2025年福建省厦门市高考数学第四次质检试卷

第47页（共47页）2025年福建省厦门市高考数学第四次质检试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）（2025•厦门模拟）复数z=12-A．13 B．13i C．152．（5分）（2025•厦门模拟）已知双曲线C的顶点为A1，A2，虚轴的一个端点为B，且△BA1A2是一个等边三角形，则双曲线C的离心率为（）A．2 B．2 C．3 D．33．（5分）（2025•厦门模拟）在（1+2x）n的展开式中各二项式系数的和为32，则x3的系数为（）A．10 B．40 C．80 D．1204．（5分）（2025•厦门模拟）以边长为1的正三角形的一边所在直线为旋转轴，将该正三角形旋转一周得到的几何体的体积为（）A．π B．π2 C．π3 D5．（5分）（2025•厦门模拟）在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，AD＝2，CD＝1，∠DAB＝60°，则AC→A．4 B．6 C．8 D．126．（5分）（2025•厦门模拟）厦门某会场座位共有20排，第一排有15个座位，从第二排起，每一排都比前一排多两个座位．现有一个200人的代表团来该会场参加会议，主办方需预留前n排座位给该代表团，则n的最小值为（）A．7 B．8 C．9 D．107．（5分）（2025•厦门模拟）已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，0＜φ＜π2)的部分图象如下，将△AOB沿A．12 B．π2 C．1 D8．（5分）（2025•厦门模拟）已知集合A={x|e2x＜ax}，B＝{x|x2﹣x＜A．（﹣∞，2] B．(-∞，2e] C．（﹣∞，4] D．（﹣∞二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）（2025•厦门模拟）甲、乙两名篮球运动员连续5场比赛的得分如图所示，则（）A．甲得分的极差大于乙得分的极差 B．甲得分的平均数大于乙得分的平均数 C．甲得分的中位数大于乙得分的中位数 D．甲得分的方差大于乙得分的方差（多选）10．（6分）（2025•厦门模拟）如图，一个漏斗的上面部分可视为长方体ABCD﹣A′B′C′D′，下面部分可视为正四棱锥P﹣ABCD，O为正方形ABCD的中心，两部分的高都是该正方形边长的一半，则（）A．A′O⊥AB B．A′O∥平面APD C．平面AA′P⊥平面BDP D．CC′与A′P为相交直线（多选）11．（6分）（2025•茂名模拟）已知{an}是首项为a1，公比为q的递增等比数列，其前n项和为Sn，若对任意的n∈N*，总存在m∈N*，使得an≤Sm＜an+1，则称{an}是“可分等比数列”，则（）A．{-12n}不是B．{(32)n}C．若{an}是“可分等比数列”，则m＝n D．若{an}是“可分等比数列”，则q≥2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）（2025•厦门模拟）已知函数f(x)=-x2，x≤0log2x，x＞0，若f（13．（5分）（2025•厦门模拟）A，B，C，D四个人排成一排，当A，B相邻时，A必须在B的右边，那么不同的排法共有种．14．（5分）（2025•厦门模拟）已知直线l：y﹣2＝0与圆O：x2+y2＝4相切于点T，A是圆O上一动点，点P满足PO⊥OA，且以P为圆心，PA为半径的圆恰与l相切，则sin∠PTO的最大值为．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）（2025•厦门模拟）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m→=（sinC，3cosA-3），n→=（a（1）求A；（2）若a＝2，求△ABC周长的最大值．16．（15分）（2025•厦门模拟）已知函数f(（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a＞0时，证明：f(17．（15分）（2025•厦门模拟）如图，在多面体ABCDEF中，AE⊥平面ABCD，平面CDF⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，△CDF是正三角形，AB＝2，AE=2（1）证明：DF∥平面ABE；（2）若直线EF与底面ABCD的交点为G，直线AG上是否存在点N，使得平面EBN与平面ECD的夹角为60°？若存在，求AN的长；若不存在，请说明理由．18．（17分）（2025•厦门模拟）已知椭圆E：x2a2+y2b2（1）求E的方程；（2）过点T（3，0）且不垂直于y轴的直线与E交于A，B两点，直线AF与E交于点C（异于A）．（i）证明：△FBC为等腰三角形；（ii）若点M是△ABC的外心，求△AMC面积的最大值．19．（17分）（2025•厦门模拟）在一个不透明的口袋中装有大小、形状完全相同的n个小球，将它们分别编号为1，2，3，…，n．每次从口袋中随机抽取一个小球，记录编号后放回，直至取遍所有小球后立刻停止摸球．记总的摸球次数为Xn，其期望为E（Xn）．（1）求P（X2＝4）与P（X3＝5）；（2）求E（X2）；（3）证明：E（Xn）＞nln（n+1）．附：①若随机变量X的可能取值为1，2，3，…，n，…，则E(②若随机变量X=i=1

2025年福建省厦门市高考数学第四次质检试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案CACDCCBB二．多选题（共3小题）题号91011答案BCBCDACD一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）（2025•厦门模拟）复数z=12-A．13 B．13i C．15【考点】复数的除法运算；复数的实部与虚部．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】C【分析】由复数的除法计算化简z，然后利用虚部概念求解即可．【解答】解：z=则z的虚部为15故选：C．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的概念，属于基础题．2．（5分）（2025•厦门模拟）已知双曲线C的顶点为A1，A2，虚轴的一个端点为B，且△BA1A2是一个等边三角形，则双曲线C的离心率为（）A．2 B．2 C．3 D．3【考点】求双曲线的离心率．