2025年北京市朝阳区高考数学二模试卷

第51页（共51页）2025年北京市朝阳区高考数学二模试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．（4分）（2025•朝阳区二模）已知集合A＝{x|x2+x＜0}，集合B＝{x|2x≤1}，则集合A∪B＝（）A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣1，0） D．（﹣1，0]2．（4分）（2025•朝阳区二模）若抛物线C：x2＝my（m≠0）的焦点坐标为（0，﹣1），则抛物线C的准线方程为（）A．x＝2 B．x＝1 C．y＝2 D．y＝13．（4分）（2025•朝阳区二模）已知a=A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a4．（4分）（2025•朝阳区二模）已知(x2+1x)nA．7 B．8 C．9 D．105．（4分）（2025•朝阳区二模）已知函数f（x）＝|x|﹣|x﹣2|+1，则对任意实数x，有（）A．f（1﹣x）＝2﹣f（1+x） B．f（﹣x）＝﹣f（x）﹣2 C．f（2﹣x）＝2+f（x） D．f（2+x）＝f（2﹣x）6．（4分）（2025•朝阳区二模）在矩形ABCD中，AB⊥AD，AD＝2，AB=2点E为线段AD的中点，BE与AC交于点F．设AF→=k1e1→+k2e2→（k1，k2∈R），其中A．k1=23，C．k1=137．（4分）（2025•朝阳区二模）设α∈R，则“sin2α=32”是“tanα=A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．（4分）（2025•朝阳区二模）已知函数f（x）＝x﹣x3，曲线y＝f（x）在点P（t，f（t））（t∈（0，1））处的切线方程为y＝g（x），设函数h（x）＝f（x）﹣g（x），则（）A．当x＞0时，h（x）＞h（0） B．当x＜0时，h（x）＜h（0） C．当x＞0时，h（x）≤0 D．当x＜0时，h（x）≥09．（4分）（2025•朝阳区二模）金刚石是由碳元素组成的单质，具有极高的硬度，在工业中有广泛的应用，如图1所示，组成金刚石的每个碳原子都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接．从立体几何的角度，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的4个顶点A，B，C，D处，中间的碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置（点E处），如图2所示，设AB＝a，则E到平面ABD的距离为（）A．36a B．69a C．610．（4分）（2025•朝阳区二模）设无穷数列{an}的前n项和为Sn，定义σkA．当an＝1时，σ2025B．当an=(-1)C．当an=1n(n+1)时，则σD．当an=二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11．（5分）（2025•朝阳区二模）若复数z满足z•i＝2+i，则|z|＝．12．（5分）（2025•朝阳区二模）已知等差数列{an}满足a1+a2＝﹣8，a5+a6＝8，则a3+a4＝；设Sn为{an}的前n项和，则使Sn＞0的n的最小值为．13．（5分）（2025•朝阳区二模）在△ABC中，a+c=25，且tanB＝2，则sinB＝；△ABC面积的最大值为14．（5分）（2025•茂名模拟）若直线y=13x与双曲线C：y2-x15．（5分）（2025•朝阳区二模）设a＞0，过原点O的直线（不与x轴重合）与圆A：x2+（y﹣a）2＝a2交于点P与直线y＝2a交于点Q．过点P作x轴的平行线，过点Q作x轴的垂线，这两条直线交于点M（x，y），称y为x的箕舌线函数，记作y＝f（x），给出下列四个结论：①函数y＝f（x）的图象关于y轴对称；②若x1＜x2，则f（x1）＞f（x2）；③设函数h（x）＝xf（x），则h（x）的最大值为2a2；④设函数g（x）＝f（x）+x2，则g（x）的最小值为2a．其中所有正确结论的序号是．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16．（13分）（2025•朝阳区二模）已知函数f（x）＝2sinxcosx+2cos2x﹣1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）设函数g(x)=f(x-φ)(0＜φ＜π2)，再从条件①条件①：g（x）在区间[-π条件②：g（x）的最大值为2条件③：g（x）为偶函数．注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．17．（14分）（2025•朝阳区二模）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC⊥侧面ACC1A1，侧面ACC1A1是边长为4的菱形，∠A1AC＝120°，BC1＝5，AB＝3．（Ⅰ）求证：侧面ABB1A1为矩形；（Ⅱ）求直线A1B与平面BCC1B1所成角的正弦值．18．（13分）（2025•朝阳区二模）某电商平台为了解用户对配送服务的满意度，分别从A地区和B地区随机抽取了500名和100名用户进行问卷评分调查，将评分数据按[40，50），[50，60），…，[90，100]分组整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）从A地区抽取的500名用户中随机抽取一名，求该用户评分不低于60分的概率；（Ⅱ）从B地区评分为[80，100]的样本中随机抽取两名，记评分不低于90分的用户人数为X，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，设A地区评分的平均值估计为μ1，A、B两地区评分的平均值估计为μ，比较μ1与μ的大小关系．（直接写出结论）19．（15分）（2025•朝阳区二模）已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（a（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设直线y＝kx+2（k＜0）与椭圆E交于不同的两点A，B，直线y＝x与直线AB交于点N，若∠AON＝∠BON（O是坐标原点），求k的值．20．（15分）（2025•朝阳区二模）已知函数f(（Ⅰ）若a＝0，求函数f（x）在区间[1，+∞）上的最大值；（Ⅱ）若f（x）在区间（0，1）上存在单调递减区间，求a的取值范围；（Ⅲ）若f（x）存在极值点x0，且f（x0）＝1，求a的值．21．（15分）（2025•朝阳区二模）已知{an}是无穷正整数数列，且对任意的n≥3，an+1＝card{k|ak＝an，k∈{1，2，⋯，n}}，其中cardS表示有穷集合S的元素个数．（Ⅰ）若a1＝2，a2＝3，a4＝2，求a5的所有可能取值；（Ⅱ）求证：数列{an}中存在等于1的项；（Ⅲ）求证：存在t∈N*，使得集合{k∈N*|ak＝t}为无穷集合．

