2026年菁优高考数学压轴训练2

第47页（共47页）2026年菁优高考数学压轴训练2一．选择题（共10小题）1．（2025•江西模拟）已知命题p：∀x∈R，2x＞x2，命题q：∃x，y∈R，x+A．p和q都是真命题 B．￢p和q都是真命题 C．p和￢q都是真命题 D．￢p和￢q都是真命题2．（2025•金山区校级三模）对于数列{an}，若存在常数M＞0，对任意的n∈N*，都有不等式|a2﹣a1|+|a3﹣a2|+⋯+|an+1﹣an|＜M成立，则称数列{an}具有性质P．给出下列两个结论：①若数列{an}和{bn}均具有性质P，则数列{an+bn}也具有性质P；②若数列{an}和{bn}均具有性质P，则数列{anbn}也具有性质P．则下列判断正确的是（）A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题3．（2025•岳麓区校级二模）关于函数，有下列叙述：①存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有f（sin2x）＝sinx；②存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有f（sin2x）＝x2+x；③存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有f（x2+2x）＝|x+1|；④存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有f（x2+1）＝|x+1|．其中，叙述正确的是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（2025•临翔区校级模拟）声音是由于物体的振动产生的波．我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音，其函数是f(x)=sinx+12sin2x①当n＝1时，f（x）的图象关于直线x＝π对称②当n＝2时，若x∈（0，π），则f（x）＞0③当n＝3时，2π是f（x）的周期④f（x）为奇函数正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．45．（2025•岳阳模拟）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，过对角线BD1的一个平面交AA1于E，交CC1于F，给出下面几个命题：①四边形BFD1E一定是平行四边形；②四边形BFD1E有可能是正方形；③平面BFD1E有可能垂直于平面BB1D；④设D1F与DC的延长线交于M，D1E与DA的延长线交于N，则M、N、B三点共线；⑤四棱锥B1﹣BFD1E的体积为定值．以上命题中真命题的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．56．（2024•新高考Ⅱ）已知命题p：∀x∈R，|x+1|＞1，命题q：∃x＞0，x3＝x，则（）A．p和q都是真命题 B．￢p和q都是真命题 C．p和￢q都是真命题 D．￢p和￢q都是真命题7．（2024•钦州模拟）已知Sn是公比不为1的等比数列{an}的前n项和，则“S2，S6，S3成等差数列”是“存在不相等的正整数m，n，使得am，amn，an成等差数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．（2024•青浦区校级模拟）若非空实数集X中存在最大元素M和最小元素m，则记Δ（X）＝M﹣m．下列命题中正确的是（）A．已知X＝{﹣1，1}，Y＝{0，b}，且Δ（X）＝Δ（Y），则b＝2 B．已知X＝{x|f（x）≥g（x），x∈[﹣1，1]}，若Δ（X）＝2，则对任意x∈[﹣1，1]，都有f（x）≥g（x） C．已知X＝[a，a+2]，Y＝{y|y＝x2，x∈X}则存在实数a，使得Δ（Y）＜1 D．已知X＝[a，a+2]，Y＝[b，b+3]，则对任意的实数a，总存在实数b，使得Δ（X∪Y）≤39．（2024•黄浦区校级模拟）设f（x）、g（x）、h（x）是定义域为R的三个函数，对于命题：①若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均为严格增函数，则f（x）、g（x）、h（x）中至少有一个是严格增函数；②若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是以T为周期的函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（）A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题10．（2024•民乐县校级一模）下列有关命题的说法错误的是（）A．在△ABC中，“A＞B”是“a＞b”的充要条件 B．“x＝1”是“x≥1”的充分不必要条件 C．若命题p：∃x0∈R，x02≥0，则命题¬p：∀x∈R，x2＜0 D．“sinx=12”的必要不充分条件是二．多选题（共5小题）（多选）11．（2025•绵阳校级模拟）关于函数f(A．x0＝2是f（x）的极小值点 B．函数y＝f（x）﹣x有且只有1个零点 C．存在正整数k，使得f（x）＞kx恒成立 D．对任意两个正实数x1，x2，且x1≠x2，若f（x1）＝f（x2），则x1+x2＞4（多选）12．（2025•临翔区校级模拟）函数f(A．不等式g（x）＞0的解集为(1B．函数f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减 C．若函数F（x）＝f（x）﹣ax2有两个极值点，则a∈（0，1） D．若x1＞x2＞0时，总有m2(x1（多选）13．（2025•碑林区校级模拟）函数f(A．当a＝2时，函数y＝f（x）只有一个零点 B．若函数f（x）的对称中心为(1，43)，则C．若函数f（x）在(12，3)上为减函数，则aD．当a＝﹣2时，设f（x）的三个零点分别为x1，x2，x3，曲线f（x）在点（x1，0），（x2，0），（x3，0）处的切线斜率分别记为k1，k2，k3，则1（多选）14．（2025•麦积区模拟）设函数f(x)=sin(ωx-π6)(ω＞A．在（0，π）上存在x1，x2，满足f（x1）﹣f（x2）＝2 B．f（x）在（0，π）有且仅有1个最小值点 C．f（x）在(0，πD．ω的取值范围是[（多选）15．（2025•湖北三模）如图，已知正三棱台ABC﹣A1B1C1的上、下底面边长分别为2和6，侧棱长为4，点P在侧面BCC1B1内运动（包含边界），且AP与平面BCC1B1所成角的正切值为22，点Q为CC1上一点，且CQA．正三棱台ABC﹣A1B1C1的高为26B．点P的轨迹长度为3πC．高为463，底面半径为3D．过点A，B，Q的平面截该棱台内最大的球所得的截面面积为3三．填空题（共5小题）16．（2025•宝丰县三模）已知p：∀x∈R，mx2+2＞0；q：∃x∈R，x2﹣2mx+1≤0．若p，q都是真命题，则实数m的取值范围是．17．（2025•随州三模）设α，β，γ为三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ且____，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．（1）α∥γ，n⊂β；（2）m∥γ，n∥β；（3）n∥β，m⊂γ．可以填入的条件有．18．（2025•辽宁模拟）已知命题p：“∀x≥1，x3-2x-a＞0”的否定为真命题，则19．（2024•浙江学业考试）若“∃x∈[12，2]，使得2x2﹣λx+1＜0成立”是假命题，则实数λ的取值范围为20．（2024•延庆区一模）已知函数f(①存在实数a，使得函数f（x）的最小值为0②存在实数a＜0，使得函数f（x）的最小值为﹣1③存在实数a，使得函数f（x）恰有2个零点④存在实数a，使得函数f（x）恰有4个零点其中所有正确结论的序号是．四．解答题（共5小题）21．（2020•安康模拟）已知m为实常数．命题p：∃x∈（1，2），x2+x﹣m＝0；命题q：函数f（x）＝lnx﹣mx在区间[1，2]上是单调递增函数．（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若命题“p或q”为真命题，命题“p且q”为假命题，求实数m的取值范围．