2025年北京市高考数学试卷（回忆版）

第41页（共41页）2025年北京市高考数学试卷（回忆版）一、选择题。共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．（4分）（2025•北京）集合M＝{x|2x﹣1＞5}，N＝{1，2，3}，则M∩N＝（）A．{1，2，3} B．{2，3} C．{3} D．∅2．（4分）（2025•北京）已知复数z满足i•z+2＝2i，则|z|＝（）A．2 B．22 C．4 D．83．（4分）（2025•北京）双曲线x2﹣4y2＝4的离心率为（）A．32 B．52 C．54 4．（4分）（2025•北京）为得到函数y＝9x的图象，只需把函数y＝3x的图象上的所有点（）A．横坐标变成原来的12倍，纵坐标不变B．横坐标变成原来的2倍，纵坐标不变 C．纵坐标变成原来的13倍，横坐标不变D．纵坐标变成原来的3倍，横坐标不变5．（4分）（2025•北京）已知{an}是公差不为0的等差数列，a1＝﹣2，若a3，a4，a6成等比数列，则a10＝（）A．﹣20 B．﹣18 C．16 D．186．（4分）（2025•北京）已知a＞0，b＞0，则（）A．a2+b2＞2ab B．1aC．a+b＞ab D．7．（4分）（2025•北京）已知函数f（x）的定义域为D，则“函数f（x）的值域为R”是“对任意M∈R，存在x0∈D，使得|f（x0）|＞M”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8．（4分）设函数f（x）＝sin（ωx）+cos（ωx）（ω＞0），若f（x+π）＝f（x）恒成立，且f（x）在[0，π4]上存在零点，则ωA．8 B．6 C．4 D．39．（4分）在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间T＝klog2N（单位：小时），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时，训练时间增加20小时；当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加（单位：小时）（）A．2 B．4 C．20 D．4010．（4分）（2025•北京）已知平面直角坐标系xOy中，|OA→|＝|OB→|=2，|AB→|＝2，设C（3，4），则A．[6，14] B．[6，12] C．[8，14] D．[8，12]二、填空题。共5小题，每小题5分，共25分。11．（5分）（2025•北京）抛物线y2＝2px（p＞0）的顶点到焦点的距离为3，则p＝．12．（5分）（2025•北京）已知（1﹣2x）4＝a0﹣2a1x+4a2x2﹣8a3x3+16a4x4，则a0＝；a1+a2+a3+a4＝．13．（5分）（2025•北京）已知α，β∈[0，2π]，且sin（α+β）＝sin（α﹣β），cos（α+β）≠cos（α﹣β），写出满足条件的一组α＝，β＝．14．（5分）（2025•北京）某科技兴趣小组使用3D打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中ABCDEF是一个平面多边形，平面ARF⊥平面ABC，平面TCD⊥平面ABC，AB⊥BC，AB∥RS∥EF∥CD，AF∥ST∥BC∥ED，若AB＝BC＝8，AF＝CD＝4，AR＝RF＝TC＝TD=52，则该多面体的体积为15．（5分）（2025•北京）关于定义域为R的函数f（x），以下说法正确的有．①存在在R上单调递增的函数f（x）使得f（x）+f（2x）＝﹣x恒成立；②存在在R上单调递减的函数f（x）使得f（x）﹣f（2x）＝x恒成立；③使得f（x）+f（﹣x）＝cosx恒成立的函数f（x）存在且有无穷多个；④使得f（x）﹣f（﹣x）＝cosx恒成立的函数f（x）存在且有无穷多个．三、解答题。共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16．（10分）（2025•北京）在△ABC中，cosA=-13，asinC＝4（1）求c；（2）在以下三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求BC的高．①a＝6；②asinB=1023；③△ABC面积为17．（15分）（2025•北京）四棱锥P﹣ABCD中，△ACD与△ABC为等腰直角三角形，∠ADC＝90°，∠BAC＝90°，E为BC的中点．（1）F为PD的中点，G为PE的中点，证明：FG∥平面PAB；（2）若PA⊥平面ABCD，PA＝AC，求AB与平面PCD所成角的正弦值．18．（15分）（2025•北京）有一道选择题考查了一个知识点，甲、乙两校各随机抽取100人，甲校有80人答对，乙校有75人答对，用频率估计概率．（1）从甲校随机抽取1人，求这个人做对该题目的概率．（2）从甲、乙两校各随机抽取1人，设X为做对的人数，求恰有1人做对的概率以及X的数学期望．（3）若甲校同学掌握这个知识点，则有100%的概率做对该题目，乙校同学掌握这个知识点，则有85%的概率做对该题目，未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个，设甲校学生掌握该知识点的概率为p1，乙校学生掌握该知识点的概率为p2，试比较p1与p2的大小（结论不要求证明）．19．（15分）（2025•北京）已知椭圆E：x2a2+y2（1）求椭圆方程；（2）设O为原点，M（x0，y0）（x0≠0）为椭圆上一点，直线x0x+2y0y﹣4＝0与y＝2和y＝﹣2分别交于A，B两点．设△OMA和△OMB的面积分别为S1和S2，比较S1S220．（15分）（2025•北京）函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞），且f（0）＝0，f′（x）=ln(x+1)x+1，l1为A（a，f（1）求f′（x）的最大值；（2）求证：当﹣1＜a＜0时，除切点A外，y＝f（x）均在l1上方；（3）当a＞0时，直线l2过A点且与l1垂直，l1，l2分别与x轴的交点横坐标分别为x1，x2，求2a21．（15分）（2025•北京）A＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，M＝{（xi，yi）|xi∈A，yi∈A}，从M中选出n构成一列：（x1，y1），…，（xn，yn）．相邻两项（xi，yi），（xi+1，yi+1）满足：|xi+1-x（1）若k列的第一项为（3，3），求第二项．（2）若τ为k列，且满足i为奇数时，xi∈{1，2，7，8}；i为偶数时，xi∈{3，4，5，6}；判断：（3，2）与（4，4）能否同时在τ中，并说明理由；（3）证明：M中所有元素都不构成k列．

