线段的垂直平分线的性质与判定课件2025-2026学年人教版八年级数学上册

人教版2024·八年级上册第十五章轴对称15.1.2

线段的垂直平分线15.1图形的轴对称学习目标了解原命题及其逆命题的概念，会识别两个互逆的命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立；理解并证明垂直平分线的判定定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上；探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；

复习引入轴对称的性质：连接对称点的线段被对称轴垂直平分

垂直平分线的概念：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线

具有什么性质呢？

直线l垂直平分线段AB,

P1、P2、P3…是l上的点，分别量一量点P1、P2、P3…到点A与点B的距离，你有什么发现？新知初探任务一探究线段垂直平分线的性质活动1通过翻折的操作，我们得到结论：P1A=P1B,P2A=P2B,P3A=P3B…探究发现猜想:在线段的垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等.

如果直线l垂直平分线段AB，点P为直线l上任意一点，则PA=PB.我们应用几何逻辑推理来证明这个猜想猜想结论(SAS).∵已知：直线l垂直平分线段AB，点P为直线l上任意一点，求证：PA=PB.证明猜想线段的垂直平分线上的点，与这条线段两个端点的距离相等.结论：用符号语言描述：∵P为线段AB垂直平分线l上一点，∴PA=PB.即时测评找出图中相等的线段，并说明理由.（1）点A在BC的垂直平分线上DAB=AC（2）ED是AB的垂直平分线EA=EB把线段的垂直平分线的性质的题设和结论反过来，得到的命题还成立吗？即如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？成立.点P在线段AB的垂直平分线上．已知：如图，PA=PB．求证：点P在线段AB的垂直平分线上．PABC探究新知线段的垂直平分线的判定定理知识点2证明：过点P作线段AB的垂线PC，垂足为C．则∠PCA=∠PCB=90°．在Rt△PCA和Rt△PCB中，∵PA=PB，PC=PC，∴Rt△PCA≌Rt△PCB（HL）．∴AC=BC．又

PC⊥AB，∴点P在线段AB的垂直平分线上．PABC探究新知用数学符号表示为：∵

PA=PB，∴点P在AB的垂直平分线上．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．PABC探究新知这些点能组成什么几何图形？你能再找一些到线段AB两端点的距离相等的点吗？能找到多少个到线段AB两端点距离相等的点？

在线段AB的垂直平分线l上的点与A，B的距离都相等；反过来，与A，B的距离相等的点都在直线l上，所以直线l可以看成与两点A，B的距离相等的所有点的集合．PABCl探究新知试一试：例

如图，已知：在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点，且OB＝OC，求证：AO⊥BC.证明：∵OB＝OC，∴点O在BC的垂直平分线上.又AB＝AC，∴点A在BC的垂直平分线上，即A，O均在BC的垂直平分线上，∴AO⊥BC.探究新知线段垂直平分线的判定定理的应用素养考点活动五：互逆命题与互逆定理如果两个命题的题设、结论正好相反，那么这两个命题叫作互逆命题.如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题.

一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立.例如，上面关于垂直平分线的两个互逆命题都是成立的；而命题“对顶角相等”成立，它的逆命题“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”却不成立.

如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理.在几何中，有许多互逆的定理.例如，上面关于垂直平分线的两个互逆命题是互逆定理，“两直线平行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行”也是互逆定理注意：（1）“题设与结论正好相反”可理解为第一个命题的题设是第二个命题的结论，第一个命题的结论是第二个命题的题设；（2）每个命题都有逆命题，但不是所有的定理都有逆定理；（3）原命题的真假与其逆命题的真假没有关系.题型1：互逆命题与互逆定理例1：写出下列各命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立．（1）同位角相等.解：逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是同位角这个逆命题不成立.（2）全等三角形的周长相等．解：逆命题：如果两个三角形的周长相等，那么这两个三角形是全等三角形．这个逆命题不成立．题型2：线段的垂直平分线的性质求线段的长

D例3.如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线l₁交BC于点D，边AC的垂直平分线l₂交BC于点E,l₁与l₂相交于点O.连接AD,AE,△ADE的周长为6cm.(1)求BC的长;