22．（2021•小店区校级模拟）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，{bn}是各项均为正数的等比数列，a1＝b4，____，b2＝8，b1﹣3b3＝4，是否存在正整数k，使得数列{1Sn}的前k项和T从①S4＝20，②S3＝2a3，③3a3﹣a4＝b2这三个条件中任选一个，补充到上面问题中并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按一个解答计分23．（2021•涪城区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，①已知点A（3，0），直线l：x=433，动点P满足到点A的距离与到直线l②已知圆C的方程为x2+y2＝4，直线l为圆C的切线，记点A（3，0），B（-3，0）到直线l的距离分别为d1，d2，动点P满足|PA|＝d1，|PB|＝d2③点S，T分别在x轴，y轴上运动，且|ST|＝3，动点P满足OP→（1）在①，②，③这三个条件中任选一个，求动点P的轨迹方程；（2）记（1）中的轨迹为E，经过点D（1，0）的直线l'交E于M，N两点，若线段MN的垂直平分线与y轴相交于点Q，求点Q纵坐标的取值范围．24．（2018•遂宁模拟）已知全集U＝R，集合A＝{x|x-2x-3≤0}，非空集合B＝{x|（x﹣a）（x﹣a（1）当a=12时，求（∁UB）∩（2）命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．25．（2018•澧县校级一模）已知m＞0，p：x2﹣2x﹣8≤0，q：2﹣m≤x≤2+m．（1）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围；（2）若m＝5，“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数x的取值范围．

2026年菁优高考数学压轴训练2参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案BAACCBADDD二．多选题（共5小题）题号1112131415答案ABDADABDABCD一．选择题（共10小题）1．（2025•江西模拟）已知命题p：∀x∈R，2x＞x2，命题q：∃x，y∈R，x+A．p和q都是真命题 B．￢p和q都是真命题 C．p和￢q都是真命题 D．￢p和￢q都是真命题【考点】复合命题及其真假．【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；简易逻辑；逻辑思维；运算求解．【答案】B【分析】直接利用不等式的性质和赋值法判断命题的真假．【解答】解：命题p：∀x∈R，2x＞x2，当x＝﹣1时，2x＞x2显然不成立，所以p是假命题，￢p是真命题．命题q：∃x，y∈R，x+y＜2xy，当x＝y＝﹣1￢q是假命题．故选：B．【点评】本题考查的知识点：不等式的性质，赋值法，命题真假的判定，主要考查学生的运算能力，属于中档题．2．（2025•金山区校级三模）对于数列{an}，若存在常数M＞0，对任意的n∈N*，都有不等式|a2﹣a1|+|a3﹣a2|+⋯+|an+1﹣an|＜M成立，则称数列{an}具有性质P．给出下列两个结论：①若数列{an}和{bn}均具有性质P，则数列{an+bn}也具有性质P；②若数列{an}和{bn}均具有性质P，则数列{anbn}也具有性质P．则下列判断正确的是（）A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题【考点】命题的真假判断与应用．【专题】对应思想；综合法；定义法；不等式；逻辑思维；运算求解．【答案】A【分析】由题意可得存在M1＞0，M2＞0，则有|a2﹣a1|+|a3﹣a2|+⋯+|an+1﹣an|＜M1，|b2﹣b1|+|b3﹣b2|+⋯+|bn+1﹣bn|＜M2，结合性质P及绝对值三角不等式逐一判断即可．【解答】解：因为{an}和{bn}均具有性质P，所以存在M1＞0，M2＞0，则有|a2﹣a1|+|a3﹣a2|+⋯+|an+1﹣an|＜M1，|b2﹣b1|+|b3﹣b2|+⋯+|bn+1﹣bn|＜M2，对于①，则|（a2+b2）﹣（a1+b1）|+|（a3+b3）﹣（a2+b2）|+⋯+|（an+1+bn+1）﹣（an+bn|＝|（a2﹣a1）+（b2﹣b1）|+|（a3﹣a2）+（b3﹣b2）|+⋯+|（an+1﹣an）+（bn+1﹣bn）|＜|a2﹣a1|+|b2﹣b1|+|a3﹣a2|+|b3﹣b2|+⋯+|an+1﹣an|+|bn+1﹣bn|＜M1+M2，故①正确；对于②，由题意可得正实数|b1|M1+|a1|M2+2M1M2满足对任意的n∈N*，都有|a2b2﹣a1b1|+|a3b3﹣a2b2|+…+|an+1bn+1﹣anbn|=k=1n|ak+1bk+1﹣a=k=1n|ak+1bk+1﹣akbk+1+akbk+1﹣a≤k=1n（|ak+1bk+1﹣akbk+1|+|akbk+1﹣ak≤k=1n（|bk+1|•|ak+1﹣ak|+|ak|•|bk+1﹣≤k=1n（|b1+（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+…+（bk+1﹣bk）|•|ak+1﹣ak|+|a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（ak﹣ak﹣1）|•|bk+1≤k=1n（（|b1|+|b2﹣b1|+|b3﹣b2|+…+|bk+1﹣bk|）•|ak+1﹣ak|+（|a1|+|a2﹣a1|+|a3﹣a2|+…+|ak﹣ak﹣1|）•|bk+1﹣≤k=1n（（|b1|+M2）•|ak+1﹣ak|+（|a1|+M1）•|bk+1﹣＝（|b1|+M2）k=1n|ak+1﹣ak|+（|a1|+M1）k=1n|b＝（|b1|+M2）（|a2﹣a1|+|a3﹣a2|+…+|an+1﹣an|）+（|a1|+M1）（|b2﹣b1|+|b3﹣b2|+…+|bn+1﹣bn|）≤（|b1|+M2）M1+（|a1|+M1）M2＝|b1|M1+|a1|M2+2M1M2，故②正确．故选：A．【点评】本题考查了数列{an}具有性质P的定义及性质，考查了绝对值三角不等式的应用及逻辑推理能力，属于难题．3．（2025•岳麓区校级二模）关于函数，有下列叙述：①存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有f（sin2x）＝sinx；②存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有f（sin2x）＝x2+x；③存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有f（x2+2x）＝|x+1|；④存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有f（x2+1）＝|x+1|．其中，叙述正确的是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】命题的真假判断与应用．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】A【分析】直接利用赋值法和定义性函数的应用判断①②③的结论，最后利用换元法的应用判断④的结论．【解答】解：对于①：取x＝0时，则sin2x＝0，所以f（0）＝0；取x=π2时，则sin2x＝0，所以f（0）＝所以f（0）由两个值0和1，不符合函数的定义，所以①错误；对于②：取x＝0时，f（0）＝0，取x＝π时，f（0）＝π2+π，所以f（0）由两个值0和π2+π，不符合函数的定义，所以②错误；对于③：取x+1＝t时，则f（t2﹣1）＝|t|，令t2﹣1＝x，则t＝±x+1，所以f（x）=x+1，及存在f（x故存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有f（x2+2x）＝|x+1|；故③正确；对于④：取x＝1时，f（2）＝2，取x＝﹣1时，f（2）＝0，故对于f（2）对应两个值，故不符合函数的定义，故④错误．故选：A．