2025年北京市朝阳区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案ADDBABBCCD一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．（4分）（2025•朝阳区二模）已知集合A＝{x|x2+x＜0}，集合B＝{x|2x≤1}，则集合A∪B＝（）A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣1，0） D．（﹣1，0]【考点】指、对数不等式的解法；求集合的并集．【专题】整体思想；综合法；集合；运算求解．【答案】A【分析】首先，求解集合A，B中关于x的不等式，然后求解A，B的并集．【解答】解：对于集合A，x2+x＜0，所以﹣1＜x＜0．所以集合A＝{x|﹣1＜x＜0}．对于集合B，2x≤1，解得x≤0．所以集合B＝{x|x≤0}．所以A∪B＝{x|x≤0}．故选：A．【点评】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．2．（4分）（2025•朝阳区二模）若抛物线C：x2＝my（m≠0）的焦点坐标为（0，﹣1），则抛物线C的准线方程为（）A．x＝2 B．x＝1 C．y＝2 D．y＝1【考点】求抛物线的准线方程；抛物线的标准方程．【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】D【分析】由抛物线方程及焦点坐标直接求出准线方程．【解答】解：因为抛物线的焦点坐标为（0，﹣1），所以抛物线准线方程为y＝1．故选：D．【点评】本题主要考查抛物线的性质应用，属于基础题．3．（4分）（2025•朝阳区二模）已知a=A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a【考点】对数值大小的比较．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】D【分析】根据对数函数的单调性及幂函数的单调性比较大小即可．【解答】解：a=log0.50.2＞log0.50.25=2＞综上，b＜c＜a，故选：D．【点评】本题主要考查了函数单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．4．（4分）（2025•朝阳区二模）已知(x2+1x)nA．7 B．8 C．9 D．10【考点】二项式系数的性质．【专题】整体思想；综合法；二项式定理；运算求解．【答案】B【分析】由Tk+1=【解答】解：(x2+故第4项和第6项的系数相等就是第4项和第6项的二项式系数相等，即Cn3=Cn故选：B．【点评】本题考查二项式系数的性质，为基础题．5．（4分）（2025•朝阳区二模）已知函数f（x）＝|x|﹣|x﹣2|+1，则对任意实数x，有（）A．f（1﹣x）＝2﹣f（1+x） B．f（﹣x）＝﹣f（x）﹣2 C．f（2﹣x）＝2+f（x） D．f（2+x）＝f（2﹣x）【考点】函数恒成立问题．【专题】函数思想；转化思想；数形结合法；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】A【分析】写出分段函数，作出图象，由图象得出对称性判断AB；取特殊值判断CD．【解答】解：因为f（x）＝|x|﹣|x﹣2|+1=-作出函数图象，如图所示：因为f（1﹣x）＝|1﹣x|﹣|1﹣x﹣2|+1＝|x﹣1|﹣|x+1|+1，2﹣f（1+x）＝2﹣|x+1|+|x+1﹣2|﹣1＝|x﹣1|﹣|x+1|+1＝f（1﹣x），故A正确；图象不关于点（0，﹣1）对称，故B错误；当x＝1时，f（2﹣1）＝1≠2+f（1）＝3，故C错误；令x＝﹣1，则f（2﹣1）＝1≠f（3）＝3，故D错误．故选：A．【点评】本题考查了分段函数的性质及数形结合思想，属于中档题．6．（4分）（2025•朝阳区二模）在矩形ABCD中，AB⊥AD，AD＝2，AB=2点E为线段AD的中点，BE与AC交于点F．设AF→=k1e1→+k2e2→（k1，k2∈R），其中A．k1=23，C．k1=13【考点】平面向量的基本定理．【专题】数形结合；综合法；平面向量及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】B【分析】利用向量加法运算和共线运算，可用e1→，【解答】解：如图，因为AD=2，AB=2所以AD→在矩形ABCD中，因为点E为线段AD的中点，所以AFFC则有AF→则AF→又因为AF→=k故选：B．【点评】本题主要考查平面向量基本定理，属于中档题．7．（4分）（2025•朝阳区二模）设α∈R，则“sin2α=32”是“tanα=A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】求二倍角的三角函数值；充分条件必要条件的判断．【专题】函数思想；综合法；简易逻辑；逻辑思维；运算求解．【答案】B【分析】由已知结合三角函数值的求法及充分必要条件的判定得答案．【解答】解：α∈R，由sin2α=32，得2α=π3+2kπ或2α即α=π6+kπ或α=π3+kπ，k∈Z由tanα=3，可得sin2α=∴α∈R，则“sin2α=32”是“tanα=故选：B．【点评】本题考查充分必要条件的判定，考查倍角公式的应用，是基础题．8．（4分）（2025•朝阳区二模）已知函数f（x）＝x﹣x3，曲线y＝f（x）在点P（t，f（t））（t∈（0，1））处的切线方程为y＝g（x），设函数h（x）＝f（x）﹣g（x），则（）A．当x＞0时，h（x）＞h（0） B．当x＜0时，h（x）＜h（0） C．当x＞0时，h（x）≤0 D．当x＜0时，h（x）≥0【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间；利用导数求解曲线在某点上的切线方程．【专题】函数思想；定义法；导数的综合应用；逻辑思维．【答案】C【分析】利用导数的几何意义，求得曲线的切线方g（x）＝t﹣t3+（1﹣3t2）（x﹣t），根据题意，得到h（x）＝﹣x3+3t2x﹣2t3，求得h′（x）＝﹣3（x+t）（x﹣t），求得函数h（x）的单调性与最值，结合选项，即可求解．【解答】解：由函数f（x）＝x﹣x3，可得f'（x）＝1﹣3x2，得f'（t）＝1﹣3t2，f（t）＝t﹣t3，所以曲线y＝f（x）在点P（t，f（t））处的切线方程为：g（x）＝f（t）+f'（t）（x﹣t）＝t﹣t3+（1﹣3t2）（x﹣t），又由h（x）＝f（x）﹣g（x）＝（x﹣x3）﹣[t﹣t3+（1﹣3t2）（x﹣t）]＝﹣x3+3t2x﹣2t3，因为h（g）＝f（x）﹣g（x）＝﹣x3+3t2x﹣2t3＝﹣（x﹣t）2（x+2t），其中0＜t＜1，若x＞0时，h'（x）＝﹣3x2+3t2＝﹣3（x+t）（x﹣t），其中0＜t＜1，当x∈（0，t）时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；当x∈（t，+∞）时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减，所以h(x)max=h(t)=-又由h（0）＝﹣2t3，且h（2t）＝﹣4t3＜h（0），即h（x）＞h（0）不恒成立，所以C正确，A不正确；若x＜0时，h′（x）＝﹣3（x+t）（x﹣t），其中0＜t＜1，当x∈（﹣∞，﹣t）时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减，当x∈（﹣t，0）时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增，所以h(所以h（x）≥0不恒成立，又由h（0）＝﹣2t3，h（﹣3t）＝16t3，此时h（﹣3t）＞h（0），所以h（x）＜h（0）不恒成立，所以B、D均不正确．