2025年北京市高考数学试卷（回忆版）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案DBBACCACBD一、选择题。共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．（4分）（2025•北京）集合M＝{x|2x﹣1＞5}，N＝{1，2，3}，则M∩N＝（）A．{1，2，3} B．{2，3} C．{3} D．∅【考点】求集合的交集．【专题】整体思想；综合法；集合；运算求解．【答案】D【分析】先求出集合M，再利用集合的交集运算求解．【解答】解：由题意可知，集合M＝{x|2x﹣1＞5}＝{x|x＞3}，又因为N＝{1，2，3}，所以M∩N＝∅．故选：D．【点评】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．2．（4分）（2025•北京）已知复数z满足i•z+2＝2i，则|z|＝（）A．2 B．22 C．4 D．8【考点】复数的模；复数的除法运算．【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】B【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解．【解答】解：由i•z+2＝2i，得i•z＝﹣2+2i，则z=-得|z|=2故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3．（4分）（2025•北京）双曲线x2﹣4y2＝4的离心率为（）A．32 B．52 C．54 【考点】双曲线的离心率．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】B【分析】把双曲线的方程化为标准形式，求出a、b、c的值，即得离心率的值．【解答】解：双曲线x2﹣4y2＝4即x2∴a＝2，b＝1，∴c=5∴e=c故选：B．【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，把双曲线的方程化为标准形式是解题的突破口．4．（4分）（2025•北京）为得到函数y＝9x的图象，只需把函数y＝3x的图象上的所有点（）A．横坐标变成原来的12倍，纵坐标不变B．横坐标变成原来的2倍，纵坐标不变 C．纵坐标变成原来的13倍，横坐标不变D．纵坐标变成原来的3倍，横坐标不变【考点】函数的图象与图象的变换．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学抽象；运算求解．【答案】A【分析】根据题意，由于y＝9x＝32x，结合函数图象变换的规律，分析可得答案．【解答】解：根据题意，y＝9x＝32x，为得到函数y＝9x的图象，只需把函数y＝3x的图象上的所有点的横坐标变成原来的12倍故选：A．【点评】本题考查函数的图象变换，涉及指数的运算，属于基础题．5．（4分）（2025•北京）已知{an}是公差不为0的等差数列，a1＝﹣2，若a3，a4，a6成等比数列，则a10＝（）A．﹣20 B．﹣18 C．16 D．18【考点】等差数列的通项公式；等比中项及其性质．【专题】方程思想；定义法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】C【分析】利用等差数列、等比数列的性质求解．【解答】解：{an}是公差不为0的等差数列，a1＝﹣2，a3，a4，a6成等比数列，设公差为d，则a42=a3a6，即（﹣2+3d）2整理得d2﹣2d＝0，解得d＝2或d＝0（舍），∴a10＝a1+9d＝﹣2+9×2＝16．故选：C．【点评】本题考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．（4分）（2025•北京）已知a＞0，b＞0，则（）A．a2+b2＞2ab B．1aC．a+b＞ab D．【考点】运用基本不等式求最值．【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】C【分析】根据重要不等式及基本不等式，即可求解．【解答】解：因为a＞0，b＞0，所以a2+b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立，所以A选项错误；取a=b=13，则1a因为a+b≥2因为1a+1故选：C．【点评】本题考查重要不等式及基本不等式的应用，属基础题．7．（4分）（2025•北京）已知函数f（x）的定义域为D，则“函数f（x）的值域为R”是“对任意M∈R，存在x0∈D，使得|f（x0）|＞M”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】充要条件的判断．【专题】函数思想；定义法；简易逻辑；逻辑思维．【答案】A【分析】分别判断充分性与必要性是否成立即可．【解答】解：因为函数f（x）的定义域为D，若函数f（x）的值域为R，则对任意M∈R，存在x0∈D，使得|f（x0）|＞M，充分性成立；若对任意M∈R，存在x0∈D，使得|f（x0）|＞M，f（x）的值域不一定是R，必要性不成立；是充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了充分与必要条件的判断问题，是基础题．8．（4分）设函数f（x）＝sin（ωx）+cos（ωx）（ω＞0），若f（x+π）＝f（x）恒成立，且f（x）在[0，π4]上存在零点，则ωA．8 B．6 C．4 D．3【考点】求两角和与差的三角函数值．【专题】综合题；转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；逻辑思维．【答案】C【分析】先利用辅助角公式化简f（x），根据π是f（x）的周期构造ω的等式，然后结合f（x）的零点情况确定ω的最小值．【解答】解：由已知得f（x）=2又f（x+π）＝f（x）恒成立，所以kT＝π，所以k⋅2πω=π，即ω＝2k，k＝1时，ω＝2，f（x）=2sin（2x+因为[0，π4]，所以2x+π4∈[π4，3π4]，f（k＝2时，ω＝4，f（x）=2此时f(0)=2sinπ4=1＞0，ff(0)f(π4)＜0，即f故ω＝4即为所求．故选：C．【点评】本题考查三角恒等变换以及三角函数的图象与性质，属于中档题．