【点评】本题考查的知识要点：定义性函数的应用，换元法的应用，赋值法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．4．（2025•临翔区校级模拟）声音是由于物体的振动产生的波．我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音，其函数是f(x)=sinx+12sin2x①当n＝1时，f（x）的图象关于直线x＝π对称②当n＝2时，若x∈（0，π），则f（x）＞0③当n＝3时，2π是f（x）的周期④f（x）为奇函数正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用；函数的奇偶性；函数周期性的判断与求解．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】C【分析】根据题意，由正弦函数的性质分析①，将函数解析式变形，结合三角函数的性质分析②，由三角函数的周期性分析③，由函数奇偶性的定义分析④，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析4个命题：对于①，当n＝1时，f（x）＝sinx，其对称轴不是x＝π，①错误；对于②，当n＝2时，f（x）＝sinx+12sin2x＝sinx+sinxcosx＝sinx（1+cos若x∈（0，π），sinx＞0，1+cosx＞0，则f（x）＞0，②正确；对于③，当n＝3时，f（x）＝sinx+12sin2x+13sin3x，f（x+2π）＝sinx（x+2π）+12sin[2（x+2π）]+13sin[3（x+2π）]＝sinx+12则2π是f（x）的周期，③正确；对于④，f（x）＝sinx+12sin2x+13sin3x+⋯⋯+1有f（﹣x）＝﹣（sinx+12sin2x+13sin3x+⋯⋯+1nsinnx）＝﹣f（x），则故选：C．【点评】本题考查函数奇偶性的性质和应用，涉及正弦函数的性质，属于中档题．5．（2025•岳阳模拟）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，过对角线BD1的一个平面交AA1于E，交CC1于F，给出下面几个命题：①四边形BFD1E一定是平行四边形；②四边形BFD1E有可能是正方形；③平面BFD1E有可能垂直于平面BB1D；④设D1F与DC的延长线交于M，D1E与DA的延长线交于N，则M、N、B三点共线；⑤四棱锥B1﹣BFD1E的体积为定值．以上命题中真命题的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】命题的真假判断与应用．【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑思维；运算求解．【答案】C【分析】由面面平行的性质和四边形的判定定理可判断①；由正方形的性质可判断②；由面面垂直的判定定理可判断③；由两平面相交的性质可判断④；由等积法和棱锥的体积公式可判断⑤．【解答】解：因为平面AA1D1D与平面BCC1B1平行，截面与它们交于D1E，BF，可得D1E∥BF，同样可得BE∥D1F，所以四边形BFD1E是一个平行四边形，故①正确；如果BFD1E是正方形，则BE⊥D1E，因为BE⊥A1D1，所以BE⊥平面A1D1E，又BA⊥平面A1D1E，E与A重合，此时BFD1E不是正方形，故②错误；当两条棱上的交点是中点时，四边形BFD1E为菱形，EF⊥平面BB1D1D，此时四边形BFD1E垂直于平面BB1D1D，故③正确；由D1F与DC的延长线交于M，可得M∈D1F，且M∈DC，又因为D1F⊂平面BFD1E，DC⊂平面ABCD，所以M∈平面BFD1E，M∈平面ABCD，又因为B∈平面BFD1E，B∈平面ABCD，所以平面BFD1E∩平面ABCD＝BM，同理平面BFD1E∩平面ABCD＝BN，所以BM，BN都是平面BFD1E与平面ABCD的交线，所以B，M，N三点共线，故④正确；由于VB1-BED1F=VE-BB1D1+V则E，F到平面BB1D1的距离相等，且为正方体的棱长，三角形BB1D1的面积为定值，所以四棱锥B1﹣BED1F的体积为定值，故⑤正确．故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断和运用，以及空间中线线、线面和面面的位置关系，考查推理能力，属于中档题．6．（2024•新高考Ⅱ）已知命题p：∀x∈R，|x+1|＞1，命题q：∃x＞0，x3＝x，则（）A．p和q都是真命题 B．￢p和q都是真命题 C．p和￢q都是真命题 D．￢p和￢q都是真命题【考点】复合命题及其真假；全称量词命题的否定．【专题】计算题；转化思想；综合法；简易逻辑；运算求解．【答案】B【分析】判断命题的真假，命题的否定的真假，即可得到选项．【解答】解：命题：p：∀x∈R，|x+1|＞1，x＝﹣1时，不成立，所以命题：p是假命题；则￢p是真命题．命题q：∃x＞0，x3＝x，x＝1时成立，所以命题q是真命题，￢q是假命题；所以￢p和q都是真命题．故选：B．【点评】本题考查命题的真假的判断，命题的否定命题的真假的判断，是基础题．7．（2024•钦州模拟）已知Sn是公比不为1的等比数列{an}的前n项和，则“S2，S6，S3成等差数列”是“存在不相等的正整数m，n，使得am，amn，an成等差数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】充分条件与必要条件；等差数列的性质；等比数列的性质；等差数列与等比数列的综合．【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列；简易逻辑；运算求解．【答案】A【分析】由已知结合等比数列的求和公式，等差数列的性质分别检验充分必要性即可判断．【解答】解：对于公比不为1的等比数列{an}，若S2，S6，S3成等差数列，则2S6＝S2+S3，即2a整理得q2（2q4﹣q﹣1）＝0，结合q≠0得2q4﹣q﹣1＝0，若存在不相等的正整数m，n，使得am，amn，an成等差数列，则2amn＝am+an，不妨设m＞n，则2qmn﹣n＝qm﹣n+1，即2qmn﹣1﹣qm﹣n﹣1＝0，所以2qn（m﹣1）﹣qm﹣n﹣1＝0，当n（m﹣1）＝4，m﹣n＝1时，m＝3，n＝2，所以S2，S6，S3成等差数列时，存在不相等的正整数m＝3，n＝2，使得am，amn，an成等差数列，但am，amn，an成等差数列时，2qn（m﹣1）﹣qm﹣n﹣1＝0成立，但2q4﹣q﹣1＝0不一定成立，故“S2，S6，S3成等差数列”是“存在不相等的正整数m，n，使得am，amn，an成等差数列”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题以充分必要条件为载体，主要考查了等比数列的求和公式，等差数列的性质的应用，属于中档题．8．（2024•青浦区校级模拟）若非空实数集X中存在最大元素M和最小元素m，则记Δ（X）＝M﹣m．下列命题中正确的是（）A．已知X＝{﹣1，1}，Y＝{0，b}，且Δ（X）＝Δ（Y），则b＝2 B．已知X＝{x|f（x）≥g（x），x∈[﹣1，1]}，若Δ（X）＝2，则对任意x∈[﹣1，1]，都有f（x）≥g（x） C．已知X＝[a，a+2]，Y＝{y|y＝x2，x∈X}则存在实数a，使得Δ（Y）＜1 D．已知X＝[a，a+2]，Y＝[b，b+3]，则对任意的实数a，总存在实数b，使得Δ（X∪Y）≤3【考点】命题的真假判断与应用．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】D【分析】直接利用信息的应用和赋值法的应用利用函数的恒成立问题和存在性问题的应用判断A、B、C、D的结论．【解答】解：对于A：已知X＝{﹣1，1}，Y＝{0，b}，且Δ（X）＝M﹣m＝Δ（Y）＝|b﹣0|，则b＝±2，故A错误；对于B：由于△X＝2知：X＝[﹣1，1]，则f（1）≥g（1）且f（﹣1）≥g（﹣1）但是f（0）≥g（0）不一定成立，比如f（x）＝x2﹣1，g（x）＝0，故B错误；对于C：由题意知：Y＝{y|y＝x2，a＜X＜a+2}，当a≤﹣2或a≥0时，|M﹣m|＝|f（a+2）﹣f（a）|＝|4a+4|≥4，当﹣2＜x＜﹣1时，|f（a）﹣f（0）|＝a2＞1，当﹣1≤x＜0时，|M﹣m|＝|f（a+2）﹣f（0）|＝a2+4a+4≥1，综上所述，△（Y）≥1，故C错误；对于D：取b＝a，易知△（X∪Y）＝3，对于任意的实数a，总存在b使之成立，故D正确．