故选：C．【点评】本题考查导数的综合应用，属于中档题．9．（4分）（2025•朝阳区二模）金刚石是由碳元素组成的单质，具有极高的硬度，在工业中有广泛的应用，如图1所示，组成金刚石的每个碳原子都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接．从立体几何的角度，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的4个顶点A，B，C，D处，中间的碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置（点E处），如图2所示，设AB＝a，则E到平面ABD的距离为（）A．36a B．69a C．6【考点】空间中点到平面的距离．【专题】转化思想；综合法；立体几何；运算求解．【答案】C【分析】根据题意可得E到到平面ABD的距离为棱长为a的正四面体的内切球的半径，从而根据结论即可得解．【解答】解：设棱长为a的正四面体的外接球半径为R，内切球的半径为r，则根据结论可得R=64a，根据题意可得E到到平面ABD的距离为棱长为a的正四面体的内切球的半径，故所求为612故选：C．【点评】本题考查正四面体的外接球与内切球的结论的应用，属基础题．10．（4分）（2025•朝阳区二模）设无穷数列{an}的前n项和为Sn，定义σkA．当an＝1时，σ2025B．当an=(-1)C．当an=1n(n+1)时，则σD．当an=【考点】数列的求和．【专题】转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；运算求解；新定义类．【答案】D【分析】根据选项不同的通项公式，求出Sn与σk，逐一验证即可．【解答】解：无穷数列{an}的前n项和为Sn，定义σk对于A选项：当an＝1时，SnS2025=2025，σ2025=对于B选项：当an=(-1)n-1时，Sn在故S2025=1，σ2025=对于C选项：an可得Sn＝a1+a2+a3+...+an＝1-12+12-13+13又nn所以σkσ2025＜S2025，故C不正确；对于D选项：当an=(σ2025-S故选：D．【点评】本题考查数列的递推式和数列的新定义、等差数列的求和公式，以及是的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11．（5分）（2025•朝阳区二模）若复数z满足z•i＝2+i，则|z|＝5．【考点】复数的除法运算；复数的模．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】5．【分析】根据复数的除法可求得z＝1﹣2i，结合模长公式运算求解．【解答】解：由题意可知，z=所以由复数模的公式可知，|z故答案为：5．【点评】本题主要考查复数模公式，以及复数的四则运算，属于基础题．12．（5分）（2025•朝阳区二模）已知等差数列{an}满足a1+a2＝﹣8，a5+a6＝8，则a3+a4＝0；设Sn为{an}的前n项和，则使Sn＞0的n的最小值为7．【考点】等差数列前n项和的性质；等差数列的通项公式．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】0；7．【分析】根据题意，等差数列{an}中，设其公差为d，由等差数列的性质分析可得第一空答案，结合等差数列的通项公式分析求出d的值，进而可得Sn的表达式，解不等式Sn＞0可得答案．【解答】解：根据题意，等差数列{an}中，设其公差为d，若a1+a2＝﹣8，a5+a6＝8，则a1+a5+a2+a6＝2（a3+a4）＝0，即a3+a4＝0，同时，a5+a6﹣（a1+a2）＝8d＝16，则d＝2，即a4﹣a3＝2，故a4＝1，a1＝a4﹣3d＝﹣5，则Sn＝na1+n(n-1)d若Sn＞0，即n2﹣6n＞0，解可得n＞6或n＜0，由于n≥1且n∈N，则n≥7，即n的最小值为7．故答案为：0；7．【点评】本题考查等差数列前n项和公式，以及等差数列的性质，属于基础题．13．（5分）（2025•朝阳区二模）在△ABC中，a+c=25，且tanB＝2，则sinB＝255；△ABC【考点】解三角形；求两角和与差的三角函数值．【专题】转化思想；综合法；解三角形；运算求解．【答案】255；【分析】根据三角函数的性质即可求解．【解答】解：由tanB＝2，设sinB＝2k，cosB＝k（k＞0），代入sin2B+cos2B＝1，得（2k）2+k2＝1，解得k=55，故sin面积S=12acsinB=55ac得25≥2ac，即ac≤5（当a=故答案为：255；【点评】本题考查了解三角形，属于中档题．14．（5分）（2025•茂名模拟）若直线y=13x与双曲线C：y2-x【考点】直线与双曲线的综合；求双曲线的离心率．【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维．【答案】3．【分析】根据直线与双曲线没有公共点求出b的范围，进而求出离心率的范围，在该范围内取一个值即可．【解答】解：双曲线C：y2-x根据题知：13≤1b，由于b＞0，所以0因此e=因此离心率的一个取值可以为3．故答案为：3．【点评】本题考查直线与双曲线的综合应用，属于中档题．15．（5分）（2025•朝阳区二模）设a＞0，过原点O的直线（不与x轴重合）与圆A：x2+（y﹣a）2＝a2交于点P与直线y＝2a交于点Q．过点P作x轴的平行线，过点Q作x轴的垂线，这两条直线交于点M（x，y），称y为x的箕舌线函数，记作y＝f（x），给出下列四个结论：①函数y＝f（x）的图象关于y轴对称；②若x1＜x2，则f（x1）＞f（x2）；③设函数h（x）＝xf（x），则h（x）的最大值为2a2；④设函数g（x）＝f（x）+x2，则g（x）的最小值为2a．其中所有正确结论的序号是①③．【考点】函数的最值．【专题】应用题；分析法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】①③．【分析】设Q（x0，2a），联立直线OQ和圆的方程，求出P点纵坐标即可得出f（x）解析式，根据函数的奇偶性可判断①，对f（x）求导，求出f（x）的单调区间，可判断②，对于③，分x≤0，x＞0，再利用基本不等式，即可求解；对于④，根据条件得g(x)=8a3x2+4a2+x2【解答】解：圆x2+（y﹣a）2＝a2的圆心（0，a）在y轴上，设圆A与y的另一个交点为B，设Q（x0，2a），当点Q不与点B重合时，直线OQ的方程为y=2ax0所以P点纵坐标为yP=8当点Q与点B重合时，点M的纵坐标也满足y=8a对任意的x∈R，x2+4a2＞0，所以f(x)=对于命题①，因为f(-所以f（x）是偶函数，故①正确；对于命题②，因为f'(当x＜0时，f（x）＞0，即f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，所以当x1，x∈（0，+∞）时，若x1＜x2，则f（x1）＜f（x2），所以②错误，对于命题③，h(x)=xf(x)=8a3xx2+4当x＞0时，h(x)=且仅当x=4a2x，即x＝2a对于命题④，g(x)=f(x)+x2=8a3x易知y=t+8a若8a3≥4a2即当a∈(0，12]时，g（x故答案为：①③．