【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】A【分析】由题意可得ba【解答】解：不妨设双曲线的焦点在x轴上，由顶点为A1，A2，虚轴的一个端点为B，且△BA1A2是一个等边三角形，得tan60°=b∴双曲线C的离心率为e=ca故选：A．【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线离心率的求法，是基础题．3．（5分）（2025•厦门模拟）在（1+2x）n的展开式中各二项式系数的和为32，则x3的系数为（）A．10 B．40 C．80 D．120【考点】二项式系数与二项式系数的和；二项展开式的通项与项的系数．【专题】整体思想；综合法；二项式定理；运算求解．【答案】C【分析】由二项式定理，结合二项式展开式的通项公式求解即可．【解答】解：已知在（1+2x）n的展开式中各二项式系数的和为32，则2n＝32，即n＝5，则x3的系数为C53•23＝故选：C．【点评】本题考查了二项式定理，重点考查了二项式展开式的通项公式，属基础题．4．（5分）（2025•厦门模拟）以边长为1的正三角形的一边所在直线为旋转轴，将该正三角形旋转一周得到的几何体的体积为（）A．π B．π2 C．π3 D【考点】棱锥的体积．【专题】计算题；整体思想；立体几何；运算求解．【答案】D【分析】由题可得旋转后对应几何体为两个同底的圆锥，结合题目数据可得相应体积．【解答】解：如图，根据题目：边长为1的正三角形的一边所在直线为旋转轴，正三角形绕AB所在直线为旋转轴旋转一周，得到几何体是两个同底的圆锥，圆锥的底面半径为r=OC=32故选：D．【点评】本题考查棱锥的体积，属于中档题．5．（5分）（2025•厦门模拟）在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，AD＝2，CD＝1，∠DAB＝60°，则AC→A．4 B．6 C．8 D．12【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【专题】计算题；整体思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】C【分析】根据题意，由平面向量的线性运算可得AC→【解答】解：在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，AD＝2，CD＝1，∠DAB＝60°，因为AC→所以AC→⋅AB→=＝|AD→|•|AB→|•cos∠＝2×4×12+1故选：C．【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，属于中档题．6．（5分）（2025•厦门模拟）厦门某会场座位共有20排，第一排有15个座位，从第二排起，每一排都比前一排多两个座位．现有一个200人的代表团来该会场参加会议，主办方需预留前n排座位给该代表团，则n的最小值为（）A．7 B．8 C．9 D．10【考点】数列的应用；等差数列的前n项和．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】C【分析】根据题意，设第n排有an个座位，易得数列{an}是首项为15，公差为2的等差数列，由等差数列前n项和公式可得n2+14n≥200，结合n的范围，分析可得答案．【解答】解：根据题意，设第n排有an个座位，易得数列{an}是首项为15，公差为2的等差数列，故Sn＝15n+n(n-1)若Sn≥200，即n2+14n≥200，解可得n≥-14+9962又由n为正整数，故n≥9，即n的最小值为9．故选：C．【点评】本题考查等差数列的求和，涉及等差数列的通项公式，属于基础题．7．（5分）（2025•厦门模拟）已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，0＜φ＜π2)的部分图象如下，将△AOB沿A．12 B．π2 C．1 D【考点】二面角的平面角及求法；由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】数形结合；综合法；三角函数的图象与性质；立体几何；逻辑思维；运算求解；空间想象．【答案】B【分析】在折叠后的图中连接A'D，根据二面角的平面角定义和二面角的大小，利用余弦定理可求出|A'D|，再由线面垂直判定得到BO⊥平面A'OD，可推得△A'CD为直角三角形，从而得到CD长度和点C坐标，将A和D坐标代入解析式可求出ω．【解答】解：如图，设C点在y轴上的投影为点D，连接A'D，由已知，A'O⊥OB，DO⊥OB，二面角A′﹣OB﹣C为120°，所以∠A'OD＝120°，因为|A'O|＝|DO|=12，所以由余弦定理，|A'D|=3|DO因为BO⊥A'O，BO⊥DO，DO∩A'O＝O，所以BO⊥平面A'OD，因为CD∥BO，所以CD⊥平面A'OD，则CD⊥A'D，又|A'C|=192，所以|CD|=|A'C所以f（x）过点A（0，12）和点C（2，-12由ω＞0和0＜φ＜π2得，故选：B．【点评】本题主要考查二面角的平面角、三角函数的图象与性质，属于中档题．8．（5分）（2025•厦门模拟）已知集合A={x|e2x＜ax}，B＝{x|x2﹣x＜A．（﹣∞，2] B．(-∞，2e] C．（﹣∞，4] D．（﹣∞【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】转化思想；转化法；导数的综合应用；集合；运算求解．【答案】B【分析】先求出集合B，问题转化为a＞e2xx在（【解答】解：因为集合A={x|e2x＜ax}，B＝{x|x2﹣x＜若A∩B＝∅，则a＞e2xx在（0，1）内无解，即a≤e2x令f（x）=e2xx，x∈（0，1），则f′（当0＜x＜14时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x＞14时，f′（x）＞0，故x=14时，函数f（x）取得极小值，也是最小值f（14故a≤2e故选：B．【点评】本题主要考查了不等式恒成立与最值关系的转化，还考查了导数与单调性关系的应用，属于中档题．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）（2025•厦门模拟）甲、乙两名篮球运动员连续5场比赛的得分如图所示，则（）A．甲得分的极差大于乙得分的极差 B．甲得分的平均数大于乙得分的平均数 C．甲得分的中位数大于乙得分的中位数 D．甲得分的方差大于乙得分的方差【考点】频率分布折线图、密度曲线；平均数；中位数．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】BC【分析】根据频率分布直方图的性质即可求解．【解答】解：首先整理甲、乙得分数据并排序，甲：15，16，18，21，30，乙：4，10，16，22，38，A．