9．（4分）在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间T＝klog2N（单位：小时），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时，训练时间增加20小时；当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加（单位：小时）（）A．2 B．4 C．20 D．40【考点】指数函数的实际应用．【专题】应用题；函数思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】B【分析】由题意知，klog2（1.024×109）﹣klog2106＝20，求出k，再代入计算函数求值即可．【解答】解：由题意知，klog2（1.024×109）﹣klog2106＝20，即klog21.024×109所以klog21024＝20，解得k=20log所以2log2（4.096×109）﹣2log2（1.024×109）＝2log24.096×1091.024×109=2log2故选：B．【点评】本题考查了指数与对数的运算问题，是基础题．10．（4分）（2025•北京）已知平面直角坐标系xOy中，|OA→|＝|OB→|=2，|AB→|＝2，设C（3，4），则A．[6，14] B．[6，12] C．[8，14] D．[8，12]【考点】平面向量加减法的坐标运算．【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】D【分析】由|OA→|=|OB→|=2，|AB→|=2，可得点A、B在以O为圆心，2为半径的圆上，取AB的中点H，得|OH|＝1【解答】解：由|OA→|=|OB→|=故点A、B在以O为圆心，2为半径的圆上，取AB的中点H，可知|OH|＝1，所以点H在以O为圆心，1为半径的圆上，则|2=4CA=4(CH=4(CH所以|2CA又||CO→|-1|≤|则4≤|CH→|≤6即|2CA→+AB→|故选：D．【点评】本题考查平面向量的线性运算及数量积运算，属中档题．二、填空题。共5小题，每小题5分，共25分。11．（5分）（2025•北京）抛物线y2＝2px（p＞0）的顶点到焦点的距离为3，则p＝6．【考点】抛物线的焦点弦及焦半径．【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】6．【分析】根据抛物线的焦点定义进行求解．【解答】解：由已知，抛物线的顶点到焦点的距离为p2=所以p＝6．故答案为：6．【点评】本题主要考查抛物线的焦点，属于基础题．12．（5分）（2025•北京）已知（1﹣2x）4＝a0﹣2a1x+4a2x2﹣8a3x3+16a4x4，则a0＝1；a1+a2+a3+a4＝15．【考点】二项式系数的性质．【专题】转化思想；综合法；二项式定理；运算求解．【答案】1；15．【分析】根据赋值法，即可求解．【解答】解：因为（1﹣2x）4＝a0﹣2a1x+4a2x2﹣8a3x3+16a4x4，所以令x＝0，可得a0＝1，再令x=-12，可得a0+a1+a2+a3+a4＝24＝所以a1+a2+a3+a4＝16﹣a0＝16﹣1＝15．故答案为：1；15．【点评】本题考查二项式定理的相关知识，赋值法的应用，属基础题．13．（5分）（2025•北京）已知α，β∈[0，2π]，且sin（α+β）＝sin（α﹣β），cos（α+β）≠cos（α﹣β），写出满足条件的一组α＝π2（答案不唯一），β＝π2（答案不唯一）【考点】求两角和与差的三角函数值．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．【答案】π2，π【分析】利用两角和与差的正余弦公式展开化简，再根据化简后的结果确定α，β的值．【解答】解：因为sin（α+β）＝sin（α﹣β），所以sinαcosβ+cosαsinβ＝sinαcosβ﹣cosαsinβ，所以cosαsinβ＝0①，又cos（α+β）≠cos（α﹣β），即cosαcosβ﹣sinαsinβ≠cosαcosβ+sinαsinβ，即sinαsinβ≠0②，结合①②得：cosα＝0，且sinα≠0，sinβ≠0，故可取：α=β故答案为：π2，π【点评】本题考查两角和与差的正余弦公式，属于中档题．14．（5分）（2025•北京）某科技兴趣小组使用3D打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中ABCDEF是一个平面多边形，平面ARF⊥平面ABC，平面TCD⊥平面ABC，AB⊥BC，AB∥RS∥EF∥CD，AF∥ST∥BC∥ED，若AB＝BC＝8，AF＝CD＝4，AR＝RF＝TC＝TD=52，则该多面体的体积为60【考点】棱锥的体积．【专题】整体思想；数形结合法；分割补形法；立体几何；空间想象．【答案】60．【分析】分析出组合体为对称立体图形后，将组合体体积拆分成VAFR﹣BNQ+VCDN﹣BMP+VS﹣BMEN+VS﹣BMP+VS﹣BNQ，根据代入棱锥、棱柱体积公式计算即可．【解答】解：∵AB∥EF∥CD，AF∥BC∥ED，且AB⊥BC，可得BC⊥CD，CD⊥DE，DE⊥EF，EF⊥AF，AF⊥AB，延长CB与EF相交于点N，延长AB与ED相交于点M，所以AM⊥ED，CN⊥EF，所以四边形ABNF和四边形CDMB为矩形，所以AF＝CD＝BM＝BN，所以四边形BNME为正方形，所以BM＝ME＝EN＝BN＝AF＝CD＝4，即EF＝DE＝12，由此可得组合体关于平面SBE对称；过点B作BQ∥AR，交RS于点Q，连接QN，过点B作BP∥CT，交TS于点P，连接PM，所以平面ARF∥平面BQN，平面CDT∥BMP，所以组合体体积可以分为V＝VAFR﹣BNQ+VCDN﹣BMP+VS﹣BMEN+VS﹣BMP+VS﹣BNQ，①求解三棱柱AFR﹣BNQ和CDN﹣BMP的体积：因为平面ARF⊥平面ABC，平面ARF∩平面ABC＝AF，AB⊥AF，所以三棱柱AFR﹣BNQ为直三棱柱（三棱柱CDN﹣BMP同理），所以VAFR﹣BNQ＝VCDN﹣BMP＝S△ARF•|AB|=12×4×(②求解四棱锥S﹣BMEN的体积：由组合体关于平面SBE对称，所以平面SDE⊥平面BMEN，作RS在底面ABEF的投影，因为AR＝FR，平面ARF⊥平面ABC，所以R在底面的投影为AF中点，又因为平面SDE⊥平面BMEN，所以S在底面的投影为BE的中点O，SO即为(5所以VS﹣BMEN=13③求解三棱锥S﹣BMP和三棱锥S﹣BNQ的体积：因为AB⊥平面ARF，AB∥RQ，平面平面ARF∥平面BQN，所以平面BQN垂直RS，所以QS即为三棱锥S﹣BNQ的高，QS=12NE＝所以VS﹣BMP＝VS﹣BNQ=13×12×综上，组合体体积为24+24+8+2+2＝60．