【点评】本题考查函数的最值，属于难题．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16．（13分）（2025•朝阳区二模）已知函数f（x）＝2sinxcosx+2cos2x﹣1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）设函数g(x)=f(x-φ)(0＜φ＜π2)，再从条件①条件①：g（x）在区间[-π条件②：g（x）的最大值为2条件③：g（x）为偶函数．注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的单调性．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；运算求解．【答案】（Ⅰ）T＝π，增区间为[-3（Ⅱ）若选择①，g（x）max=2，g（x）min=-62；若选择②，则不存在符合条件的g若选择③，g（x）max=2，g（x）min=-【分析】（Ⅰ）由三角恒等变换公式化简得f（x）=2sin（2x+π4），然后根据正弦函数的性质求出f（x（Ⅱ）选条件①：g（x）在区间[-π4，π4]上单调递增，根据g(x)=2sin(2x-2选条件②：g（x）的最大值为2，由正弦函数的性质可知满足条件的φ不止一个，此种情况不符合题意；选条件③：g（x）为偶函数，根据g（x）为偶函数，列式算出φ=3π8，此时g（x）=-2cos2【解答】解：（Ⅰ）由题意得f(x)=sin2x+cos2由-π2+2所以f（x）的单调递增区间为[-3（Ⅱ）选条件①：g（x）在区间[-π由题意得g(根据（Ⅰ）的结论可知g（x）的单调递增区间为[-3若g（x）在区间[-π4，π4结合0＜φ＜π2当0≤x≤2当2x=π2，即x=π4时，g（x）有最大值2；当2x=选条件②：g（x）的最大值为2，结合g(可知对任意φ∈（0，π2）都满足条件，故g（x）不选条件③：g（x）为偶函数，根据g(x)=2sin(2x-2结合0＜φ＜π2当0≤x≤2当2x＝0时，即x＝0时，g（x）有最小值-2；当2x＝π时，即2时，g（x）有最大值2【点评】本题主要考查两角和与差的三角函数公式、正弦函数与余弦函数的性质等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．17．（14分）（2025•朝阳区二模）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC⊥侧面ACC1A1，侧面ACC1A1是边长为4的菱形，∠A1AC＝120°，BC1＝5，AB＝3．（Ⅰ）求证：侧面ABB1A1为矩形；（Ⅱ）求直线A1B与平面BCC1B1所成角的正弦值．【考点】空间向量法求解直线与平面所成的角．【专题】转化思想；转化法；立体几何；运算求解．【答案】（Ⅰ）证明见解析．（Ⅱ）67【分析】（Ⅰ）设A1C1中点为D，连接AD，由面面垂直的性质定理得到AD⊥底面ABC，再由AB⊥AC1，AD⊥AB得到AB⊥平面ACC1A1，从而证得AB⊥AA1即可；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量与平面的法向量的夹角余弦值求解线面角正弦值即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：连接AC1，因为四边形ACC1A1为菱形，且∠A1AC＝120°，所以ΔACC1为正三角形，从而AC1＝4．因为AB2+AC1设A1C1中点为D，连接AD，则AD⊥A1C1，又AC∥A1C1，所以AD⊥AC，因为底面ABC⊥侧面ACC1A1，底面ABC∩侧面CC1A1＝AC，AD⊂侧面ACC1A1，所以AD⊥底面ABC，而AB⊂平面ABC，所以AD⊥AB，又AB⊥AC1，AC1∩AD＝A，AD⊂平面ACC1A1，AC1⊂平面ACC1A1，所以AB⊥平面ACC1A1，而AA1⊂平面ACC1A1．所以AB⊥AA1，又因为侧面ABB1A1为平行四边形，所以侧面ABB1A1为矩形．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知AB⊥平面ACC1A1，所以AB⊥AC，所以AB，AC，AD两两垂直，如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz，则A1(-2，23，0)，B（0，0，3），C（4所以A1B→=(2，设平面BCC1B1的法向量为n→则n→⋅C令x＝3，则z＝4，y=所以n→设直线A1B与平面BCC1B1所成角为θ，所以sinθ=|因此，直线A1B与平面BCC1B1所成角的正弦值为67【点评】本题考查线面位置关系的判定，以及向量法的应用，属于中档题．18．（13分）（2025•朝阳区二模）某电商平台为了解用户对配送服务的满意度，分别从A地区和B地区随机抽取了500名和100名用户进行问卷评分调查，将评分数据按[40，50），[50，60），…，[90，100]分组整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）从A地区抽取的500名用户中随机抽取一名，求该用户评分不低于60分的概率；（Ⅱ）从B地区评分为[80，100]的样本中随机抽取两名，记评分不低于90分的用户人数为X，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，设A地区评分的平均值估计为μ1，A、B两地区评分的平均值估计为μ，比较μ1与μ的大小关系．（直接写出结论）【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；频率分布直方图的应用；离散型随机变量及其分布列．【专题】应用题；整体思想；概率与统计；运算求解．【答案】（I）0.8；（II）分布列见解析；期望为23（III）μ1＞μ．【分析】（I）根据频率分布直方图计算概率即可；（II）应用超几何分布计算概率，再写出分布列，最后计算数学期望即可；（III）根据频率分布直方图的特征得出平均值关系即可．【解答】解：（I）设事件M：从A地区抽取的500名用户中随机抽取一名，该用户评分不低于．由频率分布直方图可知A地区抽取的500名用户中评分不低于的人数为500×（0.025+0.035+0.015+0.005）×10＝400，所以P(（II）由频率分布直方图可知B地区评分为[80，100]的样本用户共有100×（0.01+0.005）×10＝15人，其中评分不低于的人数为5人．由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2．P(P(P(所以X的分布列为：X012P371021221则X的数学期望EX=0×（III）由于B地区的平均分估计值低于A地区，合并后的平均值将更接近样本量较大的A地区，但B地区的较高评分仍会使整体平均值略有下降，因此，A地区的平均值估计μ1大于两地区合并后的平均值估计μ．即：μ1＞μ．【点评】本题考查离散型随机变量的均值（数学期望），属于中档题．19．