故选：D．【点评】本题考查的知识要点：信息题，赋值法的应用，恒成立问题，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．9．（2024•黄浦区校级模拟）设f（x）、g（x）、h（x）是定义域为R的三个函数，对于命题：①若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均为严格增函数，则f（x）、g（x）、h（x）中至少有一个是严格增函数；②若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是以T为周期的函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（）A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题【考点】命题的真假判断与应用．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】D【分析】由题意可得为f（x）=[f(x)+g(x)]+[f(x)+h(由增函数加减函数也可能为增函数，判断①不正确．【解答】解：因为f（x）=[所以f（x+T）=[又f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是以T为周期的函数，所以f（x+T）=[f(x所以f（x）是周期为T的函数，同理可得g（x）、h（x）均是以T为周期的函数，②正确；增函数加减函数也可能为增函数，因此①不正确．故选：D．【点评】本题主要考查抽象函数的单调性与周期性，解答此类问题时，关键在于灵活选择方法，如结合选项或通过举反例应用“排除法”等．本题能较好地考查考生分析问题与解决问题的能力、基本计算能力等，属于中档题．10．（2024•民乐县校级一模）下列有关命题的说法错误的是（）A．在△ABC中，“A＞B”是“a＞b”的充要条件 B．“x＝1”是“x≥1”的充分不必要条件 C．若命题p：∃x0∈R，x02≥0，则命题¬p：∀x∈R，x2＜0 D．“sinx=12”的必要不充分条件是【考点】命题的真假判断与应用；充分条件与必要条件．【专题】转化思想；综合法；简易逻辑；逻辑思维．【答案】D【分析】直接利用充分条件和必要条件的应用判断ABC的结论，进一步利用命题的否定的应用判断C的结论．【解答】解：对于：A：在△ABC中，根据大边对大角和大角对大边，所以“A＞B”⇔“a＞b”即“A＞B”是“a＞b”的充要条件；故A正确；对于B：当“x＝1”时，“x≥1”成立，反之不成立，故“x＝1”是“x≥1”的充分不必要条件，故B正确；对于C：命题p：∃x0∈R，x02≥0，则命题¬p：∀x∈R，x2＜0，故C正确；对于D：“sinx=12”的充分不必要条件是“x=故选：D．【点评】本题考查的知识要点：命题的否定和充分条件和必要条件的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．二．多选题（共5小题）（多选）11．（2025•绵阳校级模拟）关于函数f(A．x0＝2是f（x）的极小值点 B．函数y＝f（x）﹣x有且只有1个零点 C．存在正整数k，使得f（x）＞kx恒成立 D．对任意两个正实数x1，x2，且x1≠x2，若f（x1）＝f（x2），则x1+x2＞4【考点】命题的真假判断与应用．【专题】方程思想；极限思想；判别式法；构造法；导数的综合应用；逻辑思维．【答案】ABD【分析】A根据导数判断函数单调性，从而确定极值点；B根据导数判断函数单调性，从而确定零点个数；CD【解答】解：对于A，因为f'(当0＜x＜2时，f′（x）＜0，当x＞2时，f′（x）＞0；当0＜x＜2时，f（x）递减，当x＞2时，f（x）递增，所以A对；对于B，y＝f（x）﹣x=2x+lnx-x函数y在（0，+∞）上单调递减，又因为当x＝1时，y＝1＞0，当x＝e2时，y=2所以函数y＝f（x）﹣x有且只有1个零点，所以B对；对于C，令g（x）＝f（x）﹣kx，g′（x）=-2xΔ＝1﹣8k＜0（k为正整数），g（x）在（0，+∞）上单调递减，又当x→+∞时，g（x）→﹣∞，所以C错；对于D，令F（t）＝f（t）﹣f（4﹣t），F'（t）＝f'（t）+f'（4﹣t）=t所以F（t）在（0，4）上单调递减，当t∈（0，2）时，F（t）＞F（2）＝0，即f（t）﹣f（4﹣t）＞0，f（t）＞f（4﹣t）；任意两个正实数x1，x2，且x1≠x2，若f（x1）＝f（x2），不妨设x1＜x2，因为当0＜x＜2时，f（x）递减，当x＞2时，f（x）递增，f（x1）＝f（x2），所以0＜x1＜2＜x2，f（x2）＝f（x1）＞f（4﹣x1），则x2＞4﹣x1，于是x1+x2＞4，所以D对．故选：ABD．【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了函数极值问题，考查了导数的综合应用，属中档题．（多选）12．（2025•临翔区校级模拟）函数f(A．不等式g（x）＞0的解集为(1B．函数f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减 C．若函数F（x）＝f（x）﹣ax2有两个极值点，则a∈（0，1） D．若x1＞x2＞0时，总有m2(x1【考点】命题的真假判断与应用．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；导数的概念及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】AD【分析】利用函数的单调性的应用和函数的导数的图象求出不等式A的结果，利用函数的导数求出函数的单调区间，利用函数的图象确定选项C的结论，最后利用关系式的恒等变换的应用和函数的恒成立问题的应用求出参数m的取值．【解答】解：因为f(令g'（x）＞0，可得x∈（0，1），故g（x）在该区间上单调递增；令g'（x）＜0，可得x∈（1，+∞），故g（x）在该区间上单调递减．又当x＞故g（x）的图象如图所示：对A，数形结合可知，g（x）＞0的解集为(1e，对B，由f′（x）＝lnx+1得知：在（0，1e）上单调递增，在（1e，+∞）上单调递减，分析可知选项对C，若函数F（x）＝f（x）﹣ax2有两个极值点，即F（x）＝xlnx﹣ax2有两个极值点，又F'（x）＝lnx﹣2ax+1，要满足题意，则需lnx﹣2ax+1＝0在（0，+∞）有两根，也即2a=lnx+1x在(0，+∞)有两根，也即直线y＝2a数形结合则0＜2a＜1，解得0＜故要满足题意，则0＜a＜对D，若x1＞x2＞0时，总有m2(即m2x构造函数g(x)=m2x2-xlnx故g（x）在（0，+∞）单调递增，则g'（x）＝mx﹣lnx﹣1≥0在（0，+∞）恒成立，也即lnx+1x≤m在区间（0，+∞）恒成立，则g（x）max＝1≤故选：AD．【点评】本题考查的知识要点：函数的图象的应用，函数的导数和单调性的关系，函数的恒成立问题，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．（多选）13．（2025•碑林区校级模拟）函数f(A．当a＝2时，函数y＝f（x）只有一个零点 B．若函数f（x）的对称中心为(1，43)，则C．若函数f（x）在(12，3)上为减函数，则aD．当a＝﹣2时，设f（x）的三个零点分别为x1，x2，x3，曲线f（x）在点（x1，0），（x2，0），（x3，0）处的切线斜率分别记为k1，k2，k3，则1【考点】命题的真假判断与应用；利用导数求解曲线在某点上的切线方程．【专题】转化思想；综合法；导数的综合应用；运算求解．【答案】ABD【分析】利用导数研究函数的单调性与极值可判定A；利用函数对称性的充要条件可判定B；利用函数单调性判定导函数的符号，参变分离计算参数可判定C；利用零点将函数式变形，通过导数计算斜率之间的关系，化简计算即可．