故答案为：60．【点评】本题考查立体几何图形体积的求解，考查空间想象能力，属于中档题．15．（5分）（2025•北京）关于定义域为R的函数f（x），以下说法正确的有②③．①存在在R上单调递增的函数f（x）使得f（x）+f（2x）＝﹣x恒成立；②存在在R上单调递减的函数f（x）使得f（x）﹣f（2x）＝x恒成立；③使得f（x）+f（﹣x）＝cosx恒成立的函数f（x）存在且有无穷多个；④使得f（x）﹣f（﹣x）＝cosx恒成立的函数f（x）存在且有无穷多个．【考点】函数恒成立问题．【专题】函数思想；转化思想；综合法；反证法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】②③．【分析】利用反证法可判断①④的正误；构造函数并验证后可判断②③的正误．【解答】解：对于①，若存在R上的增函数f（x），满足f（x）+f（2x）＝﹣x，则f（0）+f（2×0）＝﹣0，即f（0）＝0，故x＞0时，f（4x）＞f（2x）＞f（x）＞0，故f（4x）+f（2x）＞f（x）+f（2x），令g（x）＝f（x）+f（2x）＝﹣x，则g（2x）＞g（x），故﹣2x＞﹣x，解得x＜0，与x＞0，矛盾，故①错误；对于②，取f（x）＝﹣x，该函数为R上的减函数且f（x）﹣f（2x）＝x，故该函数符合，故②正确；对于③，取f(x)=12此时f（x）+f（﹣x）＝cosx，由m∈R，可得f（x）有无穷多个，故③正确；对于④，若存在f（x），使得f（x）﹣f（﹣x）＝cosx，令x＝0，则0＝cos0，但cos0＝1，矛盾，故满足f（x）﹣f（﹣x）＝cosx的函数不存在，故④错误．故答案为：②③．【点评】本题考查了函数的单调性、一次函数及余弦函数的性质，考查了反证法的应用，属于中档题．三、解答题。共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16．（10分）（2025•北京）在△ABC中，cosA=-13，asinC＝4（1）求c；（2）在以下三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求BC的高．①a＝6；②asinB=1023；③△ABC面积为【考点】解三角形．【专题】方程思想；综合法；解三角形；逻辑思维；运算求解．【答案】（1）6；（2）不能选①；选②：2029；选③：【分析】（1）由同角三角函数的基本关系可得sinA的值，再由正弦定理可得csinA的值，从而求得c；（2）选①：由等边对等角和三角形的内角和定理可得△ABC不存在；选②：由正弦定理和条件可得b，再根据余弦定理求出a，最后利用三角形面积公式即可求得；选③：由三角形的面积公式求b，由余弦定理求a，再由三角形的面积公式即可求得．【解答】解：（1）因为cosA=-13，且A∈（π2所以sinA=1-由正弦定理asinA=csinC，得csinA＝a所以c=（2）选①：因为a＝6，由（1）知，c＝6，所以a＝c，则A＝C，因为A为钝角，所以不符合三角形的内角和定理，所以△ABC不存在；选②：由正弦定理asinA=bsinB，得asinB＝b所以b＝5，根据余弦定理a=b2此时△ABC存在且唯一确定，S△ABC=12bcsinA=12×5×6×2所以BC边上的高h=20选③：因为△ABC面积为102，由（1）知，c=6所以S=12bcsinA，即102由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bccosA=25+36-2×5×6×(-13)=81，即a设BC边上的高为h，则S=12【点评】本题考查利用正、余弦定理和三角形的面积公式解三角形，属于中档题．17．（15分）（2025•北京）四棱锥P﹣ABCD中，△ACD与△ABC为等腰直角三角形，∠ADC＝90°，∠BAC＝90°，E为BC的中点．（1）F为PD的中点，G为PE的中点，证明：FG∥平面PAB；（2）若PA⊥平面ABCD，PA＝AC，求AB与平面PCD所成角的正弦值．【考点】空间向量法求解直线与平面所成的角；直线与平面平行．【专题】转化思想；转化法；立体几何；运算求解．【答案】（1）证明见解析；（2）33【分析】（1）取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN，只需证明FG∥MN即可；（2）建立适当的空间直角坐标系，求出直线AB的方向向量与平面PCD的法向量，根据向量夹角公式即可求解．【解答】解：（1）证明：取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN，∵△ACD与△ABC为等腰直角三角形，∠ADC＝90°，∠BAC＝90°，不妨设AD＝CD＝2，∴AC=∴BC＝4，∵E、F分别为BC、PD的中点，∴FN=1∴GM＝1，∵∠DAC＝45°，∠ACB＝45°，∴AD∥BC，∴FN∥GM，∴四边形FGMN为平行四边形，∴FG∥MN，∵FG⊄平面PAB，MN⊂平面PAB，∴FG∥平面PAB；（2）∵PA⊥平面ABCD，∴以A为原点，AC、AB、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AD＝CD＝2，则A（0，0，0），B（0，22，0），C(22，∴AB→=(0，22设平面PCD的一个法向量为n→∴DC→⋅n→取x＝1，∴y＝﹣1，z＝1，∴n→=（1，﹣1，设AB与平面PCD成的角为θ，则sinθ=|即AB与平面PCD成角的正弦值为33【点评】本题考查线面平行得判定，以及向量法的应用，属于中档题．18．（15分）（2025•北京）有一道选择题考查了一个知识点，甲、乙两校各随机抽取100人，甲校有80人答对，乙校有75人答对，用频率估计概率．（1）从甲校随机抽取1人，求这个人做对该题目的概率．（2）从甲、乙两校各随机抽取1人，设X为做对的人数，求恰有1人做对的概率以及X的数学期望．（3）若甲校同学掌握这个知识点，则有100%的概率做对该题目，乙校同学掌握这个知识点，则有85%的概率做对该题目，未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个，设甲校学生掌握该知识点的概率为p1，乙校学生掌握该知识点的概率为p2，试比较p1与p2的大小（结论不要求证明）．