2026年菁优高考数学解密之集合

第32页（共32页）2026年菁优高考数学解密之集合一．选择题（共10小题）1．（2025•内乡县校级二模）已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{0，1，4}，则A∪B＝（）A．{0} B．{1} C．{0，1} D．{﹣1，0，1，4}2．（2025•新高考Ⅱ）已知集合A＝{﹣4，0，1，2，8}，B＝{x|x3＝x}，则A∩B＝（）A．{0，1，2} B．{1，2，8} C．{2，8} D．{0，1}3．（2025•天津）已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，3}，B＝{2，3，5}，则∁U（A∪B）＝（）A．{1，2，3，4} B．{2，3，4} C．{2，4} D．{4}4．（2025•福建校级模拟）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣8≥0}，B＝{﹣3，﹣1，2，4，5}，则A∩B＝（）A．{﹣3，﹣1，4，5} B．{﹣3，﹣1，4} C．{﹣1，4，5} D．{﹣3，4，5}5．（2025•江苏模拟）若A={x|x=kA．A⊆B⊆C B．A⊆C⊆B C．C⊆B⊆A D．C⊆A⊆B6．（2025•和平区一模）已知集合A＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝{x|﹣1≤x＜3}，则A∪B＝（）A．{x|﹣2＜x＜3} B．{x|x＞﹣2} C．{x|﹣1＜x＜2} D．{x|x＜3}7．（2025•新蔡县校级模拟）集合A={1，2，3，4，A．{1，4，9} B．{3，4，9} C．{1，2，3} D．{2，3，5}8．（2025•嘉峪关校级模拟）已知集合M＝{0，1，2，3，4}，N＝{x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N＝（）A．{1，2} B．{1，2，3} C．[1，2] D．[1，3]9．（2025•安阳模拟）设集合M＝{x|m≤x≤m+34}，N＝{x|n-13≤x≤n}，且M、N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果把b﹣a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩NA．112 B．23 C．13 10．（2025•沈河区校级模拟）已知集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3，5}，B＝{1，2，3}，则（∁UA）∩B＝（）A．{1，2，3，4} B．{2} C．{1，2，3，5} D．{1，3}二．多选题（共6小题）（多选）11．（2025•河南模拟）已知全集U＝{x||x|＜4，x∈Z}，集合M＝{﹣1，2，a2}，N＝{﹣1，1，2，a}，P＝{﹣3，﹣1，2，3}，若M⊆N，则（）A．a的取值有3个 B．M∩P＝{﹣1，2} C．P∪N＝{﹣3，﹣1，0，1，2，3} D．（∁UM）∩（∁UP）所有子集的个数为4（多选）12．（2025•鹤壁一模）已知集合M＝{x|5x≥25}，N＝{x|y＝ln（2x﹣6）}，则下列结论正确的是（）A．M∩N＝M B．M∪N＝M C．（∁RN）∩M＝{x|2≤x≤3} D．（∁RM）∩N＝∅（多选）13．（2025•湖北一模）已知集合P＝{x|x2＝4}，N为自然数集，则下列表示正确的是（）A．2∈P B．P＝{﹣2，2} C．{∅}⊆P D．P⫋N（多选）14．（2025•邵阳模拟）给定实数集A，定义集合M{m∈R|∀a∈A，都有m≥a}，若M是非空集合，则称集合M中最小的元素为集合A的上确界，记作supA．以下说法正确的是（）A．若数集A中有2025个元素，则supA一定存在 B．若数集A中没有最大值，则supA不存在 C．若数集A，B有上确界，则数集{a+b|a∈A，b∈B}一定也有上确界，为supA+supB D．若数集A，B有上确界，则数集{ab|a∈A，b∈B}一定也有上确界，为supAsupB（多选）15．（2025•山东模拟）已知集合A＝{（x，y）|y＝x}，B＝{（x，y）|y＝x3}，若（a，b）∈（A∩B），则a+b的值可能为（）A．4 B．2 C．0 D．﹣2（多选）16．（2025•仓山区校级模拟）若集合A与集合B满足条件：①A∪B＝U；②α∈A，β∈B，α＜β．则称L（A，B）为集合U的划分．下列命题正确的是（）A．若L（M，N）为集合U的划分，则M∩N＝∅ B．若L（M，N）为集合U的划分，则M∩N≠∅ C．若M＝{x|x＜2}，N＝{y|y＝2x+2}，则L（M，N）为R的划分 D．若U＝{a，a2，a3，…，a2n}存在L（A，B）划分，n∈N+，则a∉{0，1}三．填空题（共4小题）17．（2025•上海）已知集合A＝{x|x＞0}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B等于．18．（2025•杨浦区二模）已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|1＜x＜4}，则A∩B＝．19．（2025•浦东新区校级模拟）设集合A＝（2，4），B＝（1，3），则A∩B＝．20．（2025•西峰区校级二模）已知集合A＝{1，|a﹣1|，a+2}，且2∈A，则实数a的值为．四．解答题（共5小题）21．（2025•芙蓉区校级模拟）已知集合U＝{a|a＝2m+2n﹣3，m，n∈N}，实数b满足b2﹣b+1∈{1，3，b}．（1）若集合A＝{a1，a2，a3}，且a1，a2，a3是集合U中最小的三个元素，求集合A；（2）在（1）的条件下，若实数b构成的集合为B，且集合C＝A∪B，若实数p，q∈C，且关于x的方程px2+2x+2q＝0有实数解，请列出所有满足条件的有序数对（p，q）．