【解答】解：对于A，a＝2时，f（x）=1所以f′（x）＝x2+4x+3＝（x+3）（x+1），f(所以x∈（﹣∞，﹣3）∪（﹣1，+∞），f′（x）＞0；当x∈（﹣3，﹣1），f′（x）＜0，所以f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣3），（﹣1，+∞）单调减区间为（﹣3，﹣1），所以y＝f（x）的极大值为f（﹣3）＝﹣1＜0，极小值f(-1)=-2-又f(1)=13+4＞0，即函数y＝f（x）只有一个零点，在区间（﹣对于B，若函数f（x）的对称中心为(1，则有f+1即(2+2a)x2+143对于C，可知f′（x）＝x2+2ax+3，若函数f（x）在(1则有0≥x2+2ax+3在(12分离参数得3x+x≤-2又根据勾函数的性质可知g（x）=x+3x在又g（12）=132，g（3所以﹣2a≥132，所以a≤-对于D，当a＝﹣2时，f(令f′（x）＞0⇒x∈（﹣∞，1）∪（3，+∞），令f′（x）＜0⇒x∈（1，3），即y＝f（x）在（﹣∞，1），（3，+∞）上单调递增，在（1，3）上单调递减，则y＝f（x）的极大值为f(1)=13＞0，极小值f（3又f（0）＝﹣1＜0，f（4）=13所以函数y＝f（x）有一个零点，分别在区间（0，1），（1，3），（3，4）内，则有f(故f'(所以f'(f'(则1=3(x2故选：ABD．【点评】本题考查函数与导数的综合应用，属难题．（多选）14．（2025•麦积区模拟）设函数f(x)=sin(ωx-π6)(ω＞A．在（0，π）上存在x1，x2，满足f（x1）﹣f（x2）＝2 B．f（x）在（0，π）有且仅有1个最小值点 C．f（x）在(0，πD．ω的取值范围是[【考点】命题的真假判断与应用．【专题】函数思想；数形结合法；三角函数的图象与性质；逻辑思维．【答案】AB【分析】由题意根据f（x）在区间[0，π]有3个零点画出大致图象，可得区间长度π介于周期[T+|OA|，32T+|OA|），再用ω表示周期，得ω【解答】解：画出函数f（x）＝sin（ωx-π6）大致当x＝0时y＝sin（-π6）又ω＞0，所以x＞0时f（x）在y轴右侧第一个最大值区间内单调递增，函数在[0，π]仅有3个零点时，则π的位置在C～D之间（包括C，不包括D），令f（x）＝sin（ωx-π6）＝0，则ωx-π6=kπ得，x＝（π6+kπ）y轴右侧第一个点横坐标为π6ω，周期T所以π6ω+T≤π即π6ω+2πω≤π＜π6在区间[0，π]上，函数f（x）达到最大值和最小值，所以存在x1，x2，满足f（x1）﹣f（x2）＝2，所以A正确；由大致图象得，f（x）在（0，π）内有且只有1个最小值点，B正确；因为ω最小值为136，所以0＜x＜π2时，-π6＜ωx-所以x∈（0，π2）时，函数f（x）不单调递增，所以C故选：AB．【点评】本题考查了三角函数图象及周期的计算问题，由题意求出ω的范围，再判断命题的真假性，是解题的关键．（多选）15．（2025•湖北三模）如图，已知正三棱台ABC﹣A1B1C1的上、下底面边长分别为2和6，侧棱长为4，点P在侧面BCC1B1内运动（包含边界），且AP与平面BCC1B1所成角的正切值为22，点Q为CC1上一点，且CQA．正三棱台ABC﹣A1B1C1的高为26B．点P的轨迹长度为3πC．高为463，底面半径为3D．过点A，B，Q的平面截该棱台内最大的球所得的截面面积为3【考点】命题的真假判断与应用；棱台的结构特征．【专题】计算题；整体思想；综合法；空间位置关系与距离；运算求解．【答案】CD【分析】结合正三棱台的结构特征，由空间中点线面的位置关系逐一分析各选项即可判断．【解答】解：如图，延长正三棱台侧棱相交于点O，可知：OA＝OB＝OC，在等腰梯形BCC1B1中，由BC＝6，B1C1＝2，BB1＝CC1＝4，B1所以OB1＝2，所以△OBC为等边三角形，所以三棱锥O﹣ABC为正四面体，如图，设H为等边△OBC的中心，可知AH⊥侧面OBC，且AH=同理可知：O点到底面ABC的距离为26又因为OB1＝2，BB1＝4，所以正三棱台ABC﹣A1B1C1的高为23×26=因为AP与平面BCC1B1所成角的正切值为22则tan∠APH=AHHP=26所以点P的轨迹长度为23π，故因为正三棱台ABC﹣A1B1C1的高463，所以圆柱可以放进棱台内，故C正确；设正四面体O﹣ABC的内切球半径r，则13S△因为2r＜463因为CQ→=3QC→1过点A，B，Q的平面正好过该内切球的球心，故截面面积为(62)故选：CD．【点评】本题考查了正三棱台的结构特征，考查了数形结合思想，属于难题．三．填空题（共5小题）16．（2025•宝丰县三模）已知p：∀x∈R，mx2+2＞0；q：∃x∈R，x2﹣2mx+1≤0．若p，q都是真命题，则实数m的取值范围是[1，+∞）．【考点】存在量词命题的真假判断；全称量词命题的真假判断．【专题】计算题；转化思想；综合法；简易逻辑；逻辑思维；运算求解．【答案】[1，+∞）．【分析】根据特称量词与全称量词命题，进一步利用一元二次不等式的计算求出结果即可．【解答】解：对应q为真命题，则Δ＝4m2﹣4≥0，整理得m≥1或m≤﹣1，对于p为真命题，则m≥0，能满足两个命题m的取值范围是m≥1．故答案为：[1，+∞）．【点评】本题考查的知识点：命题真假的判定，恒成立和存在性问题，主要考查学生的运算能力，属于中档题．17．（2025•随州三模）设α，β，γ为三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ且____，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．（1）α∥γ，n⊂β；（2）m∥γ，n∥β；（3）n∥β，m⊂γ．可以填入的条件有（1）或（3）．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】综合题；数形结合；综合法；简易逻辑．【答案】见试题解答内容【分析】可以在横线处填入的条件是（1），即“若α∩β＝m，n⊂γ，且α∥γ，n⊂β，则m∥n”为真命题．如图2所示，由α∩β＝m，可得m⊂β，可得β∩γ＝n，已知α∥γ，利用线面平行的性质定理可得m∥n；在横线处填入的条件不能是（2）．如图3所示，即“若α∩β＝m，n⊂γ，且m∥γ，n∥β；则m∥n”为假命题．举反例：假设α∩γ＝l，由m∥γ，可得m∥l．若n∩l＝P，则m与n必不平行，否则与n∩lP相矛盾；可以在横线处填入的条件是（3）．如图1所示，即“若α∩β＝m，n⊂γ，且m⊂γ，n∥β，则m∥n”为真命题．利用同一平面内两条直线的位置关系可得m∥n或m∩n＝P，由反证法排除m∩n＝P即可．【解答】解：可以在横线处填入的条件是（1）即若α∩β＝m，n⊂γ，且α∥γ，n⊂β，则m∥n”为真命题．证明如下：如图2所示，∵α∩β＝m，∴m⊂β，∵n⊂γ，n⊂β，∴β∩γ＝n，又α∥γ，∴m∥n；在横线处填入的条件不能是（2）．如图3所示，即“若α∩β＝m，n⊂γ，且m∥γ，n∥β；则m∥n”为假命题．证明：假设α∩γ＝l，∵m∥γ，∴m∥l．若n∩l＝P，则m与n必不平行，否则与n∩lP相矛盾可以在横线处填入的条件是（3）．即若α∩β＝m，n⊂γ，且m⊂γ，n∥β，则m∥n”为真命题．如图1所示，证明如下：∵α∩β＝m，n⊂γ，m⊂γ，∴m∥n或m∩n＝P，假设m∩n＝P，则P∈n，P∈m，又α∩β＝m，∴P∈β，这与n∥β相矛盾，因此m∩n＝P不成立，故m∥n．故答案为：（1）或（3）．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．18．（2025•辽宁模拟）已知命题p：“∀x≥1，x3-2x-a＞0”的否定为真命题，则a的取值范围为【考点】求全称量词命题的否定．【专题】函数思想；定义法；简易逻辑；运算求解．【答案】[﹣1，+∞）．【分析】写出命题的否定，并依题意转化为有解问题，根据函数的单调性求出最值，即可得解．【解答】解：由题意得，命题p的否定￢p：“∃x≥1，x3-所以a≥x3-2x在[1，又y＝x3-2x在[1，+∞）内单调递增，所以a≥(故a的取值范围为[﹣1，+∞）．故答案为：[﹣1，+∞）．【点评】本题考查全称量词命题的否定，属于中档题．19．（2024•浙江学业考试）若“∃x∈[12，2]，使得2x2﹣λx+1＜0成立”是假命题，则实数λ的取值范围为（﹣∞，22]【考点】存在量词和存在量词命题．【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用．