（15分）（2025•朝阳区二模）已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（a（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设直线y＝kx+2（k＜0）与椭圆E交于不同的两点A，B，直线y＝x与直线AB交于点N，若∠AON＝∠BON（O是坐标原点），求k的值．【考点】直线与椭圆的综合．【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题；运算求解．【答案】（Ⅰ）x2（Ⅱ）k=-【分析】（Ⅰ）由椭圆的几何性质易得结果；（Ⅱ）联立直线和椭圆方程，由Δ＞0及k＜0可得k＜-12，设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理得x1+x2，x1x2，由倾斜角的概念可得直线OB的倾斜角α和直线OA的倾斜角β满足α+β=π2，从而直线OA和OB的斜率kOA和kOB满足kOA•kOB＝1，代入x1+x【解答】解：（Ⅰ）由题意得b=32所以椭圆E的方程为x2（Ⅱ）由题，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组y=kx+2x24+y23=1，化简得（3+4则Δ＝256k2﹣4（3+4k2）×4＞0，解得：k2又k＜0，所以k＜故x1+x不妨设点A在点B的上方，因为∠AON＝∠BON，又∠AON此时，直线OB的倾斜角为α=π4-∠BON所以α+由题可知直线OA和OB的斜率都存在，分别设为kOA和kOB，则kOA•kOB＝1，因为kOA=y所以y1x1⋅y2x2=1，即x由x1x2＝（kx1+2）（kx2+2）得（1﹣k2）x1x2＝2k（x1+x2）+4，所以(1-k解得k2=2所以k=-【点评】本题考查了椭圆的性质及直线与椭圆的位置关系，属于中档题．20．（15分）（2025•朝阳区二模）已知函数f(（Ⅰ）若a＝0，求函数f（x）在区间[1，+∞）上的最大值；（Ⅱ）若f（x）在区间（0，1）上存在单调递减区间，求a的取值范围；（Ⅲ）若f（x）存在极值点x0，且f（x0）＝1，求a的值．【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究函数的极值．【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；运算求解．【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）[0，1）；（Ⅲ）a＝1．【分析】（Ⅰ）求导，利用导函数的符号判断f（x）在[1，+∞）的单调性进而求最大值即可；（Ⅱ）求导，结合导数的几何意义按a的不同取值范围分类讨论求解即可；（Ⅲ）由极值点的概念可得f'(x0)=0f(x0)=1，消去a得ex0-1(1-x0lnx0)-1=0（*），令h（x）＝ex﹣1（1﹣xlnx）﹣1，利用导数可得h（x）≤0，当且仅当【解答】解：（Ⅰ）若a＝0，则f(x)=当x≥1时，f′（x）＜0，所以f（x）在[1，+∞）上单调递减，所以f（x）的最大值为f（1）＝1．（2）f（x）的定义域为（0，+∞），当a＝0时，易知f(x)=1e当a＞0时，f'(x)=则g'(x)=-a(x+1)x2，当x∈（0，1）时，g′（x）＜0①若g（1）＝a﹣1≥0，即a≥1时，当x∈（0，1）时，g（x）≥0，即f′（x）≥0，此时f（x）在（0，1）上单调递增，不符合题意；②若g（1）＝a﹣1＜0，即0＜a＜1时，g（a）＝﹣alna＞0，所以存在唯一的t∈（a，1）使得g（t）＝0，当x∈（t，1）时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，此时f（x）在（t，1）上单调递减，符合题意；综上，a的取值范围为[0，1）．（Ⅲ）若f（x）存在极值点x0，且f（x0）＝1，则f'(x0所以1ex0-1设函数h（x）＝ex﹣1（1﹣xlnx）﹣1，h′（x）＝ex﹣1（1﹣xlnx）+ex﹣1（﹣lnx﹣1）＝﹣ex﹣1（x+1）lnx，当x∈（0，1）时，h′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，所以h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，所以当x＝1时，h（x）取得最大值h（1），又h（1）＝0，所以h（x）≤0，当且仅当x＝1时取等号，又（*）等价于h（x0）＝0，所以x0＝1，所以a=经检验，当a＝1时，f（x）存在极大值点1且f（1）＝1，符合题意，所以a＝1．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值与最值，考查运算求解能力，属于中档题．21．（15分）（2025•朝阳区二模）已知{an}是无穷正整数数列，且对任意的n≥3，an+1＝card{k|ak＝an，k∈{1，2，⋯，n}}，其中cardS表示有穷集合S的元素个数．（Ⅰ）若a1＝2，a2＝3，a4＝2，求a5的所有可能取值；（Ⅱ）求证：数列{an}中存在等于1的项；（Ⅲ）求证：存在t∈N*，使得集合{k∈N*|ak＝t}为无穷集合．【考点】数列递推式．【专题】转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑思维；新定义类．【答案】（Ⅰ）2，3；（Ⅱ）证明见解答；（Ⅲ）证明见解答．【分析】（Ⅰ）先根据已知条件确定a3的值，然后再确定a5的值；（Ⅱ）利用反证法，结合分类讨论进行证明；（Ⅲ）采用反证法进行证明．【解答】解：（Ⅰ）因为a4＝2，则a1，a2，a3中与a3相等的数有且仅有2个，除去a3本身，a1，a2中与a3相等的数有且只有1个，所以a3＝a1＝2或a3＝a2＝3．当a3＝2时，a5＝3；当a3＝3时，a5＝2，所以a5的所有可能取值为2，3．（Ⅱ）证明：假设{an}中不存在等于1的项，则ai≥2，i∈N*，又a4≤3，所以a4∈{2，3}，当a4＝3时，由a5≥2，则存在i∈{1，2，3}，使得ai＝a4＝3，所以a1＝a2＝a3＝3，a5＝4，a6＝1，与假设矛盾．当a4＝2时，由a5≥2，则存在i∈{1，2，3}，使得ai＝a4＝2，且a1，a2中有且只有一项与a3相等．①若a1，a2，a3中有两项为2，一项为3，则a5＝3，a6＝2，a7＝4，a8＝1，与假设矛盾．②若a1，a2，a3中有两项为2，一项为m（m≥4），则a5＝3，a6＝1，与假设矛盾．③若a1，a2，a3中有一项为2，两项为3，则a5＝2，a6＝3，a7＝3，a8＝4，a9＝1，与假设矛盾．④若a1，a2，a3中有一项为2，两项为k（k≥4），则a5＝2，a6＝3，a7＝1，矛盾．综上，假设不成立，所以{an}中存在等于1的项．（Ⅲ）证明：假设∀t∈N*，{k∈N*|ak＝t}均为有限集合，当t＝1时，max{k∈N*|ak＝1}＝k0，则当n＞k0时，an≥2（*），令M＝max{ai|i∈{1，2，⋯，k0}}，下证当n＞k0时，an≤M．否则假设n0=min{n所以当n＞k0时，2≤an≤M，因为已知数列{an}是无穷正整数数列，所以存在l⊂{2，3，…，M}，使得集合{n∈N*|ak＝l}为无穷集合，矛盾，所以假设错误，所以存在t∈N*，使得集合{k∈N*|ak＝t}为无穷集合．【点评】本题主要考查数列递推式，考查新定义问题，考查逻辑推理能力，属于难题．