22．（2025•山西一模）在正整数1，2，…，2n﹣1（n≥2）的任意一个排列A：a1，a2，…，a2n﹣1中，对于任意i，j，k∈{1，2，…，2n﹣1}，且i＜j＜k，若ai＜aj＞ak，则称（i，j，k）为排列A的一个峰对，记排列A中峰对的个数为|A|．例如对于排列A：1，2，3，5，4，（1，4，5）为一个峰对，|A|＝3．（1）设排列A：1，2，5，4，3，B：1，2，5，4，7，6，3，试写出|A|，|B|的值；（2）将排列1，2，…，2n﹣1中的n与2n﹣1互换位置，得到排列C，求|C|的值；（3）对1，2，…，2n﹣1（n≥2）的任意排列A，求|A|的最大值．附：1223．（2023•南阳模拟）已知集合A＝{x|x≤﹣3或x≥2}，B＝{x|1＜x＜5}，C＝{x|m﹣1≤x≤2m}．（1）求A∩B，（∁RA）∪B；（2）若B∩C＝C，求实数m的取值范围．24．（2023•建水县校级模拟）已知集合A＝{x|a≤x≤a+2}，B＝{x|2x+2＞0}，全集U＝R．（1）若a＝﹣2，求A∩B，A∩（∁UB）；（2）若A∩B＝∅，求实数a的取值范围．25．（2021•门头沟区一模）对于一个非空集合A，如果集合D满足如下四个条件：①D⊆{（a，b）|a∈A，b∈A}；②∀a∈A，（a，a）∈D；③∀a，b∈A，若（a，b）∈D且（b，a）∈D，则a＝b；④∀a，b，c∈A，若（a，b）∈D且（b，c）∈D，则（a，c）∈D，则称集合D为A的一个偏序关系．（Ⅰ）设A＝{1，2，3}，判断集合D＝{（1，1），（1，2）（2，2），（2，3），（3，3）}是不是集合A的偏序关系，请你写出一个含有4个元素且是集合A的偏序关系的集合D；（Ⅱ）证明：R≤＝{（a，b）|a∈R，b∈R，a≤b}是实数集R的一个偏序关系：（Ⅲ）设E为集合A的一个偏序关系，a，b∈A．若存在c∈A，使得（c，a）∈E，（c，b）∈E，且∀d∈A，若（d，a）∈E，（d，b）∈E，一定有（d，c）∈E，则称c是a和b的交，记为c＝a∧b．证明：对A中的两个给定元素a，b，若a∧b存在，则一定唯一．

2026年菁优高考数学解密之集合参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案DDDDCADAAB二．多选题（共6小题）题号111213141516答案BCDBCDABACBCDAD一．选择题（共10小题）1．（2025•内乡县校级二模）已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{0，1，4}，则A∪B＝（）A．{0} B．{1} C．{0，1} D．{﹣1，0，1，4}【考点】求集合的并集．【专题】转化思想；转化法；集合；运算求解．【答案】D【分析】根据集合的并集运算，即可得答案．【解答】解：由集合B＝{0，1，4}，A＝{﹣1，0，1}，可得A∪B＝{﹣1，0，1，4}．故选：D．【点评】本题主要考查并集的运算，属于基础题．2．（2025•新高考Ⅱ）已知集合A＝{﹣4，0，1，2，8}，B＝{x|x3＝x}，则A∩B＝（）A．{0，1，2} B．{1，2，8} C．{2，8} D．{0，1}【考点】求集合的交集．【专题】计算题；转化思想；综合法；集合；运算求解．【答案】D【分析】先化简集合B，然后利用求出集合A，B的所有公共元素即可．【解答】解：由已知得：B＝{0，1，﹣1}，又A＝{﹣4，0，1，2，8}，故A∩B＝{0，1}．故选：D．【点评】本题考查集合的交集运算，属于基础题．3．（2025•天津）已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，3}，B＝{2，3，5}，则∁U（A∪B）＝（）A．{1，2，3，4} B．{2，3，4} C．{2，4} D．{4}【考点】集合的交并补混合运算．【专题】对应思想；综合法；集合；运算求解．【答案】D【分析】由集合的运算计算即可求得．【解答】解：因为A＝{1，3}，B＝{2，3，5}，所以A∪B＝{1，2，3，5}，因为U＝{1，2，3，4，5}，∁U（A∪B）＝{4}．故选：D．【点评】本题考查集合的运算，属于基础题．4．（2025•福建校级模拟）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣8≥0}，B＝{﹣3，﹣1，2，4，5}，则A∩B＝（）A．{﹣3，﹣1，4，5} B．{﹣3，﹣1，4} C．{﹣1，4，5} D．{﹣3，4，5}【考点】求集合的交集．【专题】集合思想；定义法；集合；运算求解．【答案】D【分析】通过解不等式明确集合A，再求两集合的交集．【解答】解：A＝{x|x2﹣2x﹣8≥0}＝（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞），B＝{﹣3，﹣1，2，4，5}，则A∩B＝{﹣3，4，5}．故选：D．【点评】本题考查交集及其运算，是基础题．5．（2025•江苏模拟）若A={x|x=A．A⊆B⊆C B．A⊆C⊆B C．C⊆B⊆A D．C⊆A⊆B【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；集合思想；综合法；集合；逻辑思维．【答案】C【分析】利用子集的定义依次判断即可．【解答】解：若x∈C，则存在k0∈Z，使x=2又∵2k0∈Z，∴x∈B，故C⊆B，若x∈B，则存在k1∈Z，使x=k又∵2k1﹣3∈Z，∴x∈A，故B⊆A，又∵43∈A，43∉B，56∈B，5∴C⊆B⊆A，故选：C．【点评】本题考查了集合间子集关系的判断，属于基础题．6．（2025•和平区一模）已知集合A＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝{x|﹣1≤x＜3}，则A∪B＝（）A．{x|﹣2＜x＜3} B．