(2)分别连接OA,OB,OC,若△OBC的周长为16cm,求OA的长题型2：线段的垂直平分线的性质求线段的长例3.如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线l₁交BC于点D，边AC的垂直平分线l₂交BC于点E,l₁与l₂相交于点O.连接AD,AE,△ADE的周长为6cm.(1)求BC的长;解(1)∵l₁,l₂分别是线段AB,AC的垂直平分线,∴AD=BD，AE=CE；∴AD+DE+AE=BD+DE+CE∵△ADE的周长为6cm即AD+DE+AE=6cm∴BC=6cm题型2：线段的垂直平分线的性质求线段的长例3.如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线l₁交BC于点D，边AC的垂直平分线l₂交BC于点E,l₁与l₂相交于点O.连接AD,AE,△ADE的周长为6cm.(2)分别连接OA,OB,OC,若△OBC的周长为16cm,求OA的长解：如图,∵l₁,l₂分别是线段AB,AC的垂直平分线,∴OA=OC=OB.∵△OBC的周长为16cm,即(OC+OB+BC=16cm,∴OC+OB=16-6=10(cm),∴OC=OB=5cm,∴OA=5cm.新课讲解例5.判断下列命题的真假，写出其逆命题并判断真假：(1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点；(2)如果a>b，那么a2>b2；(3)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零；(4)如果ab<0，那么a>0，b<0.解：(1)原命题是真命题.逆命题：如果两条直线只有一个交点，那么它们相交.逆命题是真命题.(2)原命题是假命题.逆命题：如果a2>b2，那么a>b.逆命题是假命题.(3)原命题是真命题.逆命题：如果两个数的和为零，那么它们互为相反数.逆命题是真命题.(4)原命题是假命题.逆命题：如果a>0，b<0，那么ab<0.逆命题是真命题.新课讲解例6.下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，写出它的逆定理.(1)同旁内角互补，两直线平行；(2)三角形的两边之和大于第三边.解：(1)逆命题是：两直线平行，同旁内角互补，是真命题，故原定理有逆定理：两直线平行，同旁内角互补.(2)逆命题为：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形，是真命题，故原定理有逆定理：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形.新课讲解练一练1.下列定理中，没有逆定理的是()A.两直线平行，同位角相等B.全等三角形的对应边相等C.全等三角形的对应角相等D.在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上C新课讲解练一练2.写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立.(1)同位角相等，两直线平行.(2)如果x=3，那么x2=9.(3)如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数的平方也相等.(4)全等三角形的对应角相等.解：(1)逆命题：两直线平行，同位角相等.成立.(2)逆命题：如果x2=9，那么x=3.不成立，如：(-3)2=9，-3≠3.(3)逆命题：如果两个实数的平方相等，那么这两个实数的绝对值也相等.成立.(4)逆命题：对应角相等的两个三角形是全等三角形.不成立.新课讲解1.原命题的真假和逆命题的真假没有必然联系，原命题是真命题，其逆命题不一定是真命题；原命题是假命题，其逆命题也不一定是假命题.2.判断一个命题是真命题需要证明，而判断一个命题是假命题，只需举一个反例即可.归纳定义关系互逆命题两个命题的题设、结论正好相反，我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题.如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题(1)命题有真有假，而定理都是正确的，即都是真命题；(2)每个命题都有逆命题，但不是所有定理都有逆定理互逆定理如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理7.

(教材P67练习第1题变式)如图,AD⊥BC,BD=CD,点C在AE的垂直平分线上,若AB=6,DE=10,则BD的长为

.12345678910111213144第7题8.如图,在△ABC中,AB=AC,O是△ABC内一点,连接OA,OB,OC,且OB=OC.求证:直线AO⊥BC.∵AB=AC,∴点A在线段BC的垂直平分线上.∵OB=OC,∴点O在线段BC的垂直平分线上.∵两点确定一条直线,∴直线AO是BC的垂直平分线,即直线AO⊥BC第8题12345678910111213149.

如图,P为∠AOB内一点,P1,P2分别是点P关于OA,OB的对称点,连接P1P2,交OA于点M,交OB于点N.若P1P2=5cm,则△PMN的周长是 (

)A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm

10.

如图,在△ABC中,AF平分∠BAC,AC的垂直平分线DE交BC于点E,交AC于点D.若∠B=70°,∠FAE=19°,则∠C=

.

C24°123456789101112131411.

如图,在△ABC中,边BC的垂直平分线DE交边BC于点D,交边AB于点E.若△EDC的周长为24,△ABC与四边形AEDC的周长之差为