2026届云南省楚雄彝族自治州高三上学期9月月考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1云南省楚雄彝族自治州2026届高三上学期9月月考数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由，得，所以，又，所以.故选：C.2.函数的定义域是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意，，解得且，的定义域是．故选：C．3.已知x，y为实数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】当时，x，y同号，所以，所以“”是“”的充分条件；若时，，此时，所以“”不是“”的必要条件，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.4.中，角的对边分别为，且，则（）A. B. C. D.2【答案】D【解析】因为，由余弦定理，，即，解得或（舍）.故选：D.5.已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由的解集为，可得，且方程的解为，所以，则，所以，即，又，所以，解得，即关于的不等式的解集为.故选：C.6.某品牌的新能源汽车的使用年限（年）与维护费用（千元）之间有如下数据：使用年限（年）24568维护费用（千元）2.754.256.257.258.75已知与之间具有线性相关关系，且关于的经验回归方程为.据此估计，使用年限为9年时，维护费用约为（）A.9.75千元 B.10.05千元 C.10.25千元 D.10.75千元【答案】B【解析】由题意可得，由于回归直线过样本的中心点，所以，解得，当时，，所以当该品牌的新能源汽车的使用年限为9年时，维护费用约为10.05千元.故选：B.7.已知，，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为，即，，即，所以.故选：D.8.若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（）A. B.4 C.5 D.【答案】B【解析】当时，不可能对任意的恒成立，不满足要求，当时，开口向下，不满足题意，所以，令，得，当时，不等式对任意的恒成立，所以，即，且，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为4.故选：B.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.影响植物产量的因素很多，其中株高对产量有一定的影响.经调查某种植物的株高（单位：）近似地服从正态分布，若，则（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】设，则，由服从正态分布得，，所以，故AD正确，BC错误.故选：AD.10.已知是两条不同的直线是两个不同的平面，，则（）A.不平行是不平行的充分条件B.不相交是不相交的必要条件C.垂直且相交是垂直的充分条件D.平行或相交是异面的必要条件【答案】BD【解析】不平行，有可能平行，故A错误；若不相交，则不相交，故B正确；若垂直相交，，可能不垂直，故C错误；若异面，则平行或相交，故D正确.故选：BD.11.已知函数的定义域为，且满足，则下列说法正确的有（）A.B.函数是奇函数C.D.若当时，，则在上单调递增【答案】ABD【解析】对于A，取，得，则，A正确；对于B，取，得，则，对，取得，则，函数是奇函数，B正确；对于C，当时，，C错误；对于D，，则，由当时，，得，因此，在上单调递增，D正确.故选：ABD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，则__________.【答案】1【解析】由，则.故答案为：1.13.已知集合，则__________.【答案】【解析】由，得，即，所以，由，解得集合，所以，所以，所以.故答案为：.14.已知三棱锥的底面是边长为6的正三角形，，若三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为__________.【答案】【解析】取的中点为，连接，设的重心为点，则点是上靠近的三等分点，在中，取中点，过作垂直于的直线与的垂直平分线交于点.由是边长为6的正三角形知，，且，由得，且，因为平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，所以平面，则到三个顶点的距离相等，又在的垂直平分线上，所以到四点距离相等.在中，由余弦定理得，在中，，所以，所以，点与点重合，球半径，所以球的表面积为.故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.在中，角的对边分别为，已知.（1）求角的大小；（2）若的面积为，求边的大小.【答案】解：（1）由正弦定理与，得.所以即.因为，所以，又，所以，又，所以.（2）因为的面积为，所以，即，解得.由余弦定理，得，所以.16.在菱形中，为线段的中点（如图1）.