{x|x＞﹣2} C．{x|﹣1＜x＜2} D．{x|x＜3}【考点】求集合的并集．【专题】转化思想；转化法；集合；运算求解．【答案】A【分析】根据已知条件，结合并集的定义，即可求解．【解答】解：集合A＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝{x|﹣1≤x＜3}，则A∪B＝{x|﹣2＜x＜3}．故选：A．【点评】本题主要考查并集的运算，属于基础题．7．（2025•新蔡县校级模拟）集合A={1，2，3，4，A．{1，4，9} B．{3，4，9} C．{1，2，3} D．{2，3，5}【考点】求集合的交集；求集合的补集．【专题】转化思想；转化法；集合；运算求解．【答案】D【分析】由集合B的定义求出B，结合交集与补集运算即可求解．【解答】解：因为A={1，2，3，4，5，9}，B={x则A∩B＝{1，4，9}，∁A（A∩B）＝{2，3，5}．故选：D．【点评】本题主要考查集合的运算，属于基础题．8．（2025•嘉峪关校级模拟）已知集合M＝{0，1，2，3，4}，N＝{x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N＝（）A．{1，2} B．{1，2，3} C．[1，2] D．[1，3]【考点】求集合的交集；解一元二次不等式．【专题】转化思想；综合法；集合；运算求解．【答案】A【分析】由题意解一元二次不等式即可求出集合N内的元素，再求集合M，N共同包含的元素即可．【解答】解：因为集合M＝{0，1，2，3，4}，N＝{x|（x﹣2）（x﹣1）≤0}，即N＝{x|1≤x≤2}，所以M∩N＝{1，2}．故选：A．【点评】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．9．（2025•安阳模拟）设集合M＝{x|m≤x≤m+34}，N＝{x|n-13≤x≤n}，且M、N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果把b﹣a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩NA．112 B．23 C．13 【考点】交集及其运算．【专题】新定义．【答案】A【分析】根据题意中集合“长度”的定义，可得M的长度为34，N的长度为13，分析可得当集合M∩N的长度的最小值时，即重合部分最少时，M与N应分别在区间[0，【解答】解：根据题意，M的长度为34，N的长度为1当集合M∩N的长度的最小值时，M与N应分别在区间[0，1]的左右两端，故M∩N的长度的最小值是34+1故选：A．【点评】本题考查集合间的交集，应结合交集的意义，分析集合“长度”的定义，进而得到答案．10．（2025•沈河区校级模拟）已知集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3，5}，B＝{1，2，3}，则（∁UA）∩B＝（）A．{1，2，3，4} B．{2} C．{1，2，3，5} D．{1，3}【考点】集合的交并补混合运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合；运算求解．【答案】B【分析】进行交集和补集的运算即可．【解答】解：∵U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3，5}，B＝{1，2，3}，∴∁UA＝{2，4}，（∁UA）∩B＝{2}．故选：B．【点评】本题考查了集合的列举法的定义，交集和补集的定义及运算，全集的定义，考查了计算能力，属于基础题．二．多选题（共6小题）（多选）11．（2025•河南模拟）已知全集U＝{x||x|＜4，x∈Z}，集合M＝{﹣1，2，a2}，N＝{﹣1，1，2，a}，P＝{﹣3，﹣1，2，3}，若M⊆N，则（）A．a的取值有3个 B．M∩P＝{﹣1，2} C．P∪N＝{﹣3，﹣1，0，1，2，3} D．（∁UM）∩（∁UP）所有子集的个数为4【考点】集合的包含关系的应用；求集合的并集；求集合的交集．【专题】整体思想；综合法；集合；运算求解．【答案】BCD【分析】根据M⊆N求出a的值，进而得到集合M，N，再利用集合的基本运算求解．【解答】解：对于A，若M⊆N，则a2＝1或a2＝a，解得a＝0，1或﹣1，当a＝1或﹣1时，不满足元素的互异性，舍去，所以a＝0，故A错误；对于B，由A可知，集合M＝{﹣1，2，0}，N＝{﹣1，1，2，0}，又因为P＝{﹣3，﹣1，2，3}，所以M∩P＝{﹣1，2}，故B正确；对于C，由A可知，集合M＝{﹣1，2，0}，N＝{﹣1，1，2，0}，又因为P＝{﹣3，﹣1，2，3}，所以P∪N＝{﹣3，﹣1，0，1，2，3}，故C正确；对于D，由A可知，集合M＝{﹣1，2，0}，N＝{﹣1，1，2，0}，又全集U＝{x||x|＜4，x∈Z}＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，因为P＝{﹣3，﹣1，2，3}，所以∁UM＝{﹣3，﹣2，1，3}，）∁UP＝{﹣2，0，1}，所以（∁UM）∩（∁UP）＝{﹣2，1}，所以（∁UM）∩（∁UP）所有子集的个数为22＝4，故D正确．故选：BCD．【点评】本题主要考查了集合的基本运算，考查了集合间的包含关系，属于基础题．（多选）12．（2025•鹤壁一模）已知集合M＝{x|5x≥25}，N＝{x|y＝ln（2x﹣6）}，则下列结论正确的是（）A．M∩N＝M B．M∪N＝M C．（∁RN）∩M＝{x|2≤x≤3} D．（∁RM）∩N＝∅【考点】集合的交并补混合运算；指、对数不等式的解法；求对数型复合函数的定义域．【专题】整体思想；综合法；集合；运算求解．【答案】BCD【分析】根据指数以及对数的性质化简集合M，N，即可根据集合的交并补的定义，结合选项逐一求解．