极差：甲极差：30﹣15＝15，乙极差：38﹣4＝34，甲极差小于乙，A错误；B．平均数：甲平均数：15+16+18+21+305乙平均数：4+10+16+22+385=18，甲平均数大于乙，C．中位数：甲排序后中位数为18，乙排序后中位数为16．甲中位数大于乙，C正确；D．方差：甲方差：(15-20)2+乙方差：(4-18)2甲方差小于乙，D错误．故选：BC．【点评】本题考查了频率分布直方图，属于基础题．（多选）10．（6分）（2025•厦门模拟）如图，一个漏斗的上面部分可视为长方体ABCD﹣A′B′C′D′，下面部分可视为正四棱锥P﹣ABCD，O为正方形ABCD的中心，两部分的高都是该正方形边长的一半，则（）A．A′O⊥AB B．A′O∥平面APD C．平面AA′P⊥平面BDP D．CC′与A′P为相交直线【考点】平面与平面垂直；直线与平面平行；直线与平面垂直．【专题】计算题；整体思想；综合法；立体几何；运算求解．【答案】BCD【分析】分别利用线面、面面位置关系的判定定理与性质结合题设条件逐项分析即可判断．【解答】解：对于A，设正方形ABCD边长为2，由正四棱锥性质可得PO⊥平面ABCD，故PO＝AA′＝1，因为A′A⊥面ABCD，故A′O在底面的射影为AO，又AO不与AB垂直，故A′O不与AB垂直，故A不正确；对于B，由题PO∥AA′且PO＝AA′，故四边形POA′A是平行四边形，所以A′O∥AP，A′O不在平面APD内，AP⊆平面APD，所以A′O∥平面APD，故B正确；对于C，因为PO∥CC′∥AA′，O∈平面CC′AA′，故PO⊂平面CC′A′A，平面AA′P即为平面CC′A′A，因为A′A⊥面ABCD，BD⊂面ABCD，所以A′A⊥BD，又因为BD⊥AC，A′A∩AC＝A，所以BD⊥平面CC′A′A，又BD⊂平面BDP，所以平面BDP⊥平面CC′A′A，即平面AA′P⊥平面BDP，故C正确；对于D，由C可知CC′与A′P都在平面CC′A′A中且不平行，故CC与′A′P为相交直线，故D正确．故选：BCD．【点评】本题考查了线面、面面位置关系的判定定理和性质定理，属于中档题．（多选）11．（6分）（2025•茂名模拟）已知{an}是首项为a1，公比为q的递增等比数列，其前n项和为Sn，若对任意的n∈N*，总存在m∈N*，使得an≤Sm＜an+1，则称{an}是“可分等比数列”，则（）A．{-12n}不是B．{(32)n}C．若{an}是“可分等比数列”，则m＝n D．若{an}是“可分等比数列”，则q≥2【考点】等比数列的前n项和；等比数列通项公式的应用．【专题】计算题；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；运算求解；新定义类．【答案】ACD【分析】对于A，取n＝2，则不存在m∈N*使得an≤Sm＜an+1；对于B，取n＝2，则不存在n∈N*使得an≤Sm＜an+1；对于C，D根据“可分等比数列”的定义，用反证法证明即可．【解答】解：对于A，若an=-1因为an＜0，所以Sn≤a所以不存在正整数m，使得a2≤Sm＜a3，所以{-12n}不是”可分等比数列对于B，若an=(3所以S1=32＜a所以不存在正整数m，使得a2≤Sm＜a3，所以{(32)n}不是“对于C，若a1＜0，则有Sn≤a1＜a2＜a3，所以不存在正整数m，使得a2≤Sm＜a3，所以a1＞0，因为{an}是递增等比数列，所以q＞1，an＞0，所以Sn+1＞an+1，因为an≤Sm＜an+1，所以m＜n+1，即m≤n．下证：对任意n∈N*当且仅当m＝n时，an≤Sm＜an+1．反证法：假设存在正整数n，使得当m≤n﹣1时，an≤Sm＜an+1，取满足条件的最小正整数n0此时有m≤n0﹣1，使得an且ar0-1≤即m＞n0﹣1与m≤n0﹣1矛盾．所以对任意n∈N*，当且仅当m＝n时，an≤Sm＜an+1，所以选项C正确；对于D，下证：q≥2．由上可知m＝n，即an≤Sn＜an+1恒成立，只需Sn＜an+1，即qn＜qn（q﹣1）+1恒成立，①当q≥2时，因为qn（q﹣1）+1﹣qn＝qn（q﹣2）+1＞0恒成立，所以q≥2符合要求；②当1＜q＜2时，因为qn（q﹣1）+1﹣qn＝qn（q﹣2）+1，当∃nqn（q﹣2）+1＜﹣1+1＝0，不符合题设要求．综上，q≥2，所以选项D正确．故选：ACD．【点评】本题考查等比数列的前n项和，属于中档题．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）（2025•厦门模拟）已知函数f(x)=-x2，x≤0log2x，x＞0，若f（【考点】函数的值．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】8．【分析】直接代入求解即可．【解答】解：因为函数f(x)=-x2，x≤0log2所以f（﹣1）＝﹣1，故f（a）＝3，即log2a＝3，解得a＝8．故答案为：8．【点评】本题主要考查函数值的求解，属于基础题．13．（5分）（2025•厦门模拟）A，B，C，D四个人排成一排，当A，B相邻时，A必须在B的右边，那么不同的排法共有18种．【考点】部分元素相邻的排列问题．【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．【答案】18．【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合相邻问题捆绑法求解即可．【解答】解：已知A，B，C，D四个人排成一排，当A，B相邻时，A必须在B的右边，则不同的排法共有A33当A，B不相邻时，则不同的排法有A22则不同的排法共有6+12＝18种．故答案为：18．【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了相邻问题捆绑法，属基础题．14．（5分）（2025•厦门模拟）已知直线l：y﹣2＝0与圆O：x2+y2＝4相切于点T，A是圆O上一动点，点P满足PO⊥OA，且以P为圆心，PA为半径的圆恰与l相切，则sin∠PTO的最大值为33【考点】直线与圆的位置关系．【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】33【分析】设P（x，y），A（x0，y0），易知x02+y02=4，OP→⋅OA→=xx0+yy0＝0【解答】解：设P（x，y），A（x0，y0），则x0因为PO⊥OA，所以OP→⋅OA→=xx0+因为以P为圆心，PA为半径的圆恰与l相切，所以|PA|＝|2﹣y|，即(x所以x2+y2-2(xx因为x02+y02=4，xx所以x2＝﹣4y（y≤0），所以sin∠PTO=|x|x2+(2-y)即sin∠PTO的最大值为33故答案为：33【点评】本题考查直线与圆的位置关系，熟练掌握平面向量数量积的坐标运算，直线与圆相切的位置关系，以及基本不等式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）（2025•厦门模拟）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m→=（sinC，3cosA-3），n→=（a（1）求A；（2）若a＝2，求△ABC周长的最大值．