【答案】见试题解答内容【分析】根据“∃x∈[12，2]，不等式2x2﹣λx+1＜0成立”是假命题，求出“∃x∈[12，2]，使得λ＞2x+1x成立”是假命题时【解答】解：若“∃x∈[12，2]，使得2x2﹣λx+1＜0成立”即“∃x∈[12，2]，使得λ＞2x+1x由x∈[12，2]，当x=22时，函数y＝2x+1x≥22x⋅1x=22，当且仅当所以y的最小值为22；所以实数λ的取值范围为（﹣∞，22]．故答案为：（﹣∞，22]．【点评】本题考查了特称命题，不等式恒成立问题以及函数的图象和性质的应用问题，是中档题．20．（2024•延庆区一模）已知函数f(①存在实数a，使得函数f（x）的最小值为0②存在实数a＜0，使得函数f（x）的最小值为﹣1③存在实数a，使得函数f（x）恰有2个零点④存在实数a，使得函数f（x）恰有4个零点其中所有正确结论的序号是①③．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；简易逻辑；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】取特殊值判断①，当a＜0时，分别分析分段函数两部分的最值判断②，根据分段函数每部分的零点确定函数的零点可判断③④．【解答】解：当a＝0时，f（x）=x2，x＜当a＜0时，f(x)=当1＜x＜e时，f′（x）＜0，当e＜x时，f′（x）＞0，所以f（x）在[1，e）上单调递减，在[e，+∞）上单调递增，所以x＝e时，f（x）有最小值f(e)=ae，由a此时，x＜1时，f（x）＝x2﹣2ex，f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，所以f（x）＞f（1）＝1﹣2e，与最小值为﹣1矛盾，若x＜1时，f（x）＝x2+2ax的对称轴方程为x＝﹣a＞0，当x＝﹣a＜1时，即a＞﹣1时，f(若﹣a2＝﹣1，则a＝﹣1与a＞﹣1矛盾，当x＝﹣a≥1时，f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，无最小值，综上，当a＜0时，函数f（x）的最小值不为﹣1，故②错误；由②知，a＜﹣1时，x＜1时，f（x）单调递减且f（0）＝0，当x≥1时，f（x）≤0且f（1）＝0，所以函数恰有2个零点，故③正确；当a＞0时，f(x)=alnxx≥0(x即f(x)=当a＜0时，f(x)=alnxx≤0(x即f(x)=综上，a≠0时，f(x)=而f（x）＝x2+2ax＝x（x+2a）在x＜1上至多有2个零点，所以a≠0时，函数没有4个零点，当a＝0时，函数有无数个零点，故④错误．故答案为：①③．【点评】本题主要考查命题真假的判断，函数最值的求法及函数零点个数的判断，属于中档题．四．解答题（共5小题）21．（2020•安康模拟）已知m为实常数．命题p：∃x∈（1，2），x2+x﹣m＝0；命题q：函数f（x）＝lnx﹣mx在区间[1，2]上是单调递增函数．（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若命题“p或q”为真命题，命题“p且q”为假命题，求实数m的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】转化思想；转化法；导数的综合应用；简易逻辑；逻辑思维．【答案】见试题解答内容【分析】（1）p真，可得m＝x2+x在x∈（1，2）有解，运用二次函数的单调性，即可得到所求范围；（2）考虑q真，可得f′（x）=1x-m≥0在[1，2]恒成立，运用参数分离和反比例函数的单调性，求得最小值，可得m的范围，由复合命题的真值表可得p，q中一【解答】解：（1）命题p：∃x∈（1，2），x2+x﹣m＝0，p真，可得m＝x2+x在x∈（1，2）有解，由y＝x2+x在x∈（1，2）递增，可得x2+x的值域为（2，6），则2＜m＜6，可得m的范围是（2，6）；（2）命题q：函数f（x）＝lnx﹣mx在区间[1，2]上是单调递增函数，q真，可得f′（x）=1x-m≥0在[1即有m≤1x在[1，2]恒成立，由1x∈[12，1]命题“p或q”为真命题，命题“p且q”为假命题，可得p，q中一真一假，若p真q假，可得2＜m＜6m＞1若p假q真，可得m≥6或m≤2综上可得，m的范围是（﹣∞，12]∪（2，6【点评】本题考查复合命题的真假，以及方程有解的条件和含参函数的单调性，考查转化思想和分类讨论思想，化简运算能力和推理能力，属于中档题．22．（2021•小店区校级模拟）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，{bn}是各项均为正数的等比数列，a1＝b4，____，b2＝8，b1﹣3b3＝4，是否存在正整数k，使得数列{1Sn}的前k项和T从①S4＝20，②S3＝2a3，③3a3﹣a4＝b2这三个条件中任选一个，补充到上面问题中并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按一个解答计分【考点】命题的真假判断与应用；等差数列与等比数列的综合．【专题】函数思想；综合法；简易逻辑；运算求解；结构不良题．【答案】见试题解答内容【分析】本题的第一步为求出数列通项公式，然后求出等差数列的前n项和．题目中出现的三个条件均可采用等差数列的定义和性质求解．【解答】解：设等比数列{bn}的公比为q(q于是8q即6若选①，则a1解得d＝2所以S1S于是Tn令1-1k+1若选②：则a1=b1=2，3下同①．若选③：则a1＝b1＝2，3（a1+2d）﹣（a1+3d）＝8，解得d=于是S1S于是T=3令Tk注意到k为正整数，解得k≥7，所以k的最小值为7．【点评】本题属于开放性的题目，要求我们选择合适的条件进行作答．本题的难点在于若选③难度较大，需要我们合理的筛选．23．（2021•涪城区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，①已知点A（3，0），直线l：x=433，动点P满足到点A的距离与到直线l②已知圆C的方程为x2+y2＝4，直线l为圆C的切线，记点A（3，0），B（-3，0）到直线l的距离分别为d1，d2，动点P满足|PA|＝d1，|PB|＝d2③点S，T分别在x轴，y轴上运动，且|ST|＝3，动点P满足OP→（1）在①，②，③这三个条件中任选一个，求动点P的轨迹方程；（2）记（1）中的轨迹为E，经过点D（1，0）的直线l'交E于M，N两点，若线段MN的垂直平分线与y轴相交于点Q，求点Q纵坐标的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用；轨迹方程．【专题】数形结合；数形结合法；圆锥曲线中的最值与范围问题；逻辑思维．【答案】见试题解答内容【分析】（1）分别由①②③条件列出x，y关系式，化简即可得轨迹方程．（2）方法一：设Q（0，y0），当l′斜率不存在时，y0＝0，当l′斜率存在时，设直线l′的方程为y＝k（x﹣1）（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线l′与椭圆方程，由韦达定理得，x1+x2=8k21+4k2，进而得到线段MN中点（x3，y3），则x3，y3，线段MN的垂直平分线的方程，令x＝方法二，同理．【解答】解：（1）若选①，设p（x，y），根据题意，(x整理得x2所以所求的轨迹方程为x24若选②，设P（x，y），直线l与圆相切于点H，则|PA|+|PB|＝d1+d2＝2|OH|＝4＞23=|AB|由椭圆定义知点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，所以2a＝4，2c＝|AB|＝23，故a＝2，c=3，b＝1所以所求轨迹方程为x2若选③，设P（x，y），S（x′，0），T（0，y′）则(x')2因为OP→=23OS代入（*）得x2所以所求轨迹方程为x2（2）方法一：设Q（0，y0），当l′斜率不存在时，y0＝0，当l′斜率存在时，设直线l′的方程为y＝k（x﹣1）（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），由y=k(x-1)x24+y2=1，消去y整理得（1+4k2）x2Δ＞0恒成立，x1+x2=8设线段MN中点（x3，y3），则x3=x1+x22=4k21+4k2设线段MN的垂直平分线的方程为y+k1+4k2令x＝0得y0=当k＜0时，1k+4k≤-4，当且仅当k=-12取等号，所以当k＞0时，1k+4k≥4，当且仅当k=12取等号，所以综上Q的纵坐标的取值范围是[-34，3方法二：设Q（0，y0），根据题意直线l′斜率不为0，设直线l′方程为x＝my+1，若m＝0，则y0＝0，当m≠0时，设M（x1，y1），N（x2，y2），x=my+1x24+y2=1，消去x整理得（m2+4Δ＞0恒成立，y1+y2=-2设线段MN中点G（x3，y3），则y3=y1+y22=-mm所以线段MN的垂直平分线方程为：y+mm2+4=-令x＝0得y0=3当m＜0时，m+4m≤-4，当且仅当m＝﹣2时，取等号，所以-34当m＞0时，m+4m≥4，当且仅当m＝2时，取等号，所以0＜y综上点Q的纵坐标的取值范围是[-34，3【点评】本题考查轨迹方程及直线与椭圆相交，不等式问题，属于中档题．