【解答】解：由M＝{x|5x≥25}＝{x|x≥2}，N＝{x|y＝ln（2x﹣6）}＝{x|x＞3}，M∩N＝{x|x＞3}＝N，A错误，M∪N＝{x|x≥2}＝M，B正确，∁RM＝{x|x＜2}，∁RN＝{x|x≤3}，（∁RN）∩M＝{x|x≤3}∩{x|x≥2}＝{x|2≤x≤3}，C正确，（∁RM）∩N＝{x|x＜2}∩{x|x＞3}＝∅，D正确．故选：BCD．【点评】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．（多选）13．（2025•湖北一模）已知集合P＝{x|x2＝4}，N为自然数集，则下列表示正确的是（）A．2∈P B．P＝{﹣2，2} C．{∅}⊆P D．P⫋N【考点】集合的包含关系判断及应用；元素与集合关系的判断．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合；运算求解．【答案】AB【分析】集合P＝{x|x2＝4}＝{﹣2，2}．N为自然数集，由此能求出结果．【解答】解：集合M＝{x|x2＝4}＝{﹣2，2}．N为自然数集，在A中，2∈P，正确；在B中，P＝{﹣2，2}，正确；在C中，∅⊆P，故C错误；在D中，P不是N的子集，故D错误．故选：AB．【点评】本题考查了元素与集合的关系、集合与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．（多选）14．（2025•邵阳模拟）给定实数集A，定义集合M{m∈R|∀a∈A，都有m≥a}，若M是非空集合，则称集合M中最小的元素为集合A的上确界，记作supA．以下说法正确的是（）A．若数集A中有2025个元素，则supA一定存在 B．若数集A中没有最大值，则supA不存在 C．若数集A，B有上确界，则数集{a+b|a∈A，b∈B}一定也有上确界，为supA+supB D．若数集A，B有上确界，则数集{ab|a∈A，b∈B}一定也有上确界，为supAsupB【考点】元素与集合的属于关系的应用．【专题】对应思想；综合法；集合；逻辑思维；新定义类．【答案】AC【分析】根据集合的上确界的概念判断A，结合反比例函数的性质判断B，结合不等式的性质判断C，举反例判断D．【解答】解：若数集A中有2025个元素，则数集A中的元素一定有最大值，所以数集A一定有上确界，故A正确；若A={x|但supA＝1，故B错误；若数集A，B有上确界，设supA＝m，supB＝n，由上确界的定义可知，对于∀a∈A，b∈B，都有a≤m，b≤n，所以a+b≤m+n，即sup{a+b|a∈A，b∈B}＝m+n＝supA+supB，故C正确；若A＝{﹣2，﹣1}，B＝{1，2}，则数集A，B有上确界，且supA＝﹣1，supB＝2，此时{ab|a∈A，b∈B}＝{﹣4，﹣2，﹣1}，则sup{ab|a∈A，b∈B}＝﹣1≠﹣2＝supAsupB，故D错误．故选：AC．【点评】本题属于集合新定义题，正确理解supA的概念是解题的关键，属于基础题．（多选）15．（2025•山东模拟）已知集合A＝{（x，y）|y＝x}，B＝{（x，y）|y＝x3}，若（a，b）∈（A∩B），则a+b的值可能为（）A．4 B．2 C．0 D．﹣2【考点】求集合的交集；判断元素与集合的属于关系．【专题】集合思想；综合法；集合；运算求解．【答案】BCD【分析】联立方程y=xy=x【解答】解：联立方程y=xy=x3，解得所以A∩B＝{（0，0），（1，1），（﹣1，﹣1）}，若（a，b）∈（A∩B），则a+b的值可能为0或2或﹣2．故选：BCD．【点评】本题主要考查了元素与集合的关系，属于基础题．（多选）16．（2025•仓山区校级模拟）若集合A与集合B满足条件：①A∪B＝U；②α∈A，β∈B，α＜β．则称L（A，B）为集合U的划分．下列命题正确的是（）A．若L（M，N）为集合U的划分，则M∩N＝∅ B．若L（M，N）为集合U的划分，则M∩N≠∅ C．若M＝{x|x＜2}，N＝{y|y＝2x+2}，则L（M，N）为R的划分 D．若U＝{a，a2，a3，…，a2n}存在L（A，B）划分，n∈N+，则a∉{0，1}【考点】集合的交并补混合运算．【专题】对应思想；综合法；集合；逻辑思维；新定义类．【答案】AD【分析】根据题设划分的概念，对各选项进行判定即可．【解答】解：选项A：由定义知A∪B＝U且α＜β，α∈A，β∈B，若A∩B≠∅，则存在元素同时属于两集合，与条件矛盾，故A∩B＝∅，故A正确；选项B：与选项A相反，故B错误；选项C：M＝{x|x＜2}，N＝{y|y＝2x+2＞2}，则M∪N不包含2，不满足A∪B＝U，故C错误；选项D：若a＝0或1，则U只含单元素，无法划分，故若U＝{a，a2，a3，…，a2n}存在L（A，B）划分，n∈N+，则a∉{0，1}，故D正确．故选：AD．【点评】本题考查集合的新定义问题，属中档题．三．填空题（共4小题）17．（2025•上海）已知集合A＝{x|x＞0}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B等于{1，2}．【考点】交集及其运算．【专题】集合思想；数学模型法；集合．【答案】见试题解答内容【分析】直接由交集的运算性质得答案．【解答】解：由集合A＝{x|x＞0}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B＝{x|x＞0}∩{﹣1，0，1，2}＝{1，2}．故答案为：{1，2}．【点评】本题考查了交集及其运算，是基础题．18．（2025•杨浦区二模）已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|1＜x＜4}，则A∩B＝{2，3}．【考点】求集合的交集．【专题】转化思想；转化法；集合；运算求解．【答案】{2，3}．【分析】结合交集的定义，即可求解．【解答】解：集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|1＜x＜4}，则A∩B＝{2，3}．