【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；相互独立事件的概率乘法公式．【专题】应用题；分析法；概率与统计；运算求解．【答案】（1）45（2）0.35，E（X）＝1.55；（3）p1＜p2．【分析】（1）用频率估计概率后可得从甲校随机抽取1人做对该题目的概率；（2）利用独立事件可求恰有1人做对的概率及X的分布列，从而可求其期望；（3）根据题设可得关于p1，p2的方程，求出其解后可得它们的大小关系．【解答】解：（1）用频率估计概率，从甲校随机抽取1人，做对题目的概率为80100（2）设A为“从甲校抽取1人做对”，则P（A）＝0.8，则P(A)=0.2，设B为“从乙校抽取1人则P（B）＝0.75，则P(B)=0.25，设C为“恰有1人故P(而X可取0，1，2，P(P（X＝1）＝0.35，P（X＝2）＝0.8×0.75＝0.6，故X的分布列如下表：X012P0.050.350.6故E（X）＝1×0.35+2×0.6＝1.55；（3）证明：设D为“甲校掌握该知识的学生”，因为甲校掌握这个知识点则有100%的概率做对该题目，未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个，故P(即p1故p1同理有0.85p故p2故p1＜p2．【点评】本题考查离散型随机变量的均值（数学期望），属于中档题．19．（15分）（2025•北京）已知椭圆E：x2a2+y2（1）求椭圆方程；（2）设O为原点，M（x0，y0）（x0≠0）为椭圆上一点，直线x0x+2y0y﹣4＝0与y＝2和y＝﹣2分别交于A，B两点．设△OMA和△OMB的面积分别为S1和S2，比较S1S2【考点】直线与椭圆的综合．【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】（1）x2（2）S1【分析】（1）由椭圆定义得a＝2，根据离心率得c=2，则b2＝（2）联立x0x+2y0y-4=0x24+y22=1，结合x024+y022=1，可得y＝y0，从而得直线x0x+2y0y﹣4＝0与椭圆相切，M为切点，设A（x1，y1），B（【解答】解：（1）由椭圆定义可知，2a＝4，所以a＝2，又e=ca=22，所以c=2，则b2＝故椭圆方程为x2（2）由题意，可得x024联立x0x+2y0整理得(2x即8y2-16y0y+8所以直线x0x+2y0y﹣4＝0与椭圆相切，M为切点，设A（x1，y1），B（x2，y2），易知当x1＝x2时，由对称性可知，S1故设x2＜x0＜x1，易知S1联立x0x+2联立x0x+2所以S1|OA故S1【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的综合应用，属难题．20．（15分）（2025•北京）函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞），且f（0）＝0，f′（x）=ln(x+1)x+1，l1为A（a，f（1）求f′（x）的最大值；（2）求证：当﹣1＜a＜0时，除切点A外，y＝f（x）均在l1上方；（3）当a＞0时，直线l2过A点且与l1垂直，l1，l2分别与x轴的交点横坐标分别为x1，x2，求2a【考点】利用导数求解函数的最值；利用导数求解曲线在某点上的切线方程．【专题】函数思想；定义法；导数的综合应用；逻辑思维．【答案】（1）1e（2）证明见解析．（3）[e2-【分析】（1）利用导数判断其单调性，即可求出最大值；（2）求出直线l1的方程，再构造函数h（x），只需证明其最小值（或者下确界）大于零即可；（3）求出直线l2的方程，即可由题意得到x1，x2的表示，从而用字母a表示出2a【解答】解：（1）设g（x）＝f′（x），g'(由g′（x）＝0，可得x＝e﹣1，当x∈（﹣1，e﹣1）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当x∈（e﹣1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，所以f′（x）的最大值为f'(（2）因为f'(a)=ln(1+a)1+设h(x)=由（1）可知，f′（x）在x∈（﹣1，e﹣1）上单调递增，而﹣1＜a＜0，所以当﹣1＜x＜a时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当0＞x＞a时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，且f′（a）＜f′（0）＝0，而当x≥0时，f'(x)=ln(1+x)1+x≥0，所以总有f′（x）故h（x）≥h（a），从而命题得证；（3）由f'(x)=ln(1+x)1+x，可设f(x)=l因为直线l1的方程为y=ln(1+a所以直线l2的方程为y=-x1=a所以2=1-由（1）知，当x＞0时，g(所以g2(a【点评】本题考查导数的综合应用，属于难题．21．（15分）（2025•北京）A＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，M＝{（xi，yi）|xi∈A，yi∈A}，从M中选出n构成一列：（x1，y1），…，（xn，yn）．相邻两项（xi，yi），（xi+1，yi+1）满足：|xi+1-x（1）若k列的第一项为（3，3），求第二项．（2）若τ为k列，且满足i为奇数时，xi∈{1，2，7，8}；i为偶数时，xi∈{3，4，5，6}；判断：（3，2）与（4，4）能否同时在τ中，并说明理由；（3）证明：M中所有元素都不构成k列．【考点】数列的应用．【专题】整体思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；创新能力；新定义类．【答案】（1）（6，7）或（7，6）；（2）二者不能同时出现在τ中，理由见解答．（3）证明见解答．【分析】（1）根据新定义即可得解；（2）假设（3，2）与（4，4）能同时在τ中，导出矛盾，从而得出（3，2）与（4，4）不能同时在τ中的结论；（3）假设全体元素构成一个k列，通过构造导出矛盾，从而得到要证明的结论．【解答】解：（1）根据题目定义可知，xi+1=若第一项为（3，3），显然x2＝0或﹣1不符合题意（不在集合A中），所以第二项是（6，7）或（7，6）；（2）假设二者同时出现在τ中，由于k列取反序后仍是k列，故可以不妨设（3，2）在（4，4）之前．显然，在k列中，相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性总是相反的，所以从（3，2）到（4，4）必定要向下一项走奇数次．