【考点】解三角形；平面向量数量积的坐标运算．【专题】转化思想；综合法；解三角形；运算求解．【答案】（1）π3（2）6．【分析】（1）由向量垂直的充要条件及正弦定理，辅助角公式可得角A的大小；（2）由余弦定理及基本不等式可得b+c的最大值，进而可得该三角形的周长的最大值．【解答】解：（1）因为向量m→=（sinC，3cosA-3），n→=（a所以asinC+c（3cosA-3）＝0由正弦定理可得sinAsinC+3sinC（cosA﹣1）＝0在△ABC中，sinC＞0，可得sinA+3cosA=整理可得sin（A+π3）=32，又因为A∈（可得A+π可得A=π（2）又因为a＝2，由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccosA＝（b+c）2﹣3bc≤（b+c）2﹣3•（b+c2）2=(b即（b+c）2≤4a2＝4×4，即b+c≤4，所以△ABC周长为a+b+c≤2+4＝6，即△ABC的周长的最大值为6．【点评】本题考查向量的运算性质的应用及正弦定理，余弦定理的应用，基本不等式的性质的应用，属于中档题．16．（15分）（2025•厦门模拟）已知函数f(（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a＞0时，证明：f(【考点】不等式恒成立的问题；利用导数求解函数的单调性和单调区间．【专题】函数思想；定义法；导数的综合应用；逻辑思维．【答案】见试题解答内容【分析】（1）求出导函数，结合a的不同取值进行分类讨论求解．（2）结合第一问求出f（x）的最小值，那么欲证明f(x)≥【解答】解：（1）由题意得，f（x）的定义域为（0，+∞），f'①当a≤0时，f'（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）单调递增，②当a＞0时，当0＜x＜a时，f′（x）＜0，当x＞a时，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，a）单调递减，在（a，+∞）单调递增．综上，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）单调递增；当a＞0时，f（x）在（0，a）单调递减，在（a，+∞）单调递增．（2）证明：由（1）得，当a＞0时，f（x）在（0，a）单调递减，在（a，+∞）单调递增，所以f（x）的最小值为f(欲证明f(x)≥lna即证12设g(a)=12a2+2g'(设h(a)=a-1a-h'(a)=1+1a2-2a又h（1）＝0，所以当a∈（0，1）时，h（a）＜0，g'（a）＜0，g（a）单调递减，当a∈（1，+∞）时，h（a）＞0，g′（a）＞0，g（a）单调递增，所以g（a）≥g（1）＝0，即12所以f(【点评】本题考查导数的综合应用，属于中档题．17．（15分）（2025•厦门模拟）如图，在多面体ABCDEF中，AE⊥平面ABCD，平面CDF⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，△CDF是正三角形，AB＝2，AE=2（1）证明：DF∥平面ABE；（2）若直线EF与底面ABCD的交点为G，直线AG上是否存在点N，使得平面EBN与平面ECD的夹角为60°？若存在，求AN的长；若不存在，请说明理由．【考点】空间向量法求解二面角及两平面的夹角；直线与平面平行．【专题】对应思想；综合法；空间向量及应用；立体几何；逻辑思维；运算求解．【答案】（1）证明见详解；（2）存在点N，|AN【分析】（1）证明平面ABE∥平面CDF，即可得到DF∥平面ABE；（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面EBN与平面ECD的法向量，利用空间向量求解即可．【解答】解：（1）证明：取CD中点M，连接FM，因为△CDF是正三角形，所以FM⊥CD，又因为平面CDF⊥平面ABCD，平面CDF∩平面ABCD＝CD，FM⊂平面CDF，所以FM⊥平面ABCD，因为AE⊥平面ABCD，所以AE∥FM，又因为AB⊄平面CDF，CD⊂平面CDF，所以AB∥平面CDF，又因为AB∩AE＝A，AB⊂平面ABE，AE⊂平面ABE，所以平面ABE∥平面CDF，因为DF⊂平面CDF，所以DF∥平面ABE；（2）因为AE∥FM且FM=3≠延长EF交AM的延长线于G，AM⊂平面ABCD，所以G∈平面ABCD，以A为原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），M（1，2，0），E(0DC→=(2，0，设平面ECD的法向量为n→则n1→⋅令z1＝1，可得n1设AN→=λAM→，设平面EBN的法向量为n2则n2→⋅令z2＝2λ，可得n2则|=|6-解得：λ=±又A（0，0，0），M（1，2，0），AN→所以|AN【点评】本题考查了立体几何中几何法与向量法的综合应用，属于中档题．18．（17分）（2025•厦门模拟）已知椭圆E：x2a2+y2b2（1）求E的方程；（2）过点T（3，0）且不垂直于y轴的直线与E交于A，B两点，直线AF与E交于点C（异于A）．（i）证明：△FBC为等腰三角形；（ii）若点M是△ABC的外心，求△AMC面积的最大值．【考点】直线与椭圆的综合；利用导数求解函数的最值；根据椭圆的几何特征求标准方程．【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线中的最值与范围问题；运算求解．【答案】（1）x23+y22=1；（2【分析】（1）根据椭圆的几何性质，求解即可；（2）（i）设直线AB的方程为y＝k（x﹣3），k≠0，将其与椭圆方程联立，结合韦达定理，证明kAF+kBF＝0，即可得证；（ii）先写出线段AB的中垂线所在直线方程，从而表示出点M的坐标，再根据三角形面积的求法，结合换元法与导数，求其最值即可．