故答案为：{2，3}．【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．19．（2025•浦东新区校级模拟）设集合A＝（2，4），B＝（1，3），则A∩B＝（2，3）．【考点】求集合的交集．【专题】转化思想；转化法；集合；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】根据交集的定义计算即可．【解答】解：集合B＝（1，3），A＝（2，4），则A∩B＝（2，3）．故答案为：（2，3）．【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．20．（2025•西峰区校级二模）已知集合A＝{1，|a﹣1|，a+2}，且2∈A，则实数a的值为3．【考点】元素与集合的属于关系的应用．【专题】整体思想；综合法；集合；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】由已知结合元素与集合关系即可求解．【解答】解：由集合A＝{1，|a﹣1|，a+2}，且2∈A，得|a﹣1|＝2或a+2＝2，解得a＝0或a＝3或a＝﹣1．当a＝﹣1时，A＝{1，2，1}，与集合中元素的互异性矛盾，舍去．当a＝0时，A＝{2，1，1}，与集合中元素的互异性矛盾，舍去；当a＝3时，A＝{1，2，5}，符合题意；故实数a的值为3．故答案为：3．【点评】本题主要考查了元素与集合关系的应用，属于基础题．四．解答题（共5小题）21．（2025•芙蓉区校级模拟）已知集合U＝{a|a＝2m+2n﹣3，m，n∈N}，实数b满足b2﹣b+1∈{1，3，b}．（1）若集合A＝{a1，a2，a3}，且a1，a2，a3是集合U中最小的三个元素，求集合A；（2）在（1）的条件下，若实数b构成的集合为B，且集合C＝A∪B，若实数p，q∈C，且关于x的方程px2+2x+2q＝0有实数解，请列出所有满足条件的有序数对（p，q）．【考点】求集合的并集．【专题】集合思想；定义法；集合；运算求解．【答案】（1）A＝{﹣1，0，1}．（2）（0，﹣1），（0，0），（0，1），（0，2），（1，﹣1），（2，﹣1），（﹣1，0），（1，0），（2，0），（﹣1，1），（﹣1，2）．【分析】（1）根据单调性得到最小的三个元素，得到答案；（2）先求出B＝{0，﹣1，2}，得到C＝{﹣1，0，1，2}，分p＝0和p≠0，结合根的判别式得到满足的条件，求出所有满足条件的有序数对．【解答】解：（1）a＝2m+2n﹣3，m，n∈N随着m，n的增大而增大，又m，n∈N，故集合U中最小的三个元素依次为：20+20﹣3＝﹣1，21+20﹣3＝0，21+21﹣3＝1，∴A＝{﹣1，0，1}．（2）b2﹣b+1∈{1，3，b}，当b2﹣b+1＝1时，b＝0或b＝1，当b＝1时，与元素互异性矛盾，舍去，b＝0满足要求；当b2﹣b+1＝3时，b＝﹣1或b＝2，两者均满足条件；当b2﹣b+1＝b时，b＝1（舍去），综上，B＝{0，﹣1，2}，C＝A∪B＝{﹣1，0，1}∪{0，﹣1，2}＝{﹣1，0，1，2}，p，q∈C，关于x的方程为px2+2x+2q＝0有实数解，当p＝0时，2x+2q＝0，解得x＝﹣q，满足要求，∴q＝﹣1，0，1，2均可，满足条件的有序数对有（0，﹣1），（0，0），（0，1），（0，2），当p≠0，需满足Δ＝4﹣8pq≥0，即pq≤1若q＝﹣1，则p＝1，2，满足条件的有序数对有（1，﹣1），（2，﹣1），若q＝0，则p＝﹣1，1，2，满足条件的有序数对有（﹣1，0），（1，0），（2，0），若q＝1，则p＝﹣1，满足条件的有序数对有（﹣1，1），若q＝2，则p＝﹣1，满足条件的有序数对有（﹣1，2），综上，满足条件的有序数对有：（0，﹣1），（0，0），（0，1），（0，2），（1，﹣1），（2，﹣1），（﹣1，0），（1，0），（2，0），（﹣1，1），（﹣1，2）．【点评】本题考查函数的单调性、元素的互异性、有序数对等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．22．（2025•山西一模）在正整数1，2，…，2n﹣1（n≥2）的任意一个排列A：a1，a2，…，a2n﹣1中，对于任意i，j，k∈{1，2，…，2n﹣1}，且i＜j＜k，若ai＜aj＞ak，则称（i，j，k）为排列A的一个峰对，记排列A中峰对的个数为|A|．例如对于排列A：1，2，3，5，4，（1，4，5）为一个峰对，|A|＝3．（1）设排列A：1，2，5，4，3，B：1，2，5，4，7，6，3，试写出|A|，|B|的值；（2）将排列1，2，…，2n﹣1中的n与2n﹣1互换位置，得到排列C，求|C|的值；（3）对1，2，…，2n﹣1（n≥2）的任意排列A，求|A|的最大值．附：12【考点】元素与集合的属于关系的应用．【专题】对应思想；定义法；集合；运算求解；新定义类．【答案】（1）|A|＝6，|B|＝18；（2）52（3）4n【分析】（1）根据峰对定义即可求解；（2）通过分析交换位置后的排列特点来确定峰对个数；（3）由峰对定义和aj≥3分析求出峰对（i，j，k）的个数为x（aj﹣1﹣x）个，接着分aj为奇数和偶数两种情况分析求出x（aj﹣1﹣x）最大值，再依次考虑aj＝3，4，…，2n﹣1即可求解．【解答】解：（1）对于排列A：1，2，5，4，3，则峰对有（1，3，5），（1，3，4），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（1，4，5），则|A|＝6，对于排列B：1，2，5，4，7，6，3，则峰对有（1，3，4），（1，3，7），（1，4，7），（1，5，6），（1，5，7），（1，6，7），（2，3，4），（2，3，7），（2，4，7），（2，5，6），（2，5，7），（2，6，7），（3，5，6），（3，5，7），（3，6，7），（4，5，6），（4，5，7），（4，6，7），则|B|＝18．