考点卡片1．求集合的并集【知识点的认识】由所有属于集合A或属于集合B的元素的组成的集合叫做A与B的并集，记作A∪B．符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．A∪B实际理解为：①x仅是A中元素；②x仅是B中的元素；③x是A且是B中的元素．运算性质：①A∪B＝B∪A．②A∪∅＝A．③A∪A＝A．④A∪B⊇A，A∪B⊇B．【解题方法点拨】定义并集：集合A和集合B的并集是所有属于A或属于B的元素组成的集合，记为A∪B．元素合并：将A和B的所有元素合并，去重，得到并集．【命题方向】已知集合A={x∈N|-12≤x＜52}，B＝{解：依题意，A={x∈所以A∪B＝{﹣1，0，1，2}．2．充分条件必要条件的判断【知识点的认识】1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．3．指、对数不等式的解法【知识点的认识】不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）．步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解．特例：①一元一次不等式ax＞b解的讨论；②一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）解的讨论．（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则．（3）无理不等式：转化为有理不等式求解．（4）指数不等式：转化为代数不等式（5）对数不等式：转化为代数不等式（6）含绝对值不等式①应用分类讨论思想去绝对值；②应用数形思想；③应用化归思想等价转化．注：常用不等式的解法举例（x为正数）：4．函数的最值【知识点的认识】函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得．【解题方法点拨】①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+8x的最小值，有2x+8x②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2；③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较．【命题方向】本知识点是常考点，重要性不言而喻，而且通常是以大题的形式出现，所以务必引起重视．本知识点未来将仍然以复合函数为基础，添加若干个参数，然后求函数的定义域、参数范围或者满足一些特定要求的自变量或者参数的范围．常用方法有分离参变量法、多次求导法等．5．函数恒成立问题【知识点的认识】函数恒成立问题是指在定义域或某一限定范围内，函数满足某一条件（如恒大于0等），此时，函数中的参数成为限制了这一可能性（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此，适当的分离参数能简化解题过程．【解题方法点拨】﹣分析函数的定义域和形式，找出使函数恒成立的条件．﹣利用恒成立条件，确定函数的行为．一般恒成立问题最后都转化为求最值得问题，常用的方法是分离参变量【命题方向】题目包括判断函数恒成立条件及应用题，考查学生对函数恒成立问题的理解和应用能力．关于x的不等式（1+m）x2+mx+m＜x2+1，对x∈R恒成立，则实数m的取值范围是_____．解：∵（1+m）x2+mx+m＜x2+1，对x∈R恒成立，∴mx2+mx+m＜1，∴∀x∈R，m＜1x∵x2+x+1＝（x+12）2∴0＜1∴m≤0．6．对数值大小的比较【知识点的认识】1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较．2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行比较．（画图的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大）7．正弦函数的单调性【知识点的认识】三角函数的单调性的规律方法1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．8．求两角和与差的三角函数值【知识点的认识】（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）=tanα（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）=tanα【解题方法点拨】﹣利用和差公式：sin（α±β）＝sinαcosβ±cosαsinβcos（α±β）＝cosαcosβ∓sinαsinβtan(﹣将具体角度值代入公式，求解三角函数值．﹣验证计算结果的正确性．【命题方向】常见题型包括利用和差公式求解三角函数值，结合具体角度进行计算．若α为锐角，sinα=45，则解：若α为锐角，sinα=45，则cossin(α+π3)=19．求二倍角的三角函数值【知识点的认识】二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα•cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α=2【解题方法点拨】﹣利用二倍角公式：sin2α＝2sinαcosαcos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2αtan2﹣将具体角度值代入公式，求解二倍角的三角函数值．﹣验证计算结果的正确性．【命题方向】常见题型包括利用二倍角公式求解三角函数值，结合具体角度进行计算．已知tanα2=22，则解：因为tanα所以tanα=故答案为：2210．三角函数中的恒等变换应用【知识点的认识】1．同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．（2）商数关系：sinαcosα=tan2．诱导公式公式一：sin（α+2kπ）＝sinα，cos（α+2kπ）＝cosα，tan（α+2kπ）＝tanα，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cos（π+α）＝﹣cosα，tan（π+α）＝tanα．公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cos（﹣α）＝cosα，tan（﹣α）＝﹣tanα．公式四：sin（π﹣α）＝sinα，cos（π﹣α）＝﹣cosα，tan（π﹣α）＝﹣tanα．公式五：sin（π2-α）＝cosα，cos（π2-α）＝sinα，tan（π2公式六：sin（π2+α）＝cosα，cos（π2+α）＝﹣sinα，tan（π23．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）=tanα（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）=tanα4．