【解答】（1）解：由题意知，c=1ca=33b故E的方程为x2（2）（i）证明：设直线AB的方程为y＝k（x﹣3），k≠0，A（x1，y1），B（x2，y2），联立y=k(x-3)2x2+3y2=6，得（2+3k2）x2所以x1+x2=18k22+3k2，x1x2=27k2-62+3k2，Δ＝324k2﹣4（2+3k2）（27k2﹣6）＝﹣48（3若BF⊥x轴，则B（1，±23），此时直线AB的斜率k=±23-01-3所以直线AF，BF的斜率均存在，因为F（1，0），所以直线AF的斜率为kAF=y1x1-1，直线所以kAF+kBF=y1x1-1+y2x2-1=k=k(x1-1)(x2-1)•[即kCF+kBF＝0，又因为B，C均在椭圆上，所以由椭圆对称性知，CF＝BF，故△FBC为等腰三角形．（ii）解：因为△FBC为等腰三角形，且CF＝BF，点M是△ABC的外心，所以点M在x轴上，由（i）知y1+y2＝k（x1+x2﹣6）＝k（18k22+3k所以线段AB的中点坐标为（9k22+3所以AB中垂线所在直线方程为y--6k2+3令y＝0，则xM=3所以△AMC面积S=12|MF|•|y1+y2|=12⋅|3令t＝|k|∈（0，33]，设f（t）＝S=则f'（t）=-当0＜t＜23时，f'（t）＞0，f（t）在（0，当t＞23时，f'（t）＜0，f（t）在（23所以f（t）≤f（23）=故△AMC面积的最大值为92【点评】本题考查直线与椭圆的综合应用，熟练掌握直线斜率的表示方法，三角形面积的求法，灵活运用韦达定理，以及利用导数求函数的最值是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于难题．19．（17分）（2025•厦门模拟）在一个不透明的口袋中装有大小、形状完全相同的n个小球，将它们分别编号为1，2，3，…，n．每次从口袋中随机抽取一个小球，记录编号后放回，直至取遍所有小球后立刻停止摸球．记总的摸球次数为Xn，其期望为E（Xn）．（1）求P（X2＝4）与P（X3＝5）；（2）求E（X2）；（3）证明：E（Xn）＞nln（n+1）．附：①若随机变量X的可能取值为1，2，3，…，n，…，则E(②若随机变量X=i=1【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．【专题】应用题；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】（1）1481（2）3；（3）证明见解析．【分析】（1）根据独立事件的概率可求解；（2）有题意可知P(（3）随着录得的编号的个数i从1增加到n，摸球总次数也在不断增加，将摸球试验按照记录得到的不同编号的个数i分成n个环节（小试验），每一个环节中相应的ξ1即为当且仅当录得一个新的编号时所需摸球次数，则Xn=i=1nξi，且ξ1均服从几何分布，即在大试验的第i个环节中，在当已经记录了i﹣1个编号后，继续开始摸球，直到出现一个新的编号时，若摸球次数为k，则前k﹣1次均录得旧编号，且每次摸球成功的概率为p1=i-1n，而第k次录得新编号的概率为p2=1-i-1n.则【解答】解：（1）X2＝4表示袋中共两个球，前3次摸出同一个球，第4次才摸出另一个球，即P(X3＝5表示袋中共3个球，前4次摸出的是两个不同编号的球，第5次才摸出最后一个编号的球，第5次才摸出第三个编号的球，则前4次摸球中，另外两个编号球各至少摸到一次，则P(（2）依题意可得：X，＝2，3，4，5，…，m，…，则P(X2=所以E(设Sm=k作差可得12所以Sm=3-m（3）证明：设随机变量ξi表示，恰好记录了i﹣1个不同的编号下，继续摸球直到记录到第i个新的编号所需要的摸球次数，则Xn=i=1nξi，其中i＝1，2，…，n，则P(ξi=k)=(i-设Tm=k作差可得：(1-i所以E(所以E(Xn令f（x）＝x﹣ln（x+1），f'(x)=xx+1，当x＞0时，f′（x）＞0，所以f（所以f(1n所以1+12+⋯⋯+1n＞ln2﹣ln1+ln3﹣ln2+…+ln（n+1）﹣ln（n所以E(【点评】本题考查离散型随机变量的均值（数学期望），属于中档题．

考点卡片1．函数的值【知识点的认识】函数的值是指在某一自变量取值下，函数对应的输出值．【解题方法点拨】﹣确定函数的解析式，代入自变量值，计算函数的值．﹣验证计算结果的正确性，结合实际问题分析函数的值．﹣利用函数的值分析其性质和应用．【命题方向】题目包括计算函数的值，结合实际问题求解函数的值及其应用．已知函数f（x）=x+2，x＜0x2，解：f(-f(f(故f（f（f（-12）））2．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式【知识点的认识】根据图象确定解析式的方法：在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A=M-m2，k=M+m2，ω3．等差数列的前n项和【知识点的认识】等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式为Sn＝na1+12n（n﹣1）d或者S【解题方法点拨】eg1：设等差数列的前n项和为Sn，若公差d＝1，S5＝15，则S10＝解：∵d＝1，S5＝15，∴5a1+5×42d＝5a1+10＝15，即a1＝则S10＝10a1+10×92d＝10+45＝故答案为：55点评：此题考查了等差数列的前n项和公式，解题的关键是根据题意求出首项a1的值，然后套用公式即可．eg2：等差数列{an}的前n项和Sn＝4n2﹣25n．求数列{|an|}的前n项的和Tn．解：∵等差数列{an}的前n项和Sn＝4n2﹣25n．∴an＝Sn﹣Sn﹣1＝（4n2﹣25n）﹣[4（n﹣1）2﹣25（n﹣1）]＝8n﹣29，该等差数列为﹣21，﹣13，﹣5，3，11，…前3项为负，其和为S3＝﹣39．∴n≤3时，Tn＝﹣Sn＝25n﹣4n2，n≥4，Tn＝Sn﹣2S3＝4n2﹣25n+78，∴Tn点评：本题考查等差数列的前n项的绝对值的和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．其实方法都是一样的，要么求出首项和公差，要么求出首项和第n项的值．【命题方向】等差数列比较常见，单独考察等差数列的题也比较简单，一般单独考察是以小题出现，大题一般要考察的话会结合等比数列的相关知识考察，特别是错位相减法的运用．4．等比数列通项公式的应用【知识点的认识】1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．2．等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1•qn﹣13．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．G2＝a•b（ab≠0）4．等比数列的常用性质（1）通项公式的推广：an＝am•qn﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则ak•al＝am•an（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an•bn}，仍是等比数列．