但又根据题目条件，这两个点的横坐标均在τ中，所以从（3，2）到（4，4）必定要向下一项走偶数次．这导致矛盾，所以二者不能同时出现在τ中．（3）全体元素构成一个k列，则n＝64，设T1＝{（x，y）|x∈{1，2，7，8}，y∈{1，2，3，4，5，6，7，8}}，T2＝{（x，y）|x∈{3，4，5，6}，y∈{1，2，3，4，5，6，7，8}}．则T1和T2都包含32个元素，且T1中元素的相邻项必定在T2中．如果存在至少两对相邻的项属于T2，那么属于T2的项的数目一定多于属于T1的项的数目，所以至多存在一对相邻的项属于T2，如果存在，则这对相邻的项的序号必定形如2m和2m+1，否则将导致属于T2的项的个数比属于T1的项的个数多2，此时m＝1，2，3，…，31，从而这个序列的前2m项中，第奇数项属于T1，第偶数项属于T2，这个序列的后64﹣2m项中，第奇数项属于T2，第偶数项属于T1，如果不存在相邻的属于T2的项，那么也可以看作上述表示在m＝0或m＝32的特殊情况．这意味着必定存在m∈{0，1，2，…，32}，使得(x由于相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性必定相反，故T1中横纵坐标之和为奇数的点和横纵坐标之和为偶数的点的数量一定分别是m和32﹣m（不一定对应）．但容易验证，T1和T2都包含16个横纵坐标之和为奇数的点和16个横纵坐标之和为偶数的点，所以m＝32﹣m＝16，得m＝16．从而有(这就得到T1＝{（xk，yk）|k＝1，3，5……，29，31，34，36……，62，64}．再设T3＝{（x，y）|x∈{1，2，3，4，5，6，7，8}，y∈{1，2，7，8}}，T4＝{（x，y）|x∈{1，2，3，4，5，6，7，8}，y∈{3，4，5，6}}．则同理有(x这意味着T3＝{（xk，yk）|k＝1，3，5，…，29，31，34，36，…，62，64}．从而得到T3＝T1，但显然它们是不同的集合，矛盾．所以全体元素不能构成一个k列．【点评】本题考查对新定义的理解，属于难题．

考点卡片1．求集合的交集【知识点的认识】由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．运算性质：①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．已知集合A＝{x∈Z|x+1≥0}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则A∩B＝（）解：因为A＝{x∈Z|x+1≥0}＝{x∈Z|x≥﹣1}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，所以A∩B＝{﹣1，0，1，2}．故选：D．2．充要条件的判断【知识点的认识】充要条件是指条件P和条件Q之间互为充分必要条件．即若P成立，则Q成立，若Q成立，则P也成立．用符号表示为P⇔Q．充要条件在数学中非常重要，因为它们表示两个条件是等价的．【解题方法点拨】要判断一个条件是否为充要条件，需要分别验证P⇒Q和Q⇒P．如果两者都成立，则P和Q互为充要条件．通常可以通过逻辑推理和实例验证来进行判断．对于复杂问题，可以分步骤进行验证，确保每一步推理的正确性．【命题方向】充要条件的命题方向包括几何图形的判定条件、函数的性质等．例如，矩形的对角线相等且互相平分是矩形的充要条件．“方程x2﹣2x+m＝0至多有一个实数解”的一个充要条件是（）A．m≥1B．m≤1C．m≥2D．m≥0解：“方程x2﹣2x+m＝0至多有一个实数解”的充要条件为“（﹣2）2﹣4m≤0”即“m≥1”．故选：A．3．运用基本不等式求最值【知识点的认识】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），变形为ab≤（a+b2）【解题方法点拨】在运用均值不等式求最值时，可以将代数式分解成可以应用均值不等式的形式．例如，要求代数式x+1x的最小值，可以利用均值不等式x+1x≥2从而得出最小值为2【命题方向】均值不等式求最值的命题方向包括代数表达式的最值求解、几何图形的最优设计等．例如，求解一个代数式的最小值，或设计一个几何图形使其面积最大．这类题型要求学生能够灵活运用均值不等式进行最值求解，并能正确代入和计算．已知正数a，b满足a+b＝1，则a+1+b解：因为正数a，b满足a+b＝1，所以a+1+b+1＝3，则a+1当且仅当a＝b=1故答案为：6．4．函数的图象与图象的变换【知识点的认识】函数图象的作法：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线．解题方法点拨：一般情况下，函数需要同解变形后，结合函数的定义域，通过函数的对应法则，列出表格，然后在直角坐标系中，准确描点，然后连线（平滑曲线）．命题方向：一般考试是以小题形式出现，或大题中的一问，常见考题是，常见函数的图象，有时结合函数的奇偶性、对称性、单调性知识结合命题．图象的变换1．利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线．首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等）．其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连线．2．利用图象变换法作函数的图象（1）平移变换：y＝f（x）a＞0，右移a个单位（a＜0，左移|a|个单位）⇒y＝f（x﹣a）；y＝f（x）b＞0，上移b个单位（b＜0，下移|b|个单位）⇒y＝f（x）+b．（2）伸缩变换：y＝f（x）y＝f（ωx）；y＝f（x）A＞1，伸为原来的A倍（0＜A＜1，缩为原来的A倍）⇒y＝Af（x）．（3）对称变换：y＝f（x）关于x轴对称⇒y＝﹣f（x）；y＝f（x）关于y轴对称⇒y＝f（﹣x）；y＝f（x）关于原点对称⇒y＝﹣f（﹣x）．（4）翻折变换：y＝f（x）去掉y轴左边图，保留y轴右边图，将y轴右边的图象翻折到左边⇒y＝f（|x|）；y＝f（x）留下x轴上方图将x轴下方图翻折上去y＝|f（x）|．【解题方法点拨】1、画函数图象的一般方法（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出．（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．