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）S2α：sin2α＝2sinαcosα；（2）C2α：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；（3）T2α：tan2α=211．等差数列的通项公式【知识点的认识】等差数列是常见数列的一种，数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，已知等差数列的首项a1，公差d，那么第n项为an＝a1+（n﹣1）d，或者已知第m项为am，则第n项为an＝am+（n﹣m）d．【解题方法点拨】eg1：已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2+1，求数列{an}的通项公式，并判断{an}是不是等差数列解：当n＝1时，a1＝S1＝12+1＝2，当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2+1﹣（n﹣1）2﹣1＝2n﹣1，∴an=2把n＝1代入2n﹣1可得1≠2，∴{an}不是等差数列考察了对概念的理解，除掉第一项这个数列是等差数列，但如果把首项放进去的话就不是等差数列，题中an的求法是数列当中常用到的方式，大家可以熟记一下．eg2：已知等差数列{an}的前三项分别为a﹣1，2a+1，a+7则这个数列的通项公式为解：∵等差数列{an}的前三项分别为a﹣1，2a+1，a+7，∴2（2a+1）＝a﹣1+a+7，解得a＝2．∴a1＝2﹣1＝1，a2＝2×2+1＝5，a3＝2+7＝9，∴数列an是以1为首项，4为公差的等差数列，∴an＝1+（n﹣1）×4＝4n﹣3．故答案：4n﹣3．这个题很好的考察了的呢公差数列的一个重要性质，即等差中项的特点，通过这个性质然后解方程一样求出首项和公差即可．【命题方向】求等差数列的通项公式是一种很常见的题型，这里面往往用的最多的就是等差中项的性质，这也是学习或者复习时应重点掌握的知识点．12．等差数列前n项和的性质【知识点的认识】等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式为Sn＝na1+12n（n﹣1）d或者S【解题方法点拨】等差数列的前n项和具有许多重要性质，如递增性、递减性、与通项公式的关系等．﹣性质分析：分析等差数列的前n项和的性质，如递增性、递减性等．﹣公式推导：根据等差数列的定义和前n项和公式，推导出数列的性质．﹣综合应用：将前n项和的性质与其他数列性质结合，解决复杂问题．【命题方向】常见题型包括利用等差数列的前n项和的性质分析数列的递增性、递减性，结合具体数列进行分析．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝﹣7，S3＝﹣15，则Sn的最小值为_____．解：S3＝3a2＝﹣15，解得a2＝﹣5，故等差数列{an}的公差d＝a2﹣a1＝﹣5﹣（﹣7）＝2，∵a4＝a1+3d＝﹣1，a5＝a1+4d＝1，a3＝a2+d＝﹣5+2＝﹣3，∴当n＝4时，Sn取得最小值S4＝a1+a2+a3+a4＝﹣7﹣5﹣3﹣1＝﹣16．故答案为：﹣16．13．数列的求和【知识点的认识】就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：（1）公式法：①等差数列前n项和公式：Sn＝na1+12n（n﹣1）d或S②等比数列前n项和公式：③几个常用数列的求和公式：（2）错位相减法：适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．（3）裂项相消法：适用于求数列{1anan+1}的前n项和，其中{an}为各项不为0（4）倒序相加法：推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．（5）分组求和法：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．【解题方法点拨】典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n项和为Sn．（Ⅰ）求an及Sn；（Ⅱ）令bn=1an2-1（n∈N*），求数列{bn}分析：形如{1等差×11×3=1=50解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，∵a3＝7，a5+a7＝26，∴a1+2d=72a1+10d=26∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；Sn=3n+n(n（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，∴bn=1∴Tn=1即数列{bn}的前n项和Tn=n点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．【命题方向】数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．14．数列递推式【知识点的认识】1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an=s在数列{an}中，前n项和Sn与通项公式an的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由an的表达式，则an不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．【解题方法点拨】数列的通项的求法：（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an=sn-sn-1n≥2s（3）已知a1•a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，=f（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．（5）已知an+1an=f（n）求an，用累乘法：an（6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an．②形如an=a（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．15．利用导数求解函数的单调性和单调区间【知识点的认识】1、导数和函数的单调性的关系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：（1）确定f（x）的定义域；（2）计算导数f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．【解题方法点拨】若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．