24．（2018•遂宁模拟）已知全集U＝R，集合A＝{x|x-2x-3≤0}，非空集合B＝{x|（x﹣a）（x﹣a（1）当a=12时，求（∁UB）∩（2）命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．【考点】充分条件与必要条件；交、并、补集的混合运算．【专题】对应思想；转化法；简易逻辑．【答案】见试题解答内容【分析】（1）分别求出A，B，求出B的补集，从而求出（∁UB）∩A即可；（2）根据A⊆B，得到关于a的不等式组，解出即可．【解答】解：（1）A＝{x|x-2x-3≤0}＝{当a=12时，B={所以CUB所以（∁UB）∩A={x|（2）若p是q的充分条件，则A⊆B，…（8分）而a2+2＞a，故B＝{x|a＜x＜a2+2}，所以a＜2a2+2≥3解得a≤﹣1或1≤a＜2…（12分）【点评】本题考查了集合的运算，考查充分必要条件，是一道中档题．25．（2018•澧县校级一模）已知m＞0，p：x2﹣2x﹣8≤0，q：2﹣m≤x≤2+m．（1）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围；（2）若m＝5，“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数x的取值范围．【考点】复合命题及其真假．【专题】分类讨论；定义法；简易逻辑．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据充分不必要条件的定义进行求解即可．（2）根据复合命题真假关系，进行求解即可．【解答】解：（1）由x2﹣2x﹣8≤0得﹣2≤x≤4，即p：﹣2≤x≤4，记命题p的解集为A＝[﹣2，4]，命题q的解集为B＝[2﹣m，2+m]，∵￢q是￢p的充分不必要条件，∴p是q的充分不必要条件，∴A⫋B，∴2-m≤-22+m（2）∵“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，∴命题p与q一真一假，①若p真q假，则-2≤②若p假q真，则x〈解得：﹣3≤x＜﹣2或4＜x≤7．综上得：﹣3≤x＜﹣2或4＜x≤7．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用以及复合命题真假关系的判断，利用定义法是解决本题的关键．

考点卡片1．交、并、补集的混合运算【知识点的认识】集合交换律A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．集合结合律（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．集合分配律A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．集合的摩根律∁U（A∩B）＝∁UA∪∁UB，∁U（A∪B）＝∁UA∩∁UB．集合吸收律A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．集合求补律A∪∁UA＝U，A∩∁UA＝∅．【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．【命题方向】理解交集、并集、补集的混合运算，每年高考一般都是单独命题，一道选择题或填空题，属于基础题．2．充分条件与必要条件【知识点的认识】1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．3．全称量词命题的真假判断【知识点的认识】全称量词：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词．符号：∀应熟练掌握全称命题的判定方法全称量词：对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，用符号“∀”表示．含有全称量词的命题．“对任意一个x∈M，有p（x）成立”简记成“∀x∈M，p（x）”．命题全称命题∀x∈M，p（x）表述方法①所有的x∈M，使p（x）成立②对一切x∈M，使p（x）成立③对每一个x∈M，使p（x）成立④对任给一个x∈M，使p（x）成立⑤若x∈M，则p（x）成立﹣【解题方法点拨】判断全称量词命题的真假时，可以从反例入手，寻找一个使得命题不成立的例子．例如，要判断“所有奇数都是质数”是否为真，只需找到一个奇数不是质数（如9）即可证明该命题为假．【命题方向】全称量词命题的真假判断常见于代数和几何性质的判定．例如，判断一个数列的全称性质是否成立，或判断几何图形的某个性质是否对所有相关对象成立．这类题型要求学生能够灵活应用定义和性质进行验证．判断下列全称量词命题的真假：（1）所有素数都是奇数；（2）∀x∈R，|x|+1≥1；（3）对任意一个无理数x，x2也是无理数．解：（1）2是素数，但2不是奇数，∴所有素数都是奇数是假命题；（2）∀x∈R，总有|x|≥0，∴|x|+1≥1，∴∀x∈R，|x|+1≥1是真命题；（3）2是无理数，但（2）2＝2是有理数，∴全称量词命题“对每一个无理数x，x2也是无理数”是假命题．4．存在量词和存在量词命题【知识点的认识】存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词．符号：∃特称命题：含有存在量词的命题．符号：“∃”．存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示．特称命题：含有存在量词的命题．“∃x0∈M，有p（x0）成立”简记成“∃x0∈M，p（x0）”．“存在一个”，“至少有一个”叫做存在量词．命题全称命题∀x∈M，p（x）特称命题∃x0∈M，p（x0）表述方法①所有的x∈M，使p（x）成立①存在x0∈M，使p（x0）成立②对一切x∈M，使p（x）成立②至少有一个x0∈M，使p（x0）成立③对每一个x∈M，使p（x）成立③某些x∈M，使p（x）成立④对任给一个x∈M，使p（x）成立④存在某一个x0∈M，使p（x0）成立⑤若x∈M，则p（x）成立⑤有一个x0∈M，使p（x0）成立【解题方法点拨】由于全称量词的否定是存在量词，而存在量词的否定又是全称量词；因此，全称命题的否定一定是特称命题；特称命题的否定一定是全称命题．命题的“否定”与一个命题的“否命题”是两个不同的概念，对命题的否定是否定命题所作的判断，而否命题是对“若p则q”形式的命题而言，既要否定条件，也要否定结论．常见词语的否定如下表所示：词语是一定是都是大于小于词语的否定不是一定不是不都是小于或等于大于或等于词语且必有一个至少有n个至多有一个所有x成立词语的否定或一个也没有至多有n﹣1个至少有两个存在一个x不成立【命题方向】本考点通常与全称命题的否定，多以小题出现在填空题，选择题中．5．存在量词命题的真假判断【知识点的认识】存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示．特称命题：含有存在量词的命题．“∃x0∈M，有p（x0）成立”简记成“∃x0∈M，p（x0）”．“存在一个”，“至少有一个”叫做存在量词．命题特称命题∃x0∈M，p（x0）表述方法①存在x0∈M，使p（x0）成立②至少有一个x0∈M，使p（x0）成立③某些x∈M，使p（x）成立④存在某一个x0∈M，使p（x0）成立⑤有一个x0∈M，使p（x0）成立﹣【解题方法点拨】判断存在量词命题的真假时，可以通过具体实例来验证．例如，要判断“存在一个数是3的倍数”是否为真，只需找到一个3的倍数（如6）即可证明该命题为真．