（2）由题an＝2n﹣1，a2n﹣1＝n，排列C的峰对（i，j，k）必涉及n，2n﹣1，必有j＝n，或k＝2n﹣1．若j＝n，（i，j，k）为峰对当且仅当1≤i≤n﹣1，n+1≤k≤2n﹣1，共（n﹣1）2个峰对．若k＝2n﹣1，（i，j，k）为峰对当且仅当1≤i≤n﹣1，n≤j≤2n﹣2，或n+1≤i＜j≤2n﹣2，共(n峰对（i，n，2n﹣1），1≤i≤n﹣1在两类中都有涉及，故|C（3）若（i，j，k）为峰对，其中j为常数，且aj≥3，由题ai∈{1，2，…，aj﹣1}∩{a1，a2，…，aj﹣1}，ak∈{1，2，…，aj﹣1}∩{aj+1，aj+2，…，a2n﹣1}，设集合{1，2，…，aj﹣1}∩{a1，a2，…，aj﹣1}中的元素个数为x，则集合{1，2，…，aj﹣1}∩{aj﹣1，aj﹣2，…，a2n﹣1}的元素个数为aj﹣1﹣x，此时峰对（i，j，k）的个数为x（aj﹣1﹣x）个．若aj为偶数，可知当且仅当x=aj2-1，或aj2时，x（a若aj为奇数，可知当且仅当x=aj-12时，x（aj﹣依次考虑aj＝3，4，…，2n﹣1，可知|A|≤14[32+42+...+（2n﹣1）2]-12（3+4+...+2n﹣当ak=2k-1，【点评】本题考查新定义问题，根据新定义交代的性质或运算规则去解决问题以及集合与元素相关知识，属于中档题．23．（2023•南阳模拟）已知集合A＝{x|x≤﹣3或x≥2}，B＝{x|1＜x＜5}，C＝{x|m﹣1≤x≤2m}．（1）求A∩B，（∁RA）∪B；（2）若B∩C＝C，求实数m的取值范围．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合思想；定义法；集合．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据交集、补集和并集的定义计算即可；（2）由B∩C＝C知C⊆B，讨论m的取值情况，求出满足条件的m取值范围．【解答】解：（1）集合A＝{x|x≤﹣3或x≥2}，B＝{x|1＜x＜5}，∴A∩B＝{x|2≤x＜5}，∁RA＝{x|﹣3＜x＜2}，∴（∁RA）∪B＝{x|﹣3＜x＜5}；（2）∵B∩C＝C，∴C⊆B，又C＝{x|m﹣1≤x≤2m}，①当C＝∅时，m﹣1＞2m，解得m＜﹣1；②当C≠∅时，m-1≤2mm-1综上，m的取值范围是(-∞，【点评】本题考查了集合的定义与应用问题，是基础题．24．（2023•建水县校级模拟）已知集合A＝{x|a≤x≤a+2}，B＝{x|2x+2＞0}，全集U＝R．（1）若a＝﹣2，求A∩B，A∩（∁UB）；（2）若A∩B＝∅，求实数a的取值范围．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合思想；综合法；集合；运算求解．【答案】（1）{x|﹣2≤x＜﹣1}，{x|﹣2≤x≤﹣1}；（2）（﹣∞，﹣3]．【分析】（1）可求出集合A，B，然后进行交集和补集的运算即可；（2）根据条件可得出a+2≤﹣1，然后解出a的范围即可．【解答】解：（1）a＝﹣2时，A＝{x|﹣2≤x≤0}，∵B＝{x|x＞﹣1}，∴A∩B＝{x|﹣1＜x≤0}，∁UB＝{x|x≤﹣1}，A∩（∁UB）＝{x|﹣2≤x≤﹣1}；（2）∵A＝{x|a≤x≤a+2}，B＝{x|x＞﹣1}，且A∩B＝∅，∴a+2≤﹣1，解得a≤﹣3，∴实数a的取值范围为（﹣∞，﹣3]．【点评】本题考查了集合的描述法的定义，交集和补集的定义及运算，全集的定义，空集的定义，考查了计算能力，属于容易题．25．（2021•门头沟区一模）对于一个非空集合A，如果集合D满足如下四个条件：①D⊆{（a，b）|a∈A，b∈A}；②∀a∈A，（a，a）∈D；③∀a，b∈A，若（a，b）∈D且（b，a）∈D，则a＝b；④∀a，b，c∈A，若（a，b）∈D且（b，c）∈D，则（a，c）∈D，则称集合D为A的一个偏序关系．（Ⅰ）设A＝{1，2，3}，判断集合D＝{（1，1），（1，2）（2，2），（2，3），（3，3）}是不是集合A的偏序关系，请你写出一个含有4个元素且是集合A的偏序关系的集合D；（Ⅱ）证明：R≤＝{（a，b）|a∈R，b∈R，a≤b}是实数集R的一个偏序关系：（Ⅲ）设E为集合A的一个偏序关系，a，b∈A．若存在c∈A，使得（c，a）∈E，（c，b）∈E，且∀d∈A，若（d，a）∈E，（d，b）∈E，一定有（d，c）∈E，则称c是a和b的交，记为c＝a∧b．证明：对A中的两个给定元素a，b，若a∧b存在，则一定唯一．【考点】元素与集合关系的判断；进行简单的合情推理．【专题】集合思想；综合法；集合；逻辑思维．【答案】（Ⅰ）D＝{（1，1），（1，2），（2，2），（3，3）}（开放性）．（Ⅱ）证明过程见解答．（Ⅲ）证明过程见解答．【分析】（Ⅰ）集合D满足①②③，但不满足④，推导出集合D不是集合A的偏序关系，由此能求出结果．（Ⅱ）R≤＝{（a，b）|a∈R，b∈R，a≤b}，满足①②，推导出a＝b，满足条件③，（a，c）∈R≤，满足条件④，由此能证明R≤＝{（a，b）|a∈R，b∈R，a≤b}是实数集R的一个偏序关系．（Ⅲ）假设对A中的两个给定元素a，b，且a∧b存在，但不唯一．推导出（c2，c1）∈E，（c1，c2）∈E，则c2＝c1，与c1≠c2矛盾．从而对A中的两个给定元素a，b，若a∧b存在，则一定唯一．【解答】解：（Ⅰ）集合D满足①②③，但不满足④，因为（1，2）∈D，（2，3）∈D，由题意（1，3）∈D，而（1，3）∉D，所以不满足④，集合D不是集合A的偏序关系，故D＝{（1，1），（1，2），（2，2），（3，3）}（开放性）．（Ⅱ）证明：R≤＝{（a，b）|a∈R，b∈R，a≤b}，满足①②，∀（a，b）∈D⇒a≤b，且（b，a）∈D⇒b≤a，则a＝b，满足条件③，∀a，b，c∈R，若（a，b）∈R≤且（b，c）∈R≤，则a≤b，b≤c，所以a≤c，所以（a，c）∈R≤，满足条件④，综上所述，R≤＝{（a，b）|a∈R，b∈R，a≤b}是实数集R的一个偏序关系．（Ⅲ）证明：用反证法．假设对A中的两个给定元素a，b，且a∧b存在，但不唯一．设c1＝a∧b，c2＝a∧b，且c1≠c2，则（c1，a）∈E，（c1，b）∈E，（c2，a）∈E，（c2，b）∈E，其中E为集合A的一个偏序关系．且∀d∈A，若（d，a）∈E，（d，b）∈E，一定有（d，c1）∈E，所以（c2，c1）∈E，同理（c1，c2）∈E，则c2＝c1，与c1≠c2矛盾．所以，对A中的两个给定元素a，b，若a∧b存在，则一定唯一．【点评】本题考查满足条件的集合的求法，考查两个集合的偏序关系的证明，考查反证法、集合间的关系、元素与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力等数学核心素养，是中档题．