将沿折起到的位置，使得平面平面为线段的中点（如图2），连接.（1）求证：平面；（2）若，求三棱锥的体积.【答案】（1）证明：如图，取线段的中点，连接，因为在中，分别是线段的中点，所以.因为为线段的中点，菱形中，，所以，所以，则四边形为平行四边形，所以.又因为平面平面，所以平面.（2）解：在菱形中，因为为线段的中点，所以.因为平面平面，平面平面平面，所以平面，所以是三棱锥的高.而，则，，则，所以三棱锥的体积，所以.17.课外阅读对于学生的综合发展是非常有利的，课外阅读能够充分调动学生的写作积极性，并且能够帮助其积累丰富的阅读知识，将学生的学习效率最大化，全面提高学生的写作质量.某市为了解高中生课外阅读时间的情况，随机抽取了1000名高中学生进行调查，得到了这1000名学生的平均每周课外阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成，，，，，六组，绘制成如图所示的频率分布直方图，其中.（1）求a，b的值；（2）为进一步了解这1000名学生的读书喜好，从平均每周课外阅读时间在，两组内的学生中，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记在这3人中，平均每周课外阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列与数学期望.【答案】解：（1）由频率和为1，得，又，解得，.（2）由比例分配的分层随机抽样方法知，从平均每周课外阅读时间在内的学生中抽取8人，内的学生中抽取2人，从该10人中抽取3人，则X的可能取值为1，2，3，，，，则X的分布列为：X123P所以X的数学期望.18.已知函数，．（1）若曲线在点处的切线与曲线只有一个交点，求实数的值；（2）若在区间上单调递增，求实数的取值范围．【答案】解：（1）由题意得，，则，又，所以曲线在点处的切线方程为，即．因为曲线在点处的切线与曲线只有一个交点，所以方程只有一个解，即只有一个解，当时，方程只有一个解，符合题意；当时，，即，因为方程的，所以方程无解，综上所述，实数的值为0．（2）由，可得．因为在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立．令，，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，则，，故实数的取值范围为．19.定义：多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的一个顶点，（，且）为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面、平面、、平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，．（1）求四棱锥在顶点处的离散曲率；（2）求四棱锥内切球的表面积；（3）若是棱上的一个动点，求直线与平面所成角的取值范围．【答案】解：（1）因为平面，平面，所以，因为，则．因为平面，平面，所以，又，，、平面，所以平面，又平面，所以，即，由离散曲率的定义得．（2）因为四边形为正方形，则，因为平面，平面，则，因为，、平面，所以，平面，因为平面，所以，设四棱锥的表面积为，则．设四棱锥的内切球的半径为，则，所以，所以四棱锥内切球的表面积．（3）如图，过点作交于点，连接，因为平面，所以平面，则为直线与平面所成的角．易知，当与重合时，；当与不重合时，设，在中，由余弦定理得因为，所以，所以，则，所以．当分母最小时，最大，即最大，此时（与重合），由，得，即，所以的最大值为，所以直线与平面所成角的取值范围为．云南省楚雄彝族自治州2026届高三上学期9月月考数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由，得，所以，又，所以.故选：C.2.函数的定义域是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意，，解得且，的定义域是．故选：C．3.已知x，y为实数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】当时，x，y同号，所以，所以“”是“”的充分条件；若时，，此时，所以“”不是“”的必要条件，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.4.中，角的对边分别为，且，则（）A. B. C. D.2【答案】D【解析】因为，由余弦定理，，即，解得或（舍）.故选：D.5.已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由的解集为，可得，且方程的解为，所以，则，所以，即，又，所以，解得，即关于的不等式的解集为.故选：C.6.某品牌的新能源汽车的使用年限（年）与维护费用（千元）之间有如下数据：使用年限（年）24568维护费用（千元）2.754.256.257.258.75已知与之间具有线性相关关系，且关于的经验回归方程为.