（3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论．2、寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法（1）知图选式：①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；②从图象的变化趋势，观察函数的单调性；③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性；④从图象的循环往复，观察函数的周期性．利用上述方法，排除错误选项，筛选正确的选项．（2）知式选图：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从函数的奇偶性，判断图象的对称性．④从函数的周期性，判断图象的循环往复．利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项．注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口．3、（1）利有函数的图象研究函数的性质从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．（2）利用函数的图象研究方程根的个数有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值．【命题方向】（1）1个易错点﹣﹣图象变换中的易错点在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x，y变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．（2）3个关键点﹣﹣正确作出函数图象的三个关键点为了正确地作出函数图象，必须做到以下三点：①正确求出函数的定义域；②熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x+的函数；③掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程．（3）3种方法﹣﹣识图的方法对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来获取图中所提供的信息，解决这类问题的常用方法有：①定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升（或下降）的趋势，利用这一特征来分析解决问题；②定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；③函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．5．函数恒成立问题【知识点的认识】函数恒成立问题是指在定义域或某一限定范围内，函数满足某一条件（如恒大于0等），此时，函数中的参数成为限制了这一可能性（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此，适当的分离参数能简化解题过程．【解题方法点拨】﹣分析函数的定义域和形式，找出使函数恒成立的条件．﹣利用恒成立条件，确定函数的行为．一般恒成立问题最后都转化为求最值得问题，常用的方法是分离参变量【命题方向】题目包括判断函数恒成立条件及应用题，考查学生对函数恒成立问题的理解和应用能力．关于x的不等式（1+m）x2+mx+m＜x2+1，对x∈R恒成立，则实数m的取值范围是_____．解：∵（1+m）x2+mx+m＜x2+1，对x∈R恒成立，∴mx2+mx+m＜1，∴∀x∈R，m＜1x∵x2+x+1＝（x+12）2∴0＜1∴m≤0．6．指数函数的实际应用【知识点的认识】指数函数图象的应用：函数的图象是直观地表示函数的一种方法．函数的很多性质，可以从图象上一览无余．数形结合就是几何与代数方法紧密结合的一种数学思想．指数函数的图象通过平移、翻转等变可得出一般函数的图象．利用指数函数的图象，可解决与指数函数有关的比较大小、研究单调性、方程解的个数、求值域或最值等问题．7．求两角和与差的三角函数值【知识点的认识】（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）=tanα（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）=tanα【解题方法点拨】﹣利用和差公式：sin（α±β）＝sinαcosβ±cosαsinβcos（α±β）＝cosαcosβ∓sinαsinβtan(﹣将具体角度值代入公式，求解三角函数值．﹣验证计算结果的正确性．【命题方向】常见题型包括利用和差公式求解三角函数值，结合具体角度进行计算．若α为锐角，sinα=45，则解：若α为锐角，sinα=45，则cossin(α+π3)=18．等差数列的通项公式【知识点的认识】等差数列是常见数列的一种，数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，已知等差数列的首项a1，公差d，那么第n项为an＝a1+（n﹣1）d，或者已知第m项为am，则第n项为an＝am+（n﹣m）d．【解题方法点拨】eg1：已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2+1，求数列{an}的通项公式，并判断{an}是不是等差数列解：当n＝1时，a1＝S1＝12+1＝2，当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2+1﹣（n﹣1）2﹣1＝2n﹣1，∴an=2把n＝1代入2n﹣1可得1≠2，∴{an}不是等差数列考察了对概念的理解，除掉第一项这个数列是等差数列，但如果把首项放进去的话就不是等差数列，题中an的求法是数列当中常用到的方式，大家可以熟记一下．eg2：已知等差数列{an}的前三项分别为a﹣1，2a+1，a+7则这个数列的通项公式为解：∵等差数列{an}的前三项分别为a﹣1，2a+1，a+7，∴2（2a+1）＝a﹣1+a+7，解得a＝2．∴a1＝2﹣1＝1，a2＝2×2+1＝5，a3＝2+7＝9，∴数列an是以1为首项，4为公差的等差数列，∴an＝1+（n﹣1）×4＝4n﹣3．故答案：4n﹣3．这个题很好的考察了的呢公差数列的一个重要性质，即等差中项的特点，通过这个性质然后解方程一样求出首项和公差即可．【命题方向】求等差数列的通项公式是一种很常见的题型，这里面往往用的最多的就是等差中项的性质，这也是学习或者复习时应重点掌握的知识点．