如果无法找到任何一个符合条件的对象，则命题为假．【命题方向】存在量词命题的真假判断常见于代数和几何性质的判定．例如，判断一个方程是否有解，或判断几何图形的某个性质是否对某些对象成立．这类题型要求学生能够灵活应用定义和性质进行验证．下列存在量词命题中，为真命题的是（）A．∃x∈Z，x2﹣2x﹣3＝0B．至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除C．∃x∈R，|x|＜0D．有些自然数是偶数解：选项A：因为方程x2﹣2x﹣3＝0的两根为3和﹣1，所以x∈Z，故A正确；选项B：因为6能同时被2和3整除，且6∈Z，故B正确；选项C：根据绝对值的意义可得|x|≥0恒成立，不存在x满足|x|＜0，故C错误；选项D：2，4等既是自然数又是偶数，故D正确；故选：ABD．6．全称量词命题的否定【知识点的认识】一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题p：∀x∈M，p（x）它的否命题¬p：∃x0∈M，¬p（x0）．【解题方法点拨】写全称命题的否定的方法：（1）更换量词，将全称量词换为存在量词，即将“任意”改为“存在”；（2）将结论否定，比如将“＞”改为“≤”．值得注意的是，全称命题的否定的特称命题．【命题方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现．难度一般不大，从考查的数学知识上看，能涉及高中数学的全部知识．7．求全称量词命题的否定【知识点的认识】一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题p：∀x∈M，p（x）它的否命题¬p：∃x0∈M，¬p（x0）．【解题方法点拨】写全称命题的否定的方法：（1）更换量词，将全称量词换为存在量词，即将“任意”改为“存在”；（2）将结论否定，比如将“＞”改为“≤”．值得注意的是，全称命题的否定的特称命题．【命题方向】全称量词命题否定的求解在代数和几何中广泛存在．例如，代数中关于实数性质的全称命题的否定，几何中关于图形性质的全称命题的否定等．这类题型要求学生能够灵活运用逻辑思维进行否定命题的改写和判断．写出命题“∀x∈Z，|x|∈N”的否定：_____．解：因为特称命题的否定为全称命题，所以命题“∀x∈Z，|x|∈N”的否定是“∃x∈Z，|x|∉N”，故答案为：∃x∈Z，|x|∉N．8．复合命题及其真假【知识点的认识】含有逻辑连接词“或”“且”“非”的命题不一定是复合命题．若此命题的真假满足真值表，就是复合命题，否则就是简单命题．逻辑中的“或”“且”“非”与日常用语中的“或”“且”“非”含义不尽相同．判断复合命题的真假要根据真值表来判定．【解题方法点拨】能判断真假的、陈述句、反诘疑问句都是命题，而不能判断真假的陈述句、疑问句以及祈使句都不是命题．能判断真假的不等式、集合运算式也是命题．写命题P的否定形式，不能一概在关键词前、加“不”，而要搞清一个命题研究的对象是个体还是全体，如果研究的对象是个体，只须将“是”改成“不是”，将“不是”改成“是”即可．如果命题研究的对象不是一个个体，就不能简单地将“是”改成“不是”，将“不是”改成“是”，而要分清命题是全称命题还是存在性命题（所谓全称命题是指含有“所有”“全部”“任意”这一类全称量诃的命题；所谓存在性命题是指含有“某些”“某个”“至少有一个”这一类存在性量词的命题，全称命题的否定形式是存在性命题，存在性命题的否定形式是全称命题．因此，在表述一个命题的否定形式的时候，不仅“是”与“不是”要发生变化，有关命题的关键词也应发生相应的变化，常见关键词及其否定形式附表如下：关键词等于（＝）大于（＞）小于（＜）是能都是没有至多有一个至少有一个至少有n个至多有n个任意的任两个P且QP或Q否定词不等于（≠）不大于（≤）不小于（≥）不是不能不都是至少有一个至少有两个一个都没有至多有n﹣1个至少有n+1个某个某两个¬P或¬Q¬P且¬Q若原命题P为真，则¬P必定为假，但否命题可真可假，与原命题的真假无关，否命题与逆命题是等价命题，同真同假．9．命题的真假判断与应用【知识点的认识】判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假．注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1＝0的两根都不是实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．【解题方法点拨】1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假．2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“pq”，则“若p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断．【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．10．函数的奇偶性【知识点的认识】①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．【解题方法点拨】①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．例题：函数y＝x|x|+px，x∈R是（）A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶D．与p有关解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），所以f（x）是奇函数．故选B．【命题方向】函数奇偶性的应用．本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．11．函数周期性的判断与求解【知识点的认识】函数的周期性定义为若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x）＝f（x+T）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期．常函数为周期函数，但无最小正周期，其周期为任意实数．【解题方法点拨】周期函数一般和偶函数，函数的对称性以及它的图象相结合，考查的内容比较丰富．①求最小正周期的解法，尽量重复的按照所给的式子多写几个，例：求f（x）=1f(解：由题意可知，f（x+2）=1f(x)=f（x﹣②与对称函数或者偶函数相结合求函数与x轴的交点个数．如已知函数在某个小区间与x轴有n个交点，求函数在更大的区间与x轴的交点个数．思路：第一，这一般是个周期函数，所以先求出周期T；第二，结合函数图象判断交点个数；第三，注意端点的值．【命题方向】题目包括判断和求解函数的周期性，结合周期性分析函数的性质及应用．函数f（x）是定义在R上的周期为3的奇函数，且f（1）＝2，则f（5）的值为_____．解：∵函数f（x）是定义在R上的周期为3的奇函数，且f（1）＝2，∴f（5）＝f（2）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2，12．等差数列的性质【知识点的认识】等差数列如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．等差数列的通项公式为：an＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式为：Sn＝na1+d2n（n﹣1）或Sn=n(a1+an)2（n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，则有2am＝a等差数列的性质（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；（3）m，n∈N+，则am＝an+（m﹣n）d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有as+at＝2ap；（5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k均为常数．（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后