【命题方向】导数和函数单调性的关系典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）解：f（x）＞2x+4，即f（x）﹣2x﹣4＞0，设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，则g′（x）＝f′（x）﹣2，∵对任意x∈R，f′（x）＞2，∴对任意x∈R，g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，∵f（﹣1）＝2，∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，则由g（x）＞g（﹣1）＝0得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），故选：B16．利用导数研究函数的极值【知识点的认识】1、极值的定义：（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．2、极值的性质：（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．4、求函数f（x）的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；（2）求方程f′（x）＝0的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．【解题方法点拨】在理解极值概念时要注意以下几点：（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．17．利用导数研究函数的最值【知识点的认识】1、函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）=1x在（0，（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个2、用导数求函数的最值步骤：由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求f（x）在（a，b）内的极值；（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．【解题方法点拨】在理解极值概念时要注意以下几点：（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．18．利用导数求解曲线在某点上的切线方程【知识点的认识】曲线在某点上的切线方程可以通过该点的导数值和坐标求得．【解题方法点拨】﹣求导：计算函数的导数f'（x）．﹣切线方程：利用导数值作为切线的斜率，结合点的坐标，写出切线方程．﹣公式：切线方程为y﹣f（a）＝f'（a）（x﹣a），其中a是点的横坐标．【命题方向】常见题型包括求解曲线在特定点的切线方程，分析函数的局部行为．曲线y=2xx2+1在点（2解：由题意得y'=则曲线在点（2，45）处的切线斜率k＝y'|x＝2=故曲线y=2xx2+1在（2，45）处的切线方程为y-45=-625（x故答案为：6x+25y﹣32＝0．19．平面向量的基本定理【知识点的认识】1、平面向量基本定理内容：如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一a→，有且仅有一对实数λ1、λ2，使a2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底．3、说明：（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．20．解三角形【知识点的认识】1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．6．俯角和仰角的概念：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．7．关于三角形面积问题①S△ABC=12aha=12bhb=12chc（ha、hb、hc分别表示②S△ABC=12absinC=12bcsinA=③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）④S△ABC=abc⑤S△ABC=s(s-a)(s-b)(⑥S△ABC＝r•s，（r为△ABC内切圆的半径）在解三角形时，常用定理及公式如下表：名称公式变形内角和定理A+B+C＝πA2+B2=π2-C2，余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosAb2＝a2+c2﹣2accosBc2＝a2+b2﹣2abcosCcosA=cosB=cosC=a正弦定理asinA=R为△ABC的外接圆半径a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinCsinA=a2R，sinB=b射影定理acosB+bcosA＝cacosC+ccosA＝bbcosC+ccosB＝a面积公式①S△=12aha=12bh②S△=12absinC=12acsinB③S△=④S△=s(s-a)(s-b)(⑤S△=12（a+b+c（r为△ABC内切圆半径）sinA=sinB＝2SsinC=21．复数的模【知识点的认识】1．复数的概念：形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a＝0，b≠0，则a+bi为纯虚数．2、复数相等：a+bi＝c+di⇔a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．3、共轭复数：a+bi与c+di共轭⇔a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．4、复数的模：OZ→的长度叫做复数z＝a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|=22．复数的除法运算【知识点的认识】复数除法涉及分子与分母的复数．对于复数z1＝a1+b1i和z2＝a2+b2i，除法结果是z1【解题方法点拨】﹣化简复数：将复数除法转换为分数形式，乘以分母的共轭复数，化简得到标准形式．﹣应用：在实际问题中如何处理复数的除法及其应用．【命题方向】﹣复数除法的计算：考查如何计算复数除法及其结果．﹣除法的实际应用：如何在实际问题中应用复数除法．i是虚数单位，2i1+解：2i1+i23．空间向量法求解直线与平面所成的角【知识点的认识】直线与平面所成角的求法：向量求法：设直线l的方向向量为a→，平面的法向量为u→，直线与平面所成的角为θ，a→与u→的夹角为φ，则有sinθ＝|cos【解题方法点拨】﹣点积和模：计算向量的数量积和模，求得角度的余弦值，然后使用反余弦函数计算角度．【命题方向】﹣向量法计算：考查如何使用空间向量法计算直线与平面之间的夹角．24．空间中点到平面的距离【知识点的认识】﹣点到平面的距离：点P（x1，y1，z1）到平面Ax+By+Cz+D＝0（平面的法向量为（A，B，C））的距离为：d=【解题方法点拨】﹣计算距离：代入点和平面的系数，使用公式计算距离．【命题方向】﹣距离计算：考查如何计算点到平面的距离．25．直线与椭圆的综合【知识点的认识】直线与椭圆的位置判断：将直线方程与椭圆方程联立，消去x（或y）的一元二次方程，则：直线与椭圆相交⇔Δ＞0；直线与椭圆相切⇔Δ＝0；直线与椭圆相离⇔Δ＜0；【解题方法点拨】（1）直线与椭圆位置关系的判断方法①联立方程，借助一元二次方程的判别式来判断；②借助直线和椭圆的几何性质来判断．根据直线系方程抓住直线恒过定点的特征，将问题转化为点和椭圆的