9．等比中项及其性质【知识点的认识】等比数列如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．注：q＝1时，an为常数列．在两个数a和b中，插入一个数G使a、G、b成等比数列，那么G叫做a、b的等比中项．有G2＝a•b（ab≠0）【解题方法点拨】﹣定义：在等比数列中，对于任意三项an﹣1，an，an+1，有an﹣性质：等比中项的性质可以用来验证数列是否为等比数列，或求解数列的具体项．【命题方向】常见题型包括利用等比中项的性质验证数列是否为等比数列，以及通过中项的性质求解数列中的项．等比数列{an}中，a1=18，q＝2，则a4与a解：设a4与a8的等比中项是x，由等比数列{an}的性质可得x2＝a4•a8=18×23×18∴x＝±4，∴a4与a8的等比中项x＝±4．10．数列的应用【知识点的认识】1、数列与函数的综合2、等差数列与等比数列的综合3、数列的实际应用数列与银行利率、产品利润、人口增长等实际问题的结合．11．利用导数求解函数的最值【知识点的认识】1、函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）=1x在（0，（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个2、用导数求函数的最值步骤：由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求f（x）在（a，b）内的极值；（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．【解题方法点拨】﹣求导：计算函数的导数f'（x）．﹣极值点：求解f'（x）＝0以找到极值点．﹣边界条件：结合函数的定义域边界点计算函数值，比较得到最值．【命题方向】常见题型包括利用导数求解函数的最值，结合函数的定义域进行分析．设函数f(x)=1x解：因为f(所以f'(令f'（x）＞0得x＞12；令f'（x）＜0所以f（x）的单调增区间为(12，所以当x=12时，f（x所以f（x）的最小值为2﹣2ln2．12．利用导数求解曲线在某点上的切线方程【知识点的认识】曲线在某点上的切线方程可以通过该点的导数值和坐标求得．【解题方法点拨】﹣求导：计算函数的导数f'（x）．﹣切线方程：利用导数值作为切线的斜率，结合点的坐标，写出切线方程．﹣公式：切线方程为y﹣f（a）＝f'（a）（x﹣a），其中a是点的横坐标．【命题方向】常见题型包括求解曲线在特定点的切线方程，分析函数的局部行为．曲线y=2xx2+1在点（2解：由题意得y'=则曲线在点（2，45）处的切线斜率k＝y'|x＝2=故曲线y=2xx2+1在（2，45）处的切线方程为y-45=-625（x故答案为：6x+25y﹣32＝0．13．平面向量加减法的坐标运算【知识点的认识】﹣向量加法：如果a→=(a1，﹣向量减法：如果a→=(a1，【解题方法点拨】﹣坐标运算：直接对向量的坐标分量进行加减操作，得出结果．﹣实际应用：用于解决如点的移动、向量差等问题．【命题方向】﹣向量运算的实际应用：考查向量加减法在实际问题中的应用，如几何问题中的位置计算．﹣坐标运算技巧：如何高效进行向量的坐标运算．向量a→，b→满足a解：由a→+b→=（﹣1，5），a得2b→=（﹣1，5）﹣（5，﹣3）＝（﹣6，所以b→=12（﹣6，2）＝（﹣14．解三角形【知识点的认识】1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．6．俯角和仰角的概念：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．7．关于三角形面积问题①S△ABC=12aha=12bhb=12chc（ha、hb、hc分别表示②S△ABC=12absinC=12bcsinA=③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）④S△ABC=abc⑤S△ABC=s(s-a)(s-b)(⑥S△ABC＝r•s，（r为△ABC内切圆的半径）在解三角形时，常用定理及公式如下表：名称公式变形内角和定理A+B+C＝πA2+B2=π2-C2，余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosAb2＝a2+c2﹣2accosBc2＝a2+b2﹣2abcosCcosA=cosB=cosC=a正弦定理asinA=R为△ABC的外接圆半径a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinCsinA=a2R，sinB=b射影定理acosB+bcosA＝cacosC+ccosA＝bbcosC+ccosB＝a面积公式①S△=12aha=12bh②S△=12absinC=12acsinB③S△=④S△=s(s-a)(s-b)(⑤S△=12（a+b+c（r为△ABC内切圆半径）sinA=sinB＝2SsinC=15．复数的模【知识点的认识】1．复数的概念：形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a＝0，b≠0，则a+bi为纯虚数．2、复数相等：a+bi＝c+di⇔a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．3、共轭复数：a+bi与c+di共轭⇔a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．4、复数的模：OZ→的长度叫做复数z＝a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|=16．复数的除法运算【知识点的认识】复数除法涉及分子与分母的复数．对于复数z1＝a1+b1i和z2＝a2+b2i，除法结果是z1【解题方法点拨】﹣化简复数：将复数除法转换为分数形式，乘以分母的共轭复数，化简得到标准形式．﹣应用：在实际问题中如何处理复数的除法及其应用．【命题方向】﹣复数除法的计算：考查如何计算复数除法及其结果．﹣除法的实际应用：如何在实际问题中应用复数除法．i是虚数单位，2i1+解：2i1+i17．棱锥的体积【知识点的认识】棱锥的体积可以通过底面面积B和高度h计算，顶点到底面的垂直距离即为高度．【解题方法点拨】﹣计算公式：体积计算公式为V=﹣底面面积计算：底面面积B可以根据底面多边形的性质计算．【命题方向】﹣棱锥的体积计算：考查如何根据底面面积和高度