（4）单调性：a1＞0q＞1或a1＜00＜q＜1⇔{an}是递增数列；a1＞00＜q＜1或a1＜【解题方法点拨】﹣代入计算：将具体问题中的n值代入通项公式，计算数列的具体项．﹣推导公式：根据实际问题推导出数列的通项公式，并应用于实际问题中．﹣综合应用：将通项公式与其他数列性质结合，解决复杂问题．【命题方向】常见题型包括利用等比数列的通项公式计算具体项，推导数列公式，解决实际问题．已知等比数列{an}的通项公式an＝3n+2（n∈N*），则该数列的公比是_____．解：∵等比数列{an}的通项公式为an＝3n+2（n∈N*），∴该数列的公比q=a25．等比数列的前n项和【知识点的认识】1．等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q（q≠0），其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn=a2．等比数列前n项和的性质公比不为﹣1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n仍成等比数列，其公比为qn．6．数列的应用【知识点的认识】1、数列与函数的综合2、等差数列与等比数列的综合3、数列的实际应用数列与银行利率、产品利润、人口增长等实际问题的结合．7．利用导数研究函数的单调性【知识点的认识】1、导数和函数的单调性的关系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：（1）确定f（x）的定义域；（2）计算导数f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．【解题方法点拨】若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．【命题方向】题型一：导数和函数单调性的关系典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）解：f（x）＞2x+4，即f（x）﹣2x﹣4＞0，设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，则g′（x）＝f′（x）﹣2，∵对任意x∈R，f′（x）＞2，∴对任意x∈R，g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，∵f（﹣1）＝2，∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，则由g（x）＞g（﹣1）＝0得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），故选：B题型二：导数和函数单调性的综合应用典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g(x)=x3+x（Ⅲ）求证：ln2解：（Ⅰ）f'(x)=当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）（Ⅱ）f'(2)=-a2=1得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx∴g(∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2∴g由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，所以有：g'(1)＜0g'(2)＜（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，∴0∴ln8．利用导数求解函数的单调性和单调区间【知识点的认识】1、导数和函数的单调性的关系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：（1）确定f（x）的定义域；（2）计算导数f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．【解题方法点拨】若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．【命题方向】导数和函数单调性的关系典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）解：f（x）＞2x+4，即f（x）﹣2x﹣4＞0，设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，则g′（x）＝f′（x）﹣2，∵对任意x∈R，f′（x）＞2，∴对任意x∈R，g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，∵f（﹣1）＝2，∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，则由g（x）＞g（﹣1）＝0得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），故选：B9．利用导数求解函数的最值【知识点的认识】1、函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）=1x在（0，（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个2、用导数求函数的最值步骤：由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求f（x）在（a，b）内的极值；（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．【解题方法点拨】﹣求导：计算函数的导数f'（x）．﹣极值点：求解f'（x）＝0以找到极值点．﹣边界条件：结合函数的定义域边界点计算函数值，比较得到最值．【命题方向】常见题型包括利用导数求解函数的最值，结合函数的定义域进行分析．设函数f(x)=1x解：因为f(所以f'(令f'（x）＞0得x＞12；令f'（x）＜0所以f（x）的单调增区间为(12，所以当x=12时，f（x所以f（x）的最小值为2﹣2ln2．10．不等式恒成立的问题【知识点的认识】在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一段取值范围内所有值都成立的情形，我们将这样的情形称为不等式恒成立问题．