考点卡片1．元素与集合关系的判断【知识点的认识】1、元素与集合的关系：一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A．2、集合中元素的特征：（1）确定性：作为一个集合中的元素，必须是确定的．即一个集合一旦确定，某一个元素属于还是不属于这集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合．（2）互异性：集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，他的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素．（3）无序性：集合于其中元素的排列顺序无关．这个特性通常被用来判断两个集合的关系．【命题方向】题型一：验证元素是否是集合的元素典例1：已知集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}．求证：（1）3∈A；（2）偶数4k﹣2（k∈Z）不属于A．分析：（1）根据集合中元素的特性，判断3是否满足即可；（2）用反证法，假设属于A，再根据两偶数的积为4的倍数；两奇数的积仍为奇数得出矛盾，从而证明要证的结论．解答：解：（1）∵3＝22﹣12，3∈A；（2）设4k﹣2∈A，则存在m，n∈Z，使4k﹣2＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）成立，1、当m，n同奇或同偶时，m﹣n，m+n均为偶数，∴（m﹣n）（m+n）为4的倍数，与4k﹣2不是4的倍数矛盾．2、当m，n一奇，一偶时，m﹣n，m+n均为奇数，∴（m﹣n）（m+n）为奇数，与4k﹣2是偶数矛盾．综上4k﹣2∉A．点评：本题考查元素与集合关系的判断．分类讨论的思想．题型二：知元素是集合的元素，根据集合的属性求出相关的参数．典例2：已知集合A＝{a+2，2a2+a}，若3∈A，求实数a的值．分析：通过3是集合A的元素，直接利用a+2与2a2+a＝3，求出a的值，验证集合A中元素不重复即可．解答：解：因为3∈A，所以a+2＝3或2a2+a＝3…（2分）当a+2＝3时，a＝1，…（5分）此时A＝{3，3}，不合条件舍去，…（7分）当2a2+a＝3时，a＝1（舍去）或a=-32，…由a=-32，得A={1故a=-32点评：本题考查集合与元素之间的关系，考查集合中元素的特性，考查计算能力．【解题方法点拨】集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．2．判断元素与集合的属于关系【知识点的认识】元素与集合的关系：一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A．【解题方法点拨】明确集合定义：了解集合的定义及其包含的元素范围．验证条件：检查元素是否满足集合的定义条件．符号表示：用∈表示元素属于某集合，用∉表示元素不属于某集合．【命题方向】验证元素是否是集合的元素已知集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}．求证：（1）3∈A；（2）偶数4k﹣2（k∈Z）不属于A．分析：（1）根据集合中元素的特性，判断3是否满足即可；（2）用反证法，假设属于A，再根据两偶数的积为4的倍数；两奇数的积仍为奇数得出矛盾，从而证明要证的结论．解答：解：（1）∵3＝22﹣12，3∈A；（2）设4k﹣2∈A，则存在m，n∈Z，使4k﹣2＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）成立，1、当m，n同奇或同偶时，m﹣n，m+n均为偶数，∴（m﹣n）（m+n）为4的倍数，与4k﹣2不是4的倍数矛盾．2、当m，n一奇，一偶时，m﹣n，m+n均为奇数，∴（m﹣n）（m+n）为奇数，与4k﹣2是偶数矛盾．综上4k﹣2∉A．点评：本题考查元素与集合关系的判断．分类讨论的思想．3．元素与集合的属于关系的应用【知识点的认识】元素与集合的关系：一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A．【解题方法点拨】集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．【命题方向】知元素是集合的元素，根据集合的属性求出相关的参数．已知集合A＝{a+2，2a2+a}，若3∈A，求实数a的值．分析：通过3是集合A的元素，直接利用a+2与2a2+a＝3，求出a的值，验证集合A中元素不重复即可．解答：解：因为3∈A，所以a+2＝3或2a2+a＝3…（2分）当a+2＝3时，a＝1，…（5分）此时A＝{3，3}，不合条件舍去，…（7分）当2a2+a＝3时，a＝1（舍去）或a=-32，…由a=-32，得A={1故a=-32点评：本题考查集合与元素之间的关系，考查集合中元素的特性，考查计算能力．4．集合的包含关系判断及应用【知识点的认识】概念：1．