据此估计，使用年限为9年时，维护费用约为（）A.9.75千元 B.10.05千元 C.10.25千元 D.10.75千元【答案】B【解析】由题意可得，由于回归直线过样本的中心点，所以，解得，当时，，所以当该品牌的新能源汽车的使用年限为9年时，维护费用约为10.05千元.故选：B.7.已知，，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为，即，，即，所以.故选：D.8.若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（）A. B.4 C.5 D.【答案】B【解析】当时，不可能对任意的恒成立，不满足要求，当时，开口向下，不满足题意，所以，令，得，当时，不等式对任意的恒成立，所以，即，且，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为4.故选：B.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.影响植物产量的因素很多，其中株高对产量有一定的影响.经调查某种植物的株高（单位：）近似地服从正态分布，若，则（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】设，则，由服从正态分布得，，所以，故AD正确，BC错误.故选：AD.10.已知是两条不同的直线是两个不同的平面，，则（）A.不平行是不平行的充分条件B.不相交是不相交的必要条件C.垂直且相交是垂直的充分条件D.平行或相交是异面的必要条件【答案】BD【解析】不平行，有可能平行，故A错误；若不相交，则不相交，故B正确；若垂直相交，，可能不垂直，故C错误；若异面，则平行或相交，故D正确.故选：BD.11.已知函数的定义域为，且满足，则下列说法正确的有（）A.B.函数是奇函数C.D.若当时，，则在上单调递增【答案】ABD【解析】对于A，取，得，则，A正确；对于B，取，得，则，对，取得，则，函数是奇函数，B正确；对于C，当时，，C错误；对于D，，则，由当时，，得，因此，在上单调递增，D正确.故选：ABD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，则__________.【答案】1【解析】由，则.故答案为：1.13.已知集合，则__________.【答案】【解析】由，得，即，所以，由，解得集合，所以，所以，所以.故答案为：.14.已知三棱锥的底面是边长为6的正三角形，，若三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为__________.【答案】【解析】取的中点为，连接，设的重心为点，则点是上靠近的三等分点，在中，取中点，过作垂直于的直线与的垂直平分线交于点.由是边长为6的正三角形知，，且，由得，且，因为平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，所以平面，则到三个顶点的距离相等，又在的垂直平分线上，所以到四点距离相等.在中，由余弦定理得，在中，，所以，所以，点与点重合，球半径，所以球的表面积为.故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.在中，角的对边分别为，已知.（1）求角的大小；（2）若的面积为，求边的大小.【答案】解：（1）由正弦定理与，得.所以即.因为，所以，又，所以，又，所以.（2）因为的面积为，所以，即，解得.由余弦定理，得，所以.16.在菱形中，为线段的中点（如图1）.将沿折起到的位置，使得平面平面为线段的中点（如图2），连接.（1）求证：平面；（2）若，求三棱锥的体积.【答案】（1）证明：如图，取线段的中点，连接，因为在中，分别是线段的中点，所以.因为为线段的中点，菱形中，，所以，所以，则四边形为平行四边形，所以.又因为平面平面，所以平面.（2）解：在菱形中，因为为线段的中点，所以.因为平面平面，平面平面平面，所以平面，所以是三棱锥的高.而，则，，则，所以三棱锥的体积，所以.17.课外阅读对于学生的综合发展是非常有利的，课外阅读能够充分调动学生的写作积极性，并且能够帮助其积累丰富的阅读知识，将学生的学习效率最大化，全面提高学生的写作质量.某市为了解高中生课外阅读时间的情况，随机抽取了1000名高中学生进行调查，得到了这1000名学生的平均每周课外阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成，，，，，六组，绘制成如图所示的频率分布直方图，其中.（1）求a，b的值；（2）为进一步了解这1000名学生的读书喜好，从平均每周课外阅读时间在，两组内的学生中，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记在这3人中，平均每周课外阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列与数学期望.【答案】解：（1）由频率和为1，得，又，解得，.（2）由比例分配的分层随机抽样方法知，从平均每周课外阅读时间在内的学生中抽取8人，内的学生中抽取2人，从该10人中抽取3人，则X的可能取值为1，2，3，，，，则X的分布列为：X123P所以X的数学期望.18.已知函数，．（1）若曲线在点处的