【解题方法点拨】1、利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略：（1）通常需要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值；从而求出参数的取值范围；（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；（3）根据恒成立求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况．若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立问题与存在性问题的区别．2、利用参变量分离法求解函数不等式恒成立，可根据以下原则进行求解：（1）∀x∈D，m≤f（x）⇔m≤f（x）min；（2）∀x∈D，m≥f（x）⇔m≥f（x）max．【命题方向】不等式恒成立问题涉及到函数、不等式、方程、导数、数列等知识，渗透着函数与方程、等价转换、分类讨论、换元等思想方法，成为历年高考的一个热点．不等式恒成立问题基本命题角度有：证明不等式恒成立、由不等式恒（能）成立求参数的范围、不等式存在性问题．基本上都采取分参法，求什么就把什么分离出来，转换成恒成立问题求解．11．平面向量数量积的性质及其运算【知识点的认识】1、平面向量数量积的重要性质：设a→，b→都是非零向量，e→是与b→方向相同的单位向量，a→（1）a→⋅e→=（2）a→⊥b→（3）当a→，b→方向相同时，a→⋅b→=|a→||b→|；当a→特别地：a→⋅a→=|a→|2（4）cosθ=a（5）|a→⋅b→|≤|2、平面向量数量积的运算律（1）交换律：a→（2）数乘向量的结合律：（λa→）•b→=λ（a→⋅b（3）分配律：（a→⋅b→）•c平面向量数量积的运算平面向量数量积运算的一般定理为①（a→±b→）2=a→2±2a→•b→+b→2．②（a→-b→）（a→+b→）=a→2-【解题方法点拨】例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn＝nm”类比得到“a→②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b→）③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“c→≠0，a④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“|a→⋅b→|＝|a⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（a→⋅b→）⑥“acbc=ab”类比得到a→⋅c→b解：∵向量的数量积满足交换律，∴“mn＝nm”类比得到“a→⋅即①正确；∵向量的数量积满足分配律，∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b→）即②正确；∵向量的数量积不满足消元律，∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“c→≠0，a即③错误；∵|a→⋅b→|≠|a∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“|a→⋅b→|＝|a即④错误；∵向量的数量积不满足结合律，∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（a→⋅b→）即⑤错误；∵向量的数量积不满足消元律，∴acbc=ab即⑥错误．故答案为：①②．向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“a→⋅b→=b→⋅a→”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b→）•c→=a→⋅c→+b→⋅c→”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“c→≠0，a→⋅c→=b→⋅c→⇒a→=c→”；|a→⋅b→|≠|a→|•|b→|，故【命题方向】本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．12．平面向量数量积的坐标运算【知识点的认识】1、向量的夹角概念：对于两个非零向量a→，b→如果以O为起点，作OA→=a→，OB→=b→，那么射线OA，OB的夹角θ叫做向量2、向量的数量积概念及其运算：（1）定义：如果两个非零向量a→，b→的夹角为θ，那么我们把|a→||b→|cosθ叫做a即：a→⋅b→=|a→||b→|cosθ．规定：零向量与任意向量的数量积为注意：①a→⋅b→②符号“•”在数量积运算中既不能省略也不能用“×”代替；③在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0≤θ≤π．（2）投影：b→在a→上的投影是一个数量|b→|cos（3）坐标计算公式：若a→=（x1，y1），b→=（x2，y2），则a→⋅b→=x3、向量的夹角公式：4、向量的模长：5、平面向量数量积的几何意义：a→与b→的数量积a→⋅b→等于a→的长度|a→|与b13．解三角形【知识点的认识】1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．6．俯角和仰角的概念：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．7．关于三角形面积问题①S△ABC=12aha=12bhb=12chc（ha、hb、hc分别表示②S△ABC=12absinC=12bcsinA=③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）④S△ABC=abc⑤S△ABC=s(s-a)(s-b)(⑥S△ABC＝r•s，（r为△ABC内切圆的半径）在解三角形时，常用定理及公式如下表：名称公式变形内角和定理A+B+C＝πA2+B2=π2-C2，余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosAb2＝a2+c2﹣2accosBc2＝a2+b2﹣2abcosCcosA=cosB=cosC=a正弦定理asinA=R为△ABC的外接圆半径a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinCsinA=a2R，sinB=b射影定理acosB+bcosA＝cacosC+ccosA＝bbcosC+ccosB＝a面积公式①S△=12aha=12bh②S△=12absinC=12acsinB③S△=④S△=s(s-a)(s-b)(⑤S△=12（a+b+c（r为△ABC内切圆半径）sinA=sinB＝2SsinC=14．