如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A⊆B；如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A⊂B；2．如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，那么我们就说集合A等于集合B，即A＝B．【解题方法点拨】1．按照子集包含元素个数从少到多排列．2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．【命题方向】通常命题的方式是小题，直接求解或判断两个或两个以上的集合的关系，可以与函数的定义域，三角函数的解集，子集的个数，简易逻辑等知识相结合命题．5．集合的包含关系的应用【知识点的认识】如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A⊆B，读作“A包含于B”（或“B包含于A”）．【解题方法点拨】1．按照子集包含元素个数从少到多排列．2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．【命题方向】设m为实数，集合A＝{x|﹣3≤x≤2}，B＝{x|m≤x≤2m﹣1}，满足B⊆A，则m的取值范围是_____．解：∵集合A＝{x|﹣3≤x≤2}，B＝{x|m≤x≤2m﹣1}，且B⊆A，∴当m＞2m﹣1时，即m＜1时，B＝∅，符合题意；当m≥1时，可得-3≤m2综上所述，m≤32，即m故答案为：(-∞，6．求集合的并集【知识点的认识】由所有属于集合A或属于集合B的元素的组成的集合叫做A与B的并集，记作A∪B．符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．A∪B实际理解为：①x仅是A中元素；②x仅是B中的元素；③x是A且是B中的元素．运算性质：①A∪B＝B∪A．②A∪∅＝A．③A∪A＝A．④A∪B⊇A，A∪B⊇B．【解题方法点拨】定义并集：集合A和集合B的并集是所有属于A或属于B的元素组成的集合，记为A∪B．元素合并：将A和B的所有元素合并，去重，得到并集．【命题方向】已知集合A={x∈N|-12≤x＜52}，B＝{解：依题意，A={x∈所以A∪B＝{﹣1，0，1，2}．7．交集及其运算【知识点的认识】由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．运算性质：①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．⑤A∩B＝A⇔A⊆B．⑥A∩B＝∅，两个集合没有相同元素．⑦A∩（∁UA）＝∅．⑧∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB）．【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．8．求集合的交集【知识点的认识】由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．运算性质：①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．已知集合A＝{x∈Z|x+1≥0}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则A∩B＝（）解：因为A＝{x∈Z|x+1≥0}＝{x∈Z|x≥﹣1}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，所以A∩B＝{﹣1，0，1，2}．故选：D．9．求集合的补集【知识点的认识】一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．（通常把给定的集合作为全集）．对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．【解题方法点拨】常用数轴以及韦恩图帮助分析解答，补集常用于对立事件，否命题，反证法．【命题方向】通常情况下以小题出现，高考中直接求解补集的选择题，有时出现在简易逻辑中，也可以与函数的定义域、值域，不等式的解集相结合命题，也可以在恒成立中出现．已知集合A={x|y=解：根据题意可得A＝{x|x≤1}，∴∁RA＝{x|x＞1}．10．交、并、补集的混合运算【知识点的认识】集合交换律A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．集合结合律（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．集合分配律A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．集合的摩根律∁U（A∩B）＝∁UA∪∁UB，∁U（A∪B）＝∁UA∩∁UB．集合吸收律A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．集合求补律A∪∁UA＝U，A∩∁UA＝∅．【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．【命题方向】理解交集、并集、补集的混合运算，每年高考一般都是单独命题，一道选择题或填空题，属于基础题．11．集合的交并补混合运算【知识点的认识】集合交换律A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．集合结合律（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．集合分配律A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．集合的摩根律∁U（A∩B）＝∁UA∪∁UB，∁U（A∪B）＝∁UA∩∁UB．集合吸