可能取值为0，1，2，，，，故的分布列如下：012的数学期望.（3）应该采用第二种生产方式，理由如下：①由所给数据可知，用第一种生产方式的工人中，有的工人完成生产任务所需时间至少82min，用第二种生产方式的工人中，有的工人完成生产任务所需时间至多78min，因此应该采用第二种生产方式；②由所给数据可知，用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为（min），用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为（min），因此应该采用第二种生产方式.19.已知椭圆的一个顶点为，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆相交于两点，若直线与直线的斜率之积为，判断直线是否过定点，若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，说明理由．【答案】解：（1）由顶点为可知，又离心率为，即，可得，因此，所以椭圆的方程为.（2）当直线的斜率存在时，设直线：，，如下图所示：联立，整理可得，显然，即，可得；且，则直线与直线的斜率分别为；即可得所以可得，所以；解得或；当时，直线为，此时直线恒过点，当时直线为，恒过，与点重合，不合