复数的实部与虚部【知识点的认识】i是数学中的虚数单位，i2＝﹣1，所以i是﹣1的平方根．我们把a+bi的数叫做复数，把a＝0且b≠0的数叫做纯虚数，a≠0，且b＝0叫做实数．复数的模为a2+b2．形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中【解题方法点拨】﹣分解复数：通过给定的复数表达式，提取实部和虚部．﹣应用：在复数运算中，分开处理实部和虚部，简化计算过程．【命题方向】﹣实部与虚部的提取：考查如何从复数表达式中提取实部和虚部．﹣实部虚部的运算：如何利用实部和虚部进行复数运算和解决问题．若复数z＝a2﹣3+2ai的实部与虚部互为相反数，则实数a＝_____．解：若复数z＝a2﹣3+2ai的实部与虚部互为相反数，则a2﹣3+2a＝0，解得：a＝﹣3或a＝1，故答案为：﹣3或1．15．复数的除法运算【知识点的认识】复数除法涉及分子与分母的复数．对于复数z1＝a1+b1i和z2＝a2+b2i，除法结果是z1【解题方法点拨】﹣化简复数：将复数除法转换为分数形式，乘以分母的共轭复数，化简得到标准形式．﹣应用：在实际问题中如何处理复数的除法及其应用．【命题方向】﹣复数除法的计算：考查如何计算复数除法及其结果．﹣除法的实际应用：如何在实际问题中应用复数除法．i是虚数单位，2i1+解：2i1+i16．棱锥的体积【知识点的认识】棱锥的体积可以通过底面面积B和高度h计算，顶点到底面的垂直距离即为高度．【解题方法点拨】﹣计算公式：体积计算公式为V=﹣底面面积计算：底面面积B可以根据底面多边形的性质计算．【命题方向】﹣棱锥的体积计算：考查如何根据底面面积和高度计算棱锥的体积．﹣实际应用：如何在实际问题中应用棱锥体积计算．17．直线与平面平行【知识点的认识】1、直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为：若a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α．2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．1、直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．用符号表示为：若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b．2、直线和平面平行的性质定理的实质是：已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行⇒线线平行．由线面平行⇒线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．正确的结论是：a∥α，若b⊂α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条．18．直线与平面垂直【知识点的认识】直线与平面垂直：如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直的判定：（1）定义法：对于直线l和平面α，l⊥α⇔l垂直于α内的任一条直线．（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．直线与平面垂直的性质：①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α⇒a∥b②由定义可知：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b．19．平面与平面垂直【知识点的认识】平面与平面垂直的判定：判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．平面与平面垂直的性质：性质定理1：如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．性质定理2：如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．性质定理3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面．性质定理4：三个两两垂直的平面的交线两两垂直．20．二面角的平面角及求法【知识点的认识】1、二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．2、二面角的平面角﹣﹣在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．3、二面角的平面角求法：（1）定义；（2）三垂线定理及其逆定理；①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；（4）平移或延长（展）线（面）法；（5）射影公式；（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：设平面α和β的法向量分别为u→和v→，若两个平面的夹角为（1）当0≤＜u→，v→＞≤此时cosθ＝cos＜u→，（2）当π2＜＜u→，v→＞＜π时，θcosθ＝﹣cos＜u→，21．空间向量法求解二面角及两平面的夹角【知识点的认识】1、二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．2、二面角的平面角﹣﹣在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．3、二面角的平面角求法：向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：设平面α和β的法向量分别为u→和v→，若两个平面的夹角为（1）当0≤＜u→，v→＞≤此时cosθ＝cos＜u→，（2）当π2＜＜u→，v→＞＜π时，θcosθ＝﹣cos＜u→，【解题方法点拨】﹣数量积和模：使用向量数量积和模计算夹角，应用反余弦函数得到结果．【命题方向】﹣向量法计算：考查如何使用空间向量法计算两平面之间的夹角．22．直线与圆的位置关系【知识点的认识】直线与圆的位置关系【解题方法点拨】判断直线与圆的位置关系的方法直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．圆心到直